广东省珠海市2020届高三上学期期末考试 文科数学（扫描版）

高三文科数学第 1 页 共 12 页 珠海市珠海市 20192020 学年度第一学期普通高中学业质量监测学年度第一学期普通高中学业质量监测 高三文科数学试题和答案高三文科数学试题和答案 时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选分，在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项）出符合题目要求的一项） 1已知集合 2 41,0,1,2,3Ax xB= -，则AB = A0,1,2 B0,1 C1,0,1- D2, 1,0,1,2- 【答案】C. 解析解析：21,0,1,2,3AxxB=- 则下列命 题为真命题的是 A qp B )( qpC)()(qpDqp )( 【答案】B. 解析解析：p为真命题；命题q是假命题，比如当ba 0或者取=12ab = -，时，则 22 ba 不成立. 4某学校有 800 名新生，其中有 500 名男生，300 名女生为了了解学生的身体素质，现 用分层抽样的方法从中抽取 16 人进行检查，则应从男生中抽取 A10 名学生B11 名学生 C12 名学生D无法确定 【答案】A. 解析解析： 500 16800 n = 男 得10n= 男 . 5已知ABCD的内角AB C， ，的对边分别为abc， ，sinsinaAbB=，则ABCD一 定为 高三文科数学第 2 页 共 12 页 A等腰三角形B钝角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形 【答案】A. 解析解析：由sinsinBaAb=结合正弦定理得， 22 ab=,从而ab=. 6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为 难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为： “有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一 半，走了 6 天后到达目的地”问此人第 5 天和第 6 天共走了 A24 里B6 里C18 里D12 里 【答案】C. 解析解析：设第六天走了a里，则第五天走了2a里，依次下去，构成一个等比数列.所有路 程之和为： 6 (1 2 ) 378 1 2 a- = ，解得6a =，可知218aa+=. 7已知ba r r， 满足32=a r ，3=b r ，6a b= -,则a r 在b上的投影为 A2-B1-C3-D2 【答案】A. 解析解析：a r 在b r 上的投影为 2 3 6 cos-= - = = b ba ar r r r q . 8双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab -=的两条渐近线与圆 22 (2)1xy-+=相切，则C的离心 率为 A 2 3 3 B3C2D2 【答案】A. 分析：分析： 数形结合可得， 3 tan30 3 b a =， 22 2 12 3 1 ( )1 33 cabb e aaa + =+=+= ， 所以选 A. 高三文科数学第 3 页 共 12 页 9函数 2 2 ( )1 1 x f x x =- + 在区间 4,4-附近的图象大致形状是 AB C D 【答案】B. 解析解析： 2 2 ( )1 1 x f x x =- + 过点()10，可排除选项 A，D.又( )20f，排除 C. 10已知 3 0.20.3 log 0.3,0.3 ,0.2abc=，则 Aabc Bacb Ccab Dbca，所以a cb = + ，若( )( )f mf n=，则nm-的取值范围是 高三文科数学第 4 页 共 12 页 A,3e B42ln2,3- C 3 2 42ln2,1e - D 22ln2,3- 【答案】C. 解析：解析：法一：不妨设( )( )f mf nt=，由题意可知，函数( )yf x=的图象与直线yt=有两 个交点，其中 3 0 2 t ，由( )f mt=，即 1 1 2 mt+ =，解得22mt=-， 由( )f nt=，即lnnt=，解得 t ne=， 记( )22 t g tnmet=-=-+，其中 3 0 2 t ，( )2 t g te=-， 当0ln2t 时，( )0g t， 3 2 42ln2( )e1g t-，即 3 2 42ln2e1nm-. 法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得nm-最小值， 而nm-最大值为0y =（取得到）或 3 2 y =（取不到）时. 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13函数 2 ln)(xxxf+=的图象在点()1,(1)f处切线方程为 【答案】32yx=-. 解析：解析：x x xf2 1 )(+=，则3) 1 (= f ，又1) 1 (=f，则切线方程为23 -= xy 14若 3 2 )15sin(=+ o a，则=+)105cos( o a_ 【答案】 2 3 -. 高三文科数学第 5 页 共 12 页 解析解析： 3 2 )15sin()9015cos()105cos(-=+-=+=+ oooo aaa. 15函数 ( )sin(2) 3 f xx=+在区间0, 4 p 的最小值为_ 【答案】 1 2 . 解析解析：0, 4 x p ，则 5 2, 336 x ppp + ， 1 sin 2,1 32 x p + （），可知( )f x的最小值 为 51 ( )sin 62 f x = . 16在半径为2的球内有一个内三棱锥PABC-，点 , , ,P A B C都在球面上，且ABCD 是边长为3的等边三角形，那么三棱锥PABC-体积的最大值为_ 【答案】 9 3 4 . 解析：解析：如图： 23 33 32 CD = =. 在OCDD中， 22 1ODOCCD=-=. 三棱锥PABC-体积的最大时，最长的高为3ODOP+=. 1139 3 3 33 3224 P ABC V - = =. 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（一）必考题 17（本小题满分 12 分） 已知正项等差数列 n a满足 25 9aa+=， 34 20a a =，等比数列 n b的前n项和 n S满足 2n n Sc=-，其中c是常数 （1）求c以及数列 n a、 n b的通项公式； 高三文科数学第 6 页 共 12 页 （2）设 nnn ca b=，求数列 n c的前n项和 n T 解：解：（1）数列 n a为正项等差数列，公差0d ， 2534 9aaaa+=+=，又 34 20a a =， 3 4a=， 4 5a =，可得1d =，即可得1 n an=+； 2n n Sc=- 当1n =时， 1 2bc=-， 当2n时， 1 1 2n n Sc - - =- -即可得 1 2n n b - =，2n，又 n b为等比数列， 0 1 212bc= =-，即可得1c =， 1 2n n b - =，*nN； （2）由题意得 1 (1)2n n cn - =+， 011 2 23 2(1) 2n n Tn - =+， 11 22 22(1) 2 nn n Tnn - =+， -可得： 1 121 2(12) 2222(1) 22(1) 22 12 n nnnn n Tnnn - - - -=+-+=+-+= - - 2n n Tn= 18（本小题满分 12 分） 为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统 计如下图所示： 高三文科数学第 7 页 共 12 页 并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示： 愿意购买该款手机不愿意购买该款手机总计 40 岁以下600 40 岁以上8001000 总计1200 （1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间； （2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有 999的把握认为“愿意 购买该款手机”与“市民的年龄”有关 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd - = + ，其中nabcd=+ + 参考数据： 2 0 ()P Kk0.1000.0500.0100.001 0 k2.7063.8416.63510.828 解：解：（1）4 0.05 24 0.09 64 0.07 104 0.03 144 0.01 18 7.76+ + + + 该款手机的平均使用时间为 7.76 年. （2） 愿意购买该款手机不愿意购买该款手机总计 40 岁以下4006001000 40 岁以上8002001000 总计12008002000 () 2 2 2000 400 200600 800 333.310.828 1200 800 1000 1000 K - = 可知有 999的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关 高三文科数学第 8 页 共 12 页 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥SABCD-的底面ABCD为直角梯形，/ /ABCD，ABBC， 222ABBCCD=，SADD为正三角形，点M为线段AB的中点 （1）证明SMAD； （2）当1SM =时，求点B到平面SAD的距离 解：解：（1）取AD的中点P，连接SP、MP， 由题意可知：1AMDM= MPAD. SADD 为正三角形 SPAD . 又 SPMPP= ，SP，MP面SMP， AD面SMP. SM 面SMP， SMAD. （2）由题意可知DM AB ，且1AMDM=， 2AD=，且1AM =， 2SA=. 又1SMAM=， SMAM. 由（1）知SMAD，且ADAMA，ADAM ，面ABCD， SM面ABCD， 三棱锥SABD的体积为 11 33 SABDABD VSSM= ， 设点B到平面SAD的距离为h， 则 1131 33 23 BSADSAD VShh= ， 高三文科数学第 9 页 共 12 页 得 2 3 3 h =. 20（本小题满分 12 分） 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过(0, 1)A-、 1 ( 3, ) 2 B两点， （1）求椭圆C的方程； （2） 设直线 1 :,(0) 2 l yxm m=+与椭圆C交于P，Q两点， 求当m取何值时，OPQD 的面积最大 解：解：（1）由题意可设椭圆C的方程为 22 22 1 xy mn +=，代入()0, 1A-、 1 3, 2 B 两点得 () 2 2 22 2 2 22 10 1 1 32 1 mn mn - += += 解得 2 1n = ， 2 4m = 得椭圆 :C 2 2 1 4 x y+=. （2）将直线 1 :,(0) 2 l yxm m=+代入 2 2 1 4 x y+=得： 2 2 1 44 2 xxm += . 整理得： 22 2220 xmxm+-=. ()() 2 22 24 22840mmmD =-=-得22m-. 由韦达定理得 12 2xxm+= -， 2 12 22x xm=. ()() 2 222 121212 444 2284xxxxx xmmm-=+-=-=- 242 12 1 22 2 OPQ Sm xxmmmm D =-=-=-+ . 由二次函数可知当 2 1m =即 1m = 时，OPQD 的面积的最大 21（本小题满分 12 分） 高三文科数学第 10 页 共 12 页 已知函数( )sinf xaxx=-，0, 2 x p ，其中a为常数 （1）若函数( )f x在0, 2 p 上是单调函数，求a的取值范围； （2）当1a 时，证明： 3 1 ( ) 6 f xx 解：解：（1）求导得( )cosfxax=-，0, 2 x p ， 当( )f x在0, 2 p 上为单调递减函数时，即( )cos0fxax=-恒成立， 又cos0 x，1，(cos )0 min ax= 当( )f x在0, 2 p 上为单调递增函数时，即( )cos0fxax=-恒成立， 又cos0 x，1，(cos )1 max ax=； 综上所述：( )f x在0, 2 p 上为单调递减函数时，0a； ( )f x在0, 2 p 上为单调递增函数时，1a （2）证明：要证 3 1 ( )