正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀.doc

有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？ 解因总面数是 5，不会出现 5 个面全部排成一行（列）的情形. （1） 当 一 行 （ 列 ） 面 数 最 多 是 4 时 ， 有 两 种 情 形 （ 注 意 对 称 性 ） 如 图 ） ，（2） 当一行（列）面数最多是 3 时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不同情形，如图 15-2（b） （3） 剩 下 的 两 个 面 位 于 这 一 行 （ 列 ） 的 异 侧 有 三 种 不 同 情 形 ， 如 图（4） 当一行（列）的面数最多是 2 时，仅一种情形，如图所示. 总数为 2+2+3+1=8 种，即有 8 种不同的展开形式.探究正方体的展开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同的图形呢？ 要搞清这个问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪 开（但不要剪断，六个面要通过边连在一起 ，展成平面，再观察、对比一下不同形状的图 但不要剪断， 但不要剪断 六个面要通过边连在一起） 形有哪些。 如果不容易找到足够的正方体纸盒，还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用 逆向思维，先猜测正方体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部 分剪去，然后沿所画直线直行折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。这种探究方法虽 然有点麻烦，但操作简便易行，快速有效。事先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐， 六个正方形边与边对齐， 六个正方形边与边对齐 任意连接成不同的平面图形） 任意连接成不同的平面图形 ，经过逐个验证，记录下所有可以折叠成正方体的图形，再将 这些图形分类，总结并寻找出其中的规律。 那么， 沿棱剪开展开一个正方体， 究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻 折等造成相对位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共 11 种。 一、 141 型” 共 6 种） “ （ 特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有 4 个正方形（图 1图 6） 。 特点理解：有 4 个面直线相连，其余 2 个面分别在“直线”两旁，位置任意。 理解 二、 231 型”与“33 型” 共 4 种） “ （ 特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有 3 个正方形（如图 7图 10） 。 特点理解：在“231 型”中， “3”所在的行（列）必须在中间， 、 “2”“1”所在行（列）分 理解 属两边（前后不分） ，且“2”与“3”同向， “1”可以放在“3”的任意一个正方形格旁边， 这种情况共有 3 种，而“33 型”只有 1 种。 三、 222 型” 只有 1 种） “ （ 特点：展开图中，最多只有 2 个面直线相连（图 11） 。 特点评注：将上面 11 个图中的任意一个，旋转一定角度或翻过来，看上去都与原图似有 评注 不同，但这只是图形放置的位置或方式不同。实际上，它与原图能够完全重合，不能算作一 个独立的新图，而从上面 11 个图中任取两个，不论怎样操作（旋转、翻折、平移等 ，它们 旋转、 旋转 翻折、平移等） 都不可能完全重合，即彼此是独立的、不同的图形。 对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图，如果图中含有“一”字 型、 “7”字型、 “田”字型、 “凹”字型，就一定不能折成正方体。概括地说，只要不符合上 述 “141” 、 “231” “33” 和 、 “222” 的特点， 就不能折成正方体。 如图 12， 如果将其看作 “231” 型，那么，无论怎么看， “2”和“3”都不是同向，故不能折成正方体。其实，它属于“123” （或“321” ）型。巧记口诀确定正方体表面展开图6 个相连的正方形组成的平面图形， 经折叠能否围城正方体问题， 是近年来中考常考题 型。 同学们在学习这一知识时常感到无从下手， 现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式 总结出来，供大家参考： 正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。 正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。 十四条边布周围，十一类图记分明： 十四条边布周围，十一类图记分明： 四方成线两相卫，六种图形巧组合 巧组合； 四方成线两相卫，六种图形巧组合； 跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。 跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。 对面相隔不相连,识图巧排“ 、 对面相隔不相连,识图巧排“7”“凹”“田” 、 。 现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需 剪 7 刀，故平面展开图中周围有 14 条边长共有十一种展开图： 四方成线两相卫， 一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5） （6） 以上六种展开图可归结为四方连线， 即 的上下两侧，共六种情况。 二、跃马失蹄四分开， 另外两个小方块在四个方块（1） （2） （3） （4） 以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形 （如图） ，另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中 的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄 。 跃马失蹄” 跃马失蹄 三、两两错开一阶梯 这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯 。 两两错开一阶梯” 两两错开一阶梯四、对面相隔不相连 这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相 连，则 1 号面与 3 号面是对面，中间隔了一个 2 号面，并且是对面的一定不相连。 1 、 五、识图巧排“7”“凹”“田” 识图巧排“ 、 1 2 3 4 5 （1） （2） （3） 这里介绍的是一种排除法。如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方 体展开图的，因为图中 1 号面与 3 号面是对面，3 号面又与 5 号面是对面，出现矛盾。 如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一 田 顶点处不可能出现四个面的。 如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把 凹 2 3该图形折叠起来将有两个面重合。 现举例说明： 例 1 （2004 海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（）解析：本题可用“识图巧排 7田凹 来解决。A、D 都有“凹”形结构，B 识图巧排 、 、 ” 凹 有“田”形结构，故应选 C 田 例 2 （2004 扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体 盒子， 他先用 5 个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接 图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中 的拼接图形上再接一个正方形， 使新拼接成的图形经过折叠 后能成为一个封闭的正方体盒子.? (注：只需添加一个符合要求的正方形；添加的正方形 用阴影表示.) 解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了三二相连 跃马失蹄四分开” 跃马失蹄四分开 的结构， 故本题有四种答案， 即小方块的