半径相等的三个互不相交的圆的圆心O1.doc

C1021 半径相等的三个互不相交的圆的圆心O1、O2、O3位于三角形的顶点处分别从点O1、O2、O3引已知圆的切线，如图所示，已知这些切线相交成凸六边形，而六边形相邻的边分别涂成红色和蓝色证明：红色线段长度之和等于蓝色线段长度之和【题说】 第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克九年级题2【证】 如图所示，X1、X2、Y1、Y2、Z1、Z2分别为切点切线围成的六边形为ABCDEF因O1，O2，O3的半径相等，易得X1O2=O1Y2，Y1O3=O2Z2，Z1O1=O3X2即X1A+AB+BO2=O1B+BC+CY2Y1C+CD+DO3=O2D+DE+EZ2Z1E+EF+FO1=O3F+FA+AX2以上三式两边相加，并利用X1A=AX2，Y1C=CY2，Z1E=EZ2，及BO2=O1B， DO3=O2D，FO1=O3F，得AB+CD+EF=BC+DE+FAC1022 在等腰ABC中（AB=BC），CD是角平分线过ABC的外心作直线垂直于CD，交BC于E点，再过E点作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD【题说】 第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克十一年级题6【证】 设O是ABC的外心，K是直线BO和CD的交点先设O在B、K之间（图a），BOE=90DKO=DCA，所以，点K、O、E、C四点共圆OKE=OCE因为OB=OC，所以OCE=OBE于是 BKE=OCE=KBE所以 BE=KE又 BKE=KBE=KBA所以KEAB从而KEFD为平行四边形，则DF=KE=BEK在O、B之间（图b）或K、O重合的情况可用类似方法证明C1023 直角三角形ABC中，C为直角，证明：在ABC中至少有一点P，使PABPBCPCA【题说】 1963年合肥市赛高二二试题2【证】 我们证明结论对任意ABC成立不妨设A、B为锐角，过A作AB的垂线，与边AC的中垂线相交于点OB过B作BC的垂线交AB的中垂线于点OC，分别以OB、OC为心，过A点作圆设P为这两个圆的另一个公共点，则APOBOC连PB、PC设O为ABC的外心，则OOCAOB，四边形OOBAOC为梯形，对角线OBOC在梯形内，AOBOC AOBO，所以PAOB90AOBOC90AOBO=CAOB同样PAOCBAOC，所以射线AP在CAB内，P是AP与 的交点， 与A在BC的同侧，所以P在ABC内由于BC与OC相切，所以PBC=PAB同理PAB=PCA因此，P合乎要求C1024 在矩形ABCD内，M是AD的中点，N是BC的中点，在线段CD的延长线上取一点P，用Q表示直线PM和AC的交点证明：QNM=MNP【题说】 第六届（1972年）全苏数学奥林匹克八年级题1【证】 设R是直线QN和CD的交点，O是矩形ABCD的中心，由OM=ON得：PC=CR因此三角形PNR是等腰三角形（NC是该三角形的中线和高，也就是PQN的外角PNR的平分线，又NCMN），问题的结论由此即得C1025 已知正方形ABCD，点P和Q分别在AB和BC上，且BP=BQ，BHPC于H证明：DHQ是直角【题说】 第八届（1974年）全苏数学奥林匹克十年级题2【证】 延长BH交AD于E，则RtABERtBCP，于是AE=BP=BQ，因此，QC=ED，从而得矩形CDEQ这个矩形的外接圆直径就是其对角线CE与DQ，而CHE=90，所以H点在矩形的外接圆上，即C、D、E、H、Q五点共圆对着直径DQ的圆周角：DHQ=DCQ=90即DHQ是直角C1026 设ABCD是矩形，BC=3AB，证明：如果P、Q是BC边上的点，BP=PQ=QC，那么DBC+DPC=DQC【题说】 第六届（1974年）加拿大数学奥林匹克题2【证】 如图所示，即证+或 tan（+）=tan=1BRDPQD于是RBD=DPC=，从而有+RBC=C1027 在任一ABC的边上，向外作BPC、CQA和ARB，使得2QR=RP【题说】 第十七届（1975年）国际数学奥林匹克题3本题由荷兰提供【证】 建立一个复平面，令A和B的坐标分别为1和1，C的 因而 ，于是RQRP，RQ=RPC1028 如图，两圆O1、O2相交于A、B，圆O1的弦BC交圆O2于E，圆O2的弦BD交圆O1于F，证明：1若DBA=CBA，则DF=CE；2若DF=CE，则DBA=CBA【题说】 1979年全国联赛二试题6【证】 1连AD、AE、AF、AC，则DFA=ECA又 DBA=CBA所以 AD=AE，AC=AF所以 DAFEACDF=CE2由于DFA=ACE，AEC=ADF，DF=CE，所以DAFEAC，AD=AE从而DBA=EBAC1029 两圆相切（内切或外切）于P点，一条直线切一个圆于A，交另一圆于B、C证明：直线PA是BPC的平分线（如果两圆内切）或BPC的补角的平分线（如果两圆外切）【题说】 1980年五国国际数学竞赛题4本题由比利时提供【证】 设两圆外切（图a），作公切线PT，则APB=APT+TPB=BAP+BCP =BPC的补角APB即AP是BPC的补角的平分线若两圆内切（图b），设公切线与BC相交于T因为CPT、APT、TAP都是弦切角，故BPA=APC，因此，PA是BPC的平分线C1030 已知A为平面上两条半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点，求证：O1AO2=M1AM2【题说】 第二十四届（1983年）国际数学奥林匹克题2本题由原苏联提供【证】 设B是两圆的另一交点，T、M分别是P1P2、O1O2与AB的交点又 P1M1TMP2M2所以 MM1=MM2因为 ABO1O2所以TM是M1M2的中垂线在O1O2上，取MO3MO2，则O