安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测 数学（理）试题（扫描版）

合肥市合肥市 20202020 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测 数学试题数学试题( (理科理科) ) ( (考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 满分：满分：150150 分分) ) 第卷第卷 (60(60 分分) ) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1.已知集合 2 20Ax xx，210Bxx ，则AB U( ). A.1 ， B. 1 1 2 ， C. 1 2 2 ， D. 1 2 ， 2.设复数z满足1izz(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( ). A.yx B.yx C. 22 111xy D. 22 111xy 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线 国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容 的命运共同体.自 2013 年以来， “一带一路”建设成果显著.右 图是 2013-2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况 统计图，下列描述错误 的是( ). A.这五年，2013 年出口额最少 B.这五年，出口总额比进口总额多 C.这五年，出口增速前四年逐年下降 D.这五年，2017 年进口增速最快 4.下列不等关系，正确的是( ). A. 234 log 3log 4log 5 B. 243 log 3log 5log 4 C. 243 log 3log 5log 4 D. 234 log 3log 4log 5 5.已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a ， 47 329aa，则 7 S的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出i的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数 22 cos xx y xx 的图象大致为( ). 8.若函数 sin2f xx的图象向右平移 11 6 个单位得到的图象对应的函数为 g x， 则下列说法正确的是 ( ). A. g x的图象关于 12 x 对称 B. g x在0，上有 2 个零点 C. g x在区间 5 36 ，上单调递减 D. g x在 0 2 ，上的值域为 3 0 2 ， 9.已知双曲线C： 22 22 1 xy ab (00ab，)的左右焦点分别为 12 FF， 圆 2 F与双曲线C的渐近线相切，M 是圆 2 F与双曲线C的一个交点.若 12 =0FM F M uuuu r uuuu u r ，则双曲线C的离心率等于( ). A.5 B.2 C.3 D.2 10.射线测厚技术原理公式为 0 t II e ， 其中 0 II，分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的 底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅 241( 241Am )低 能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8， 钢的密度为 7.6， 则这种射线的吸收系数 为( ). ( (注：注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果精确到 0.001) ) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116 11.已知正方体 1111 ABCDABC D，过对角线 1 BD作平面交棱 1 AA于点 E，交棱 1 CC于点 F，则： 平面分正方体所得两部分的体积相等； 四边形 1 BFD E一定是平行四边形； 平面与平面 1 DBB不可能垂直； 四边形 1 BFD E的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A. B. C. D. 12.已知函数 0 1 ln0 x x ex f x xexxx ， ， ， 则函数 F xff xef x的零点个数为( ) (e是 自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第卷第卷 (90(90 分分) ) 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第 1313 题题第第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222 题、第题、第 2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分. .把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. . 13.已知向量a r (1，1)， 2bm r ，且a r 2ab rr ，则m的值等于 . 14.直线l经过抛物线C： 2 12yx的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB的长为 16，则直 线l的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容， 立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章” 、 “视听学习”等多个栏目.假设在这 些栏目中，某时段更新了 2 篇文章和 4 个视频，一位学习者准备学习这 2 篇文章和其中 2 个视频，则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有 种. 16.已知三棱锥ABCD的棱长均为 6， 其内有n个小球， 球 1 O与三棱锥ABCD的四个面都相切， 球 2 O 与三棱锥ABCD的三个面和球 1 O都相切，如此类推，球 n O与三棱锥ABCD的三个面和球 1n O 都相切 (2n ，且nN)，则球 1 O的体积等于 ，球 n O的表面积等于 . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题小题，满分满分 7 70 0 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(17.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 在ABC中，内角ABC， ，所对的边分别为abc， ，若2a ，coscos2 cos0aCcAbB. (1)求B； (2)若BC边的中线AM长为5，求ABC的面积. 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风 光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习 生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在 前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了 100 所学校，统计如下： 研学游类 型 科技体验 游 民俗人文 游 自然风光 游 学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了 3 所学校，并以统计的频率代替 学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果 的影响)： (1)若这 3 所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游” ，求这两种类型都有学校选择 的概率； (2)设这 3 所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望. 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 如图，已知三棱柱 111 ABCABC中，平面 11 AACC 平面ABC， 1 AAAC，ACBC. (1)证明： 1 AC 1 AB； (2)设2ACCB， 1 60A AC o， 求二面角 11 CABB的余弦值. 20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 设椭圆:C 22 22 1 xy ab (0ab)的左右顶点为 12 AA，上下顶点为 12 BB，菱形 1122 AB A B的内切圆 C 的 半径为2，椭圆的离心率为 2 2 . (1)求椭圆C的方程； (2)设MN，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足PMPN，试判断直线PMPN，与圆 C 的位置关系，并证明你的结论. 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数 2 1 x x f x e (e为自然对数的底数). (1)求函数 f x的零点 0 x，以及曲线 yf x在 0 xx处的切线方程； (2)设方程 f xm(0m )有两个实数根 1 x， 2 x，求证： 12 1 21 2 xxm e . 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分目计分，作答时，请用，作答时，请用 2B2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. . 22.(22.(本小题满分本小题满分 1010 分分) )选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴 A C B B1 C1 A1 为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin. (1)求曲线C的直角坐标方程； (2)设曲线C与直线l交于点MN，点A的坐标为(3，1)，求AMAN. 23.(23.(本小题满分本小题满分 1010 分分) )选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数 2f xxmx(mR)，不等式20f x的解集为 4，. (1)求m的值； (2)若0a ，0b ，3c ，且22abcm，求113abc的最大值. 合肥市合肥市 20202020 届高三第一次教学质量检测数学试题届高三第一次教学质量检测数学试题( (理科理科) ) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共，共 2 20 0 分分. . 13.-2 14. 3 或 2 3 15.72 16.6， 1 6 4n (第一空 2 分，第二空 3 分) 三、解答题：大题共三、解答题：大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分分. . 17.(17.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 解：(1)在ABC中， sinsinsin abc ABC ，且coscos2 cos0aCcAbB， sincossincos2sincos0ACCABB， sin12cos0BB， 又sin0B ， 2 cos 2 B . B是三角形的内角， 3 4 B . 5 分 (2)在ABM中， 3 15 4 BMAMBABc ， 由余弦定理得 2 22 2cosAMcBMc BMB， 2 240cc， 0c ，2c . 在ABC中，2a ，2c ， 3 4 B ， ABC的面积 1 sin1 2 SacB. 12 分 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为 2 5 ，选择“自然风光游”的概率为 1 5 ， 若这 3 所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游” ，则这两种类型都有学校选择的概 率为： 22 22 33 211218 5555125 PCC . 5 分 (2)X可能取值为 0，1，2，3. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 则 3 0 3 327 0 5125 P XC ， 2 1 3 2354 1 55125 P XC ， 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 3 3 28 3 5125 P XC ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 27543686 0123 1251251251255 EX . 12 分 或解：随机变量X服从 2 3 5 XB ， 26 3 55 EXnp . 12 分 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) (1)连结 1 AC. 1 AAAC，四边形 11 AACC为菱形， 11 ACAC. 平面 11 AACC 平面ABC，平面 11 AACCI平面 ABCAC， BC 平面ABC，BC AC， BC 平面 11 AACC. 又 11 /BCBC， 11 BC 平面 11 AACC， 111 BCAC. 1111 ACBCCI， 1 AC 平面 11 ABC，而 1 AB 平面 11 ABC， 1 AC 1 AB. 5 分 (2)取 11 AC的中点为M，连结CM. 1 AAAC，四边形 11 AACC为菱形， 1 60A AC o， 11 CMAC，CMAC. 又CMBC，以C为原点，CACBCM，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设1CB ，22ACCB， 1 AAAC， 1 60A AC o， C(0，0，0)， 1 A(1，0，3)，A(2，0，0)，B(0，1，0)， 1 B(-1，1，3). 由(1)知，平面 11 C AB的一个法向量为 1 1 03CA uuu v ，. 设平面 1 ABB的法向量为nxyz v ，则 1 nAB nAB vuuu v vuuu u v ， 1 0 0 n AB n AB v uuu v v uuu u v. 2 1 0AB uuu v ， 1 3 1 3AB uu v ， 20 330 xy xyz . 令1x ，得 1 2 3 yz，即 1 1 2 3 n v ，. 1 1 1 23 cos 416 2 3 CA n CA n CAn uuu v v uuu v v uuu vv， 二面角 11 CABB的余弦值为 3 4 . 12 分 20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) (1)设椭圆的半焦距为c.由椭圆的离心率为 2 2 知，2bcab，. 设圆 C 的半径为r，则 22 rabab， 2 232bb，解得3b ，6a ， 椭圆C的方程为 22 1 63 xy . 5分 (2)MN，关于原点对称，PMPN，OPMN. 设 11 M xy， 22 P xy，. 当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm. 由直线和椭圆方程联立得 2 2 26xkxm，即 222 1 24260kxkmxm， 12 2 2 12 2 4 21 26 21 km xx k m x x k . 11 OMxy uuuu v ， 22 OPxy uuu v ， 12121212 OM OPx xy yx xkxmkxm uuuu v uuu v 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22 2 322 0 21 mk k ， 22 220mk， 22 22mk， 圆 C 的圆心 O 到直线PM的距离为 2 2 1 m r k ，直线PM与圆 C 相切. 当直线PM的斜率不存在时，依题意得 11 ,Nxy， 11 ,P xy. 由PMPN得 11 22xy， 22 11 xy，结合 22 11 1 63 xy 得 2 1 2x ， 直线PM到原点 O 的距离都是2， 直线PM与圆 C 也相切. 同理可得，直线PN与圆 C 也相切. 直线PM、PN与圆 C 相切. 12 分 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) (1)由 2 1 0 x x f x e ，得1x ，函数的零点 0 1x . 2 21 x xx fx e ， 12fe ，10f . 曲线 yf x在1x 处的切线方程为21ye x. 2 1f e ， 10f， 曲线 yf x在1x 处的切线方程为 2 1yx e .5 分 (2) 2 21 x xx fx e . 当 1212 x U，时， 0fx；当 12 12x，时， 0fx. f x的单调递增区间为 12 12 ，单调递减区间为 12 12，. 由(1)知，当1x 或1x 时， 0f x ；当11x 时， 0f x . 下面证明：当1 1x ，时， 21e xf x. 当1 1x ，时， 2 1 11 212100 2 x x xx e xf xe xe e . 易知， 1 1 2 x x g xe 在1 1x ，上单调递增， 而10g ， 10g xg对1 1x ，恒成立， 当1 1x ，时， 21e xf x. 由 21ye x ym 得1 2 m x e .记 1 1 2 m x e . 不妨设 12 xx，则 12 1121xx ， 1212212 1 2 m