第27章圆小结与复习

义务教育教科书（华师）九年级数学下册,第27章圆,小结与复习,经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径,C,O,A,B,连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，,与圆有关的概念,弦,知识回顾,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆,C,O,B,弧,圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”,C,O,A,B,劣弧与优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.,大于半圆的弧叫做优弧.,（如图中的AC）,(用三个字母表示,如图中的ACB),想一想,判断下列说法的正误：,(1)弦是直径；,(2)半圆是弧；,(3)过圆心的线段是直径；,(4)过圆心的直线是直径；,(5)半圆是最长的弧；,(6)直径是最长的弦；,(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧,随堂练习,一、垂径定理,AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”,若CD是直径,CDAB,1.定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,2、垂径定理的逆定理,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.,知二得三,注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?(),错,垂径定理及其推论,例O的半径为10cm，弦ABCD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是_.,2cm,或14cm,圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.,圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.,O,二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,AB=AB,OD=OD,AOB=AOB,二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系,综上所述,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系是:,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,即ABC=AOC.,三、圆周角定理及推论,90的圆周角所对的弦是.,定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.,推论:直径所对的圆周角是.,直角,直径,判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.,(),(),(),随堂练习,1、如图1，AB是O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60，ODBC，D为垂足，且OD=10，则AB=_，BC=_；2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（）；A.AB=2CDB.AB2CDD.不能确定图1,3、如图2，O中弧AB的度数为60，AC是O的直径，那么BOC等于()；A150B130C120D604、在ABC中，A70，若O为ABC的外心，BOC=；若O为ABC的内心，BOC=图2,5、两个同心圆的直径分别为5cm和3cm，则圆环部分的宽度为_cm；6、如图1,已知O，AB为直径，ABCD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来；7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为cm；图1图2,四、点和圆的位置关系,不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）,圆内接四边形的性质：（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角,反证法的三个步骤：1、提出假设2、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确,经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个,一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？,经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。,三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。,想一想,O,分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.,锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.,1、O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关系是（）A点A在O内部B点A在O上C点A在O外部D点A不在O上2、M是O内一点，已知过点M的O最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OM=_cm.,随堂练习,3、圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是（）A、1234B、1324C、4231D、4213,练习：有两个同心圆，半径分别为和r，是圆环内一点，则的取值范围是.,rOPR+r,d=R+r,R-rdR+r,d=R-r,dR-r,六.圆与圆的位置关系,A,B,C,O,七.三角形的外接圆和内切圆：,A,B,C,I,三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。,三角形外接圆的圆心叫三角形的外心,三角形三边垂直平分线的交点,三角形三内角角平分线的交点,到三角形各边的距离相等,到三角形各顶点的距离相等,锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.,三角形的外心是否一定在三角形的内部？,从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,切线长定理及其推论:,直角三角形的内切圆半径与三边关系.,三角形的内切圆半径与圆面积.,PA,PB切O于A,BPA=PB1=2,1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是,圆周角是.,60度,30或150度,随堂练习,2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果AOC=140，求B的度数,3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_.,D,解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.AOC=140D=70B=18070=110,2或4cm,4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？,A,B,C,P,5、如图，AB是O的任意一条弦，OCAB，垂足为P，若CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？,O,7,1