第二章 随机变量及其分布

.,1,第二章随机变量及其分布,随机变量随机变量的分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布,.,2,从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的特殊函数；为了能用变量、函数及微积分等工具来研究事件发生的概率，需要引入概率论中的重要概念随机变量。,2.1随机变量,.,3,定义：设E是一个随机试验，是其样本空间，如果对每一个，有唯一的实数X()与之对应，则称X是E的一个随机变量。,说明,3,引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在实数轴上某一个集合中的取值来表示。,所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。,.,4,例2.观察某网站在一段时间内被点击次数。,例3.观察灯泡的使用寿命t.,例1.从含有2个黑球，3个白球的盒子中任取3个球，观察取出球的情况。,若令X表示取出的3个球中黑球的个数,.,5,2.2随机变量的分布函数,对于随机试验而言，仅仅知道可能出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能性有多大。对于随机变量X来说，就是X取什么值不重要，重要的是X取这些值的概率有多大。,.,6,定义：设X是一个随机变量，是一个实数，函数就称为随机变量X的概率累积分布函数(cdf:cumulativedistributionfunction)，简称分布函数。,.,7,分布函数的性质：,具有上述3条性质的函数一定是某个随机变量的分布函数。,.,8,例1、判断以下函数是否为分布函数：,.,9,关于分布函数还有一些常用公式：,（1）,（2）,（3）,（4）,.,10,2.3离散型随机变量,离散型随机变量：如果随机变量的取值个数有限，或者可数，则其取值能按一定的次序一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量。,.,11,定义：如果离散型随机变量X的一切可能取值为，则称P(X=xk)pk为随机变量X的分布律(列),也称概率质量函数pmf:probabilitymassfunction。,2.3.1离散型随机变量的分布列,.,12,分布律的性质：,反之，若数列满足这两条性质，则一定是某一离散型随机变量的分布律。,.,13,.,14,离散型随机变量X的分布函数为,例3.求随机变量X的分布函数。,.,15,定义：把试验E在相同的条件下重复进行n次，各次试验的结果有限且互不影响，则称这n次试验为n次独立试验。,如果试验只有两个结果（），则称为贝努里试验。,n次独立的贝努里试验又称为n重贝努里试验。,.,16,2.3.2常见的离散型随机变量,（1）(0-1)分布(两点分布)(two-pointdistribution),其中，则称X服从（0-1）分布。,（0-1）分布的随机变量X对应贝努里试验里成功（A事件）的次数。P(A)=p,设随机变量X只可能取0和1两个数值，它的分布律为,.,17,（2）二项分布(Binomialdistribution)若随机变量X的分布律为其中，则称X服从参数为n,p的二项分布，记为，当时，就是(0-1)分布。,二项分布随机变量X对应n重贝努里试验中成功的次数。P(A)=p,.,18,定理：设X是n重贝努里试验中成功（A发生）的次数，则XB(n,p)，其中p=P(A),.,19,定理：设XB(n,p)，m=(n+1)p,则,设k为事件A最可能成功的次数，称P(X=k)为二项分布的中心项。,.,20,泊松定理,可用泊松分布近似计算二项分布的概率，通常要求,.,21,例4.把3个球任意地放到4个盒子中，令X表示落到第1个盒中球的个数，求X的分布列。,.,例5.甲乙两种名酒各4杯，从中任取4杯，若取出的都是甲种酒称试验成功（A），求：1.试验一次获得成功的概率；2.某人称能区分这两种酒，让他做了10次试验，结果成功了3次，试判断此人是否真的有区分这两种酒的能力。,.,23,（3）泊松分布（Poissondistribution）设随机变量X可能取的值为一切非负整数，而取值k的概率为，其中是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()。,设k为最可能成功的次数，则称P(X=k)为泊松分布的中心项。,.,服从泊松分布的随机现象,特别集中在两个领域中。一是社会生活中：如电话交换台中收到的呼叫次数，公共汽车站到来的乘客数，某地区某时间间隔内发生的交通事故次数等等。二是物理学领域：放射性物质经过某区域的质点数，显微镜下某区域的微生物或血细胞数目等等。Poisson分布主要用于描述在固定时间(空间)中稀有事件的发生数,.,Possion分布基本特性,一个Poisson过程有三个基本特性：(1)在长度为t的时间段内，发生一次事件的机率与t成正比：。(2)瞬间发生两次及两次以上事件的机率可以忽略。(3)在不重叠的时间段里，事件各自发生的次数是独立的。,在长度为t的时间段内，事件发生的次数XP()。,则在单位时间段内，事件发生的次数XP()。,.,26,泊松定理,结论：1.泊松分布可以看做二项分布当n很大，p很小时的极限分布,；2.可用泊松分布近似计算二项分布的概率，通常要求,.,（4）超几何分布（Hypergeometricdistribution）若X的分布律为,实例：不放回摸球问题,注：当N很大，n很小时，不放回摸球问题可近似当成有放回摸球问题处理，令p=M/N,.,28,（5）几何分布（Geometricdistribution）,X含义：贝努里试验中首次成功事件出现所要进行试验的次数。,.,29,例1。一射手对某一目标进行射击，每一次击中的概率为0.8（1）求一次射击的分布列；（2）求到击中目标为止所需的射击次数的分布列。,.,30,（6）负二项分布（帕斯卡分布）(negativebinomial/Pascaldistribution),特别的，当r=1时即为几何分布。,X含义：贝努里试验中第r次成功事件出现所要进行试验的次数。,.,31,2.4.1连续型随机变量的概念,如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量称为连续型随机变量。,2-4连续型随机变量,.,32,定义：设随机变量X的分布函数为。若存在非负可积函数，使得对于任一实数x有则称X是连续型随机变量，其中函数称为X的概率密度函数ProbabilityDensityFunction，简称为概率密度pdf。,.,33,反之，对于任何一个满足这两条性质的函数则由定义的也一定是某个连续型随机变量的分布函数。,（4）若在x处连续，则,（3）是连续函数,.,34,对连续型随机变量X而言，概率为0的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也未必是必然事件。,（5）连续型随机变量X在一个点上取值的概率恒为0。,.,35,例1.设连续型随机变量X的分布函数为,求常数A及其概率密度函数。,例2.设连续型随机变量X的概率密度函数为,x+，求常数C。,.,36,注意：一般的，同一个连续型随机变量X的概率密度函数可以有很多个，但它们只在有限个点或可数个点上取值不同。所以连续型随机变量X的概率密度函数是“几乎处处”唯一的。,.,37,2.4.2几个重要的连续型随机变量,1、均匀分布Uniformdistribution,设有连续型随机变量X，其概率密度为,分布函数：,.,例1.设随机变量K，求方程有实根的概率。,解：K的概率密度函数为：,方程有实根，即,.,39,2、指数分布Exponentialdistribution,若随机变量X具有密度：,其中，是常数，则称X服从参数为的指数分布（寿命分布）。记为：X。,分布函数：,性质：指数分布具有无记忆性MemorylessProperty,.,40,例2.某种电器元件的使用寿命X（单位：小时）服从参数为1/2000的指数分布。（1）任取一个元件，求能正常使用1000小时以上的概率。（2）求其正常使用1000小时后还能使用1000小时的概率。,.,例3.某种电子元件寿命(小时)服从参数为1/10000的指数分布。问：5个这样的元件连续使用了2000小时后恰有2个损坏的概率和没有一只元件损坏的概率。,解：该种元件寿命的概率密度为：,一个元件的寿命不超过2000小时的概率为,.,记Y为5个元件使用2000小时后损坏的个数，则：Y,所以，2个元件损坏的概率,没有元件损坏的概率,.,3正态分布Normal/Gaussiandistribution,若X的pdf为,则称X服从参数为,2的正态分布(高斯分布)。,记作XN(,2),为常数，,1、定义,.,德国10马克钞票上的Gauss与正态分布曲线,.,.,2、f(x)的性质：,(1)图形关于直线x=对称。,(2)在x=时,f(x)取得最大值。,(3)x=为曲线y=f(x)的拐点。,(4)曲线y=f(x)以x轴为渐近线。,(5)曲线y=f(x)的图形呈单峰状。,(6)参数决定了正态曲线的形状，越小，曲线越陡峭数据越集中，越大，曲线越扁平，数据越分散。,.,47,标准正态分布：当0、1时的分布称为标准正态分布，记为N(0,1)，则其分布函数为：,.,48,标准正态分布的性质及应用,.,例设XN(1,4),求P(0X1.6),解,.,50,分位点：给定常数，若存在数满足，则称为,随机变量X的上分位点（临界点）；当时，称为随机变量X的中位数。,一般的,上分位点可查表得到。,.,51,例1：公共汽车车门高度是按照男子与车门顶碰头机会小于1%设计的。假设男子身高XN(175,25)，问车门高度应为多少合适？,.,例2.某医院新出生的婴儿的体重X近似服从正态分布，已知超过4千克和不到2.5千克的人数各占了20，求的值及体重不到2千克的人数所占比例。,解：,.,53,例3.某科统考成绩近似服从正态分布，在参加统考的人中，及格者100人（及格分数为60分）计算：1）不及格人数。2）估计第10名的成绩。,.,例4.设测量的误差XN(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?,解,设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米。,所以至少要进行4次独立测量才能满足要求.,.,55,2-5随机变量函数的分布,已知随机变量X的分布，是连续函数，求的分布律、分布函数或密度函数。,.,56,则的分布列为：,g(x1)g(x2)g(xk)Pp1p2pk,1.X是离散型随机变量：,必要时合并Y取值相同的项！,.,57,例1：设随机变量X的分布列为：X2101,求的分布列。,.,58,2.X是连续型随机变量：,已知X的密度函数为或分布函数,求随机变量的概率密度函数或概率分布函数。,.,59,2.X是连续型随机变量：,(1)分布函数法,关键的一步是设法从g(X)y中解出X，从而得到与g(X)y等价的X的有效密度范围,.,60,例2.设随机变量X的概率密度为,，求的分布函数与概率密度函数。,.,.,(2)公式法,其中，,1)x=h(