第15章 电路的复频域分析

.,第15章电路的复频域分析,重点,1.拉普拉斯变换的基本原理和性质,2.掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤,3.电路的时域分析变换到频域分析的原理,4.复频域中的网络函数的概念与分析,.,15.1拉普拉斯变换,1.傅里叶变换,一个周期函数f(t)可以表示为傅里叶级数（指数形式）,其中,Ck的幅度频谱和相位频谱是k1的函数，并且为离散线谱，其线间相距：,可见，,当T变大时，Ck以及1都将变小。,一.拉普拉斯变换的导出,.,但是,仍为有限值,于是可定义一个新的函数：,即,此式称为傅里叶积分或傅里叶变换，他把一个时间函数变成了频率函数,.,2.傅里叶反变换,由上述推导可得：,所以,此式称为傅里叶反变换，他把一个频率函数变成时间函数,.,注意：在傅里叶变换中，函数f(t)应满足：,1、函数f(t)满足狄里赫利条件（a.在任一周期内，函数f(t)连续或只有有限个第一类间断点；b.在任一周期内，函数f(t)只有有限个极值。第一类间断点：若x是f(x)的间断点，但左极限f(x-0)和右极限f(x+0)都存在）。,2、函数f(t)绝对可积，即为有限值。,观察,由于绝对可积的条件限制，某些增长函数，如eat(a0)的傅里叶变换不存在。,由于绝对可积的条件限制，某些不衰减函数，如正弦函数、阶跃函数等的傅里叶变换也不可直接求出。,.,为解决上述问题，引出拉普拉斯变换！,3.拉普拉斯变换,于是，傅里叶变换式可写成,在傅里叶变换中引入一个衰减因子，如e-t(为任意常数)，只要选得足够大，则f(t)e-t就一定收敛，绝对可积条件就容易满足。,.,令,则有,此式称为推广的傅里叶变换,考虑到电路理论中，通常将换路时刻取为t=0,又考虑到f(t)可能包含冲激函数，所以，在上式中将积分下限取为0-,即得推广的傅里叶正变换：,此式称为拉普拉斯正变换，简称拉普拉斯变换。,.,在拉普拉斯变换中,f(t)称为原函数，F（S）称为象函数。,记为,s为复频率,注意：在拉普拉斯变换中，函数f(t)应满足：,1、函数f(t)满足狄里赫利条件。,.,4.拉普拉斯反变换,即,此式称为拉普拉斯反变换,记为,根据傅里叶反变换，有,.,拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。,1.拉氏变换法,例,熟悉的变换,1对数变换,把乘法运算变换为加法运算,二.拉普拉斯变换法的概念,.,2相量法,把时域的正弦运算变换为复数运算,s为复频率,应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。,.,2.拉氏变换的定义,正变换,反变换,tm的式子运用前面方法。,例,.,.,例,解,.,小结,1.n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和,由F(s)求f(t)的步骤：,2.求真分式分母的根，确定分解单元,3.将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数,4.对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。,.,相量形式,元件复阻抗、复导纳,相量形式电路模型,15.3运用拉普拉斯变换分析线性电路,基尔霍夫定律的时域表示：,基尔霍夫定律的相量表示：,相量法：,1.电路定律的运算形式,.,电路变量的运算形式：,元件运算阻抗、运算导纳,运算形式的KCL、KVL,运算形式电路模型,运算法与相量法的基本思想类似：,把时间函数变换为对应的象函数,把微积分方程变换为以象函数为变量的线性代数方程,.,u=Ri,2.电路元件的运算形式,电阻R的运算形式,电阻的运算电路,.,电感L的运算形式,L的运算电路,注意电源的方向,.,电容C的运算形式,C的运算电路,注意电源的方向,.,耦合电感的运算形式,.,耦合电感的运算电路,.,受控源的运算形式,受控源的运算电路,.,RLC串联电路的运算形式,运算阻抗,3.运算电路模型,时域电路,运算电路,.,运算形式欧姆定律,.,1.电压、电流用象函数形式表示,2.元件用运算阻抗或运算导纳表示,3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示,例,给出图示电路的运算电路模型,.,uc(0-)=25ViL(0-)=5A,例,给出图示电路的运算电路模型,注意附加电源,.,计算步骤：,1.由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)。,2.画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。,3.应用电路分析方法求象函数。,4.反变换求原函数。,运算法小结,.,例1,(2)画运算电路,解,(1)计算初值,.,.,(4)反变换求原函数,.,注意,.,求冲激响应,例2,解,.,t=0时打开开关k,求电流i1,i2。已知：,例3,.,解,注意,.,.,.,总结：,1、运算法直接求得全响应,3、运算法分析动态电路的步骤：,2、用0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中,1)由换路前电路计算uc(0-),iL(0-)。,2)画运算电路图,3)应用电路分析方法求象函数。,4)反变换求原函数。,磁链守恒：,.,15.4复频域中的网络函数,1.网络函数H（s）的定义,在线性网络中，当无初始能量，且只有一个独立激励源作用时，网络中某一处响应的象函数与网络输入的象函数之比，叫做该响应的网络函数。,.,例,电路激励i(t)=(t)，求冲击响应h(t)，即电容电压uC(t)。,注意,H(s)仅取决于网络的参数与结构，与输入E(s)无关，因此网络函数反映了网络中响应的基本特性。,.,驱动点函数,驱动点阻抗,驱动点导纳,2.网络函数H(s)的物理意义,激励是电流源，响应是电压,激励是电压源，响应是电流,.,转移函数(传递函数),转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,激励是电压源,激励是电流源,.,3.网络函数的应用,由网络函数求取任意激励的零状态响应,例,.,解,.,由网函数确定正弦稳态响应,响应相量,激励相量,.,4.网络函数的极点和零点,(1)复平面（或s平面）,极点用“”表示，零点用“0”表示。,。,零、极点分布图,.,例,绘出其极零点图,解,.,5.极点、零点与冲激响应,网络函数和冲激响应构成一对拉氏变换对,.,k=-10,例,已知网络函数有两个极点分别在s=0和s=-1处，一个单零点在s=1处，且有，求H(s)和h(t）。,解,由已知的零、极点可知：,.,显然极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应的动态过程中自由分量的变化规律。,若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲击响应为,.,.,6.极点、零点与频率响应,令网络函数H(s)中复频率s