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线性代数测试题（三）一、选择题（。每小题4分，共20分。）1.设为阶方阵，满足等式，则必有 【 】A.或； B.； C.或； D. 2.四阶行列式的值等于【】A.； B.； C.； D.3.设是 阶矩阵，是的伴随矩阵，若 ，则等于 【 】A.； B.； C.； D.4.设是阶方阵，且=0，则【 】A.中必有两行(列)的元素对应成比例；B.中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合； C.中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合； D.中至少有一行(列)向量的元素为0.5.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是 【 】A.的列向量组线性无关； B.的列向量组线性相关； C.的行向量组线性无关； D.的行向量组线性相关.二、填空题（共25分）1.设为阶方阵，为阶方阵，且，则.2 设和为可逆矩阵，为分块矩阵，则.3.设向量组线性无关，则必满足关系式.4.已知线性方程组无解，则.5.若4阶矩阵与相似，且的特征值为2，3，4，5，则矩阵的全部特征值为.三、计算证明题（55分） 1.(7分) 计算行列式.2.(7分) 设矩阵和满足关系式，其中.求矩阵.3.(15分) 已知求： (1)与都正交的向量； (2)与等价的规范正交向量组.4. 设三阶实对称矩阵的特征值是1，2，3，矩阵的属于特征值1,2的特征向量分别是 (1)求的属于特征值3的特征向量； (2)求矩阵.5.(11分) 设是对称矩阵，是反对称矩阵，试证明：是对称矩阵.线性代数测试题答案（三）一、选择题（每小题4分，共20分。）1.C； 2.D； 3.A； 4.C； 5.A.二、填空题（每小题5分，共25分。）1.； 2.； 3.； 4.1； 5.三、计算证明题1解：第2行提取公因子2，第3行提取公因子3，第4行提取公因子4，再利用范德蒙行列式的结果得: .2解：由题设,得，因为 所以可逆，且 （3分） . （1分）3解：(1)设向量与都正交，则 解之，得基础解系为（3分） 所以与，都正交的向量是,（其中是任意常数） （2分） (2)解：用施密特正交化公式，取 （2分） （4分） 于是是与等价的正交向量组. （1分）4.解：(1)由于是实对称矩阵，所以它的不同特征值对应的特征向量正交. 设属于特征值3的特征向量为，则即 解之，得基础解系为.故的属于特征值3
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