不等式综合问题.doc

不等式综合问题【知识要点】 （1）不等关系与不等式的性质是不等式的理论基础，是证明不等式和求解不等式的主要依据，也是高考的重要内容，在高考中一般不单独命题，而是以其他知识（如函数、集合、充要条件等）为载体进行考查，主要体现它的基础性和工具性若直接考查，则常以选择题和填空题形式出现 （2）不等式的解法要理解“三个二次”之间的关系，熟练掌握一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法，这是解其它不等式的基础会解含参数的一元二次不等式会解绝对值不等式，能将分式不等式转化为整式不等式（组）求解 （3）简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力 （4）均值定理：理解均值不等式的概念，掌握均值不等式的证明过程能够利用均值不等式求函数的最值问题能利用均值不等式解答实际问题均值不等式应用范围非常广泛，可与高中数学大部分章节的知识进行综合考查，但在高考中的考查却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等因此，把握均值不等式应用的前提以及均值不等式的构造是关键 （5）不等式的综合应用：能够运用不等式的性质、定理，不等式的解法及不等式的证明有关的数学问题和实际问题不等式单独命题较少，常在函数、数列、立体几何、解析几何和应用题解题过程中涉及，加强不等式的应用能力是提高解综合问题的关键，因此，在复习时应加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识（6）思想方法：注重思想方法的复习和应用解决不等式问题中经常用到的思想方法有：等价转化思想、分论讨论思想、函数与方程的思想、化归思想等总之，学习不等式应做到立足基础、培养能力、有的放矢、重点突出、学会建模、提高素质【考纲要求】(1) （1）了解日常生活中的不等关系，了解不等式的有关概念及其分类；(2) （2）掌握不等式的性质及其应用；明确各个性质中结论成立的前提条件（3）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图（4）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用（5）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用(3) （6）掌握用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式【知识结构】 无理不等式不 等 式不等式的性质均值不等式不等式的解法比较法综合法分析法放缩法反证法换元法函数法导数法不等式的证明有理不等式超越不等式绝对值不等式一元一次不等式（组）一元二次不等式（组）整式高次不等式（组）分式高次不等式（组）指数不等式（组）对数不等式（组）三角不等式（组）不等式的应用函数的定义域、值域与单调性取值范围问题最值问题方程根的分布数列与不等式 函数不等式的证明实际应用问题线性规划一、基本不等式及应用1、已知a，b 为正数，ab-2b-a=6，求ab，a+2b的取值范围2、 【解】由得，代入得=，当且仅当3 时取“”3、已知，求的最小值【解法一】由，所以=，当且仅当且即时取等号【解法二】，所以=当且仅当即时取等号4、（1）已知是正常数，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值【解】（1），故当且仅当，即时上式取等号； （2）由（1）当且仅当，即时上式取最小值，即二、三个“二次”及其应用1、已知不等式（1）若对所有实数不等式恒成立，求的取值范围；（2）若对于不等式恒成立，求实数的取值范围【解】原不等式变形为，解集为，则，解得无解； 时，的解集不为故2、（2008年深圳一模文科）已知抛物线与直线相切于点（）求的解析式；（）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【解】（）依题意，有，因此，的解析式为（）由（）得（），解之得（）由此可得且，所以实数的取值范围是三、绝对值不等式1、（08山东16）若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围为 答案：（5，7）2、（08广东14）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 【解析】方程即，利用绝对值的几何意义（或零点分段法进行求解）可得实数的取值范围为3、（08浙江15）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t= 4、（06上海12）三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 【解】由x2+25+| x35x2 |ax ， 1x12 ax+ +| x25x |，而x+ 2=10，等号当且仅当x=5 1，12时成立；且| x25x |0，等号当且仅当x=5 1，12时成立；所以，a x+ +| x25x |min=10，等号当且仅当x=5 1，12成立故5，分别表示实数，中的最小者和最大者（1）作出函数321（R）的图像；（2）在求函数321（R）的最小值时，有如下结论：，4请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当，为实数时，函数R，R的最值【解】（1）图略；（2）当（，3）时，是减函数，当3，1）时，是减函数，当1，）时，是增函数，4（3）当0时，；当0时，；当0时，6（2008年惠州二模理科）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足”（1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在m，n，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；（3）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的，当，且时，【解】（1）因为， 所以，满足条件 又因为当时，所以方程有实数根所以函数是集合M中的元素 （2）假设方程存在两个实数根），则， 不妨设，根据题意存在数使得等式成立， 因为，所以，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根； （3）不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，所以， 所以，即， 所以 四、线性规划及应用1、已知求（1）；（2）的范围x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 2（2009山东卷理）设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为A BC D4【分析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6， 而=，故选A【说明】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如“已知2a+3b=6，求的最小值”常用乘积进而用基本不等式解答 wwwks5ucom 3（2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 （A） （B） （C） （D） AxDyCOy=kx+B【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A 4、（2009湖南卷理）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为A B C D wwwks5uco【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B五、证明不等式的方法不等式的常见证明方法有：比较法、分析法与综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、构造法等，下面重点介绍放缩法和构造法（一）放缩法 例1、已知，求证【证法1】利用累乘即得【证法2】令则CAB，所以ACA20），所以在上为增函数，4、证明：点拨：不等式两边取自然对数，整理得：构造函数可证其为减函数5、已知是正整数，且（）证明；（）证明【分析】（1）可化为：，即：构造函数（）两边取对数，得：，当时，两边求导，得：由于，故这说明在上是增函数 在处右连续 在上是增函数 ， 即整理，得：（2）仿照第4题构造函数，证明过程略注：不等式也可化为：这时，可研究函数的单调性证之【解析】（1）令，用导数法不难证明（略）（2）在中，令得，即（3）的证明与（2）相同（略）由得：，再令，仿（2）可得利用函数的性质证明不等式时，应对所证不等式的结构特征与所给函数充分的比较，然后利用赋值法并结合不等式的性质来证明六、不等式与方程综合例1 （2007年广东） 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围【解】若 ， ，显然在上没有零点， 所以 令 ， 解得 当 时， 恰有一个零点在上； 当，即时，在上也恰有一个零点 当在上有两个零点时， 则 或解得或综上所求实数的取值范围是 或 七、不等式与函数综合 2、已知函数，设函数求证：【解】以上n个式子相乘得：3、（2009全国卷理）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；（II）证明：【分析】（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力大部分考生有思路并能够得分由题意知方程有两个根则有故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域（II）这一问考生不易得分，有一定的区分度主要原因是含字母较多，不易找到突破口此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性【解】 由题意有又消去可得又，且 例4：已知、b为函数的极值点 （）求证：；（）判断函数上的单调性，并证明你的结论； （）若曲线处的切线斜率为4，且方程有两个不等的实根，求实数的取值范围【解】（） 依题设方程的两根分别为，由题意可知： 即则即（）、（）（略）5已知函数【分析】本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）【证明】（1）当且仅当时，上式取等号（2）时，结论显然成立当时，【解法1】（）证：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立（）证：当时，由（）得，于是，（）解：由（）知，当时，即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有【解法2】（）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，因为，所以又因为，所以于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立（）证：当，时，而由（），（）解：假设存在正整数使等式成立，即有又由（）可得，与式矛盾故当时，不存在满足该等式的正整数下同解法17、（07四川22）设函数（）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（）对任意的实数x，证明（）是否存在，使得an恒成立?若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由【解】（）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较令，有由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立所以，原不等式成立（）对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立八、不等式与数列综合例1、（2008安徽卷21）设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：；（）设，证明：【解】 （1） 必要性 ： ， 又 ，即充分性 ：设，对用数学归纳法证明 当时，假设 则，且，由数学归纳法知对所有成立 （2） 设 ，当时，结论成立 当 时， ，由（1）知，所以 且 （3） 设 ，当时，结论成立 当时，由（2）知 例2、已知数列满足，且对一切，有，其中（1）求证：对一切，有；（2）求数列的通项公式；（3）求证：【解析】（1），又（2）由及，两式相减得，化简得，由可得，由此可得，（3）【反思】1本题的第一问和第二问属于常规基础题，第三问采用的裂项法证明不等式，其关键之处有两个地方：一是，它既进行了合情合理地放缩，又得到了数字1；二是，所有的这些努力都是为后续的裂项创造了条件，使得后续工作的开展能够水到渠成；例3、（09广东压轴题）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（）求数列的通项公式；（）证明：例4、已知数列满足：（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设，的前n项和，求证：【证明】（1）由题设，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，且，所以即（2）， 解法一：（错位相减法）2得：解法二：（放缩法1）解法三：（放缩法2） 解法四：（放缩法3）解法五：（裂项放缩法）放缩的目标是“可求和”，如何保证放缩“恰到好处”是其难点九、不等式与解析几何例1、 （2008年全国理科21文科22）高考）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点 （）若 ，求k的值； （）求四边形AEBF面积的最大值【解】（）依题设得椭圆的方程为， DFByxAOE直线的方程分别为，如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为， 又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为 ，当时，上式取等号所以的最大值为 十、不等式与实际问题例1（2009湖北卷文）（本小题满分12分） 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）（）将y表示为x的函数： （）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【解】（1）如图，设矩形的另一边长为a m则-45x-180（x-2）