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财政收入预测摘 要本文就财政收入预测问题，建立了四个数学模型，并解决了后五年的财政预测，和到达经济发达水平的年份。模型一：回归分析预测模型首先，画出各项因素和财政收入的散点图，经计算并确定其都为线性关系。其次，假设出它们之间总的线性方程式，利用回归拟合，求得总的方程式。最后，分别画出各因素与年份之间的散点图，并拟合出都为指数关系，预测出后五年的各项数值，代入财政收入的方程式，从而预测出后五年的财政收入。表1利用回归预测出后五年的财政收入年份20102011201220132014财政收入84501101410121670145940175000模型二:灰色预测模型 首先,取2005到2009五年中各因素的数据,分别将各因素的数据进行累加,再将累加的数据分别求得邻近均值B=143773, 267434, 422510, 605993;将原来的数据和邻近均值代入公式利用最小二乘法求出发展灰数=-0.185和内生控制灰数=87117.然后,再把和代入时间响应方程式中可以预测出每年各因素的值.（以国民收入为例）表2利用灰色预测法预测出后五年的财政收入年份20102011201220132014财政收入8319499154118210140950168100模型三：形曲线预测模型 首先采用S型曲线的一般公式并对其线性化，然后分别从各因素中取等距的三个点代入公式确定公式中的未知数的值，其次预算出1978-2009各个影响因素的预测值，最后将求得的各因素的预测值以及后五年的预测值带入到模型一财政收入的预测模型中对财政收入进行预测。表3利用形曲线预测出后五年的财政收入年份20102011201220132014财政收入177811.4195244.0212166.3228261.6243275.8用此方法预测出20102077年的财政收入，画出散点图，并观察得到在2049年后，图形趋于平稳，因次2049年国家经济达到发达水平。表4 2049年各项数值年份国民收入工业产值农业产值总人口固定投资财政收入20491023600471670581731461703412002040813模型四：误差分析对以上三个模型所求得结果进行误差分析，并判断出模型二的预测方法误差最小，因此模型二的更具合理性关键词：1 问题重述1.1相关信息(1)财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等因素有关.(2)根据全世界的经济情况可以得知,当一个国家的经济水平较低时,财政收入增长较快.当国家经济从一个低水平向经济高度发达国家变化的过程中,财政收入的增加逐渐趋于平稳,增速也逐步趋于0.1.2 问题提出问题一:用回归分析法(最小二乘法)构造出财政收入的预测模型并对其值进行预测.问题二:对于像中国这样的发展中国家而言,财政收入的增长是非常快的,用灰色预测法预测出后五年各因素的预测值,并代入到问题一财政收入的预测模型中进行对财政收入预测.问题三:我国的经济正处于快速发展的阶段,用阻滞增长的方法预测出后五年各因素的预测值后,代入到问题一财政收入预测模型中进行对财政收入的预测;并估计我国将在哪年进入经济发达国家,届时我国的各项因素值与财政收入的值将达到多少. 问题四:将上述问题用相对误差与绝对误差相结合的办法进行误差分析,分别将上诉问题财政收入的预测结果进行比较,说明哪个结果更具有合理性.2 模型假设与符号说明2.1模型假设 2.2符号说明符号说明:国民收入;:工业总产值;:农业总产值:总人口:固定资产投资;:年份;:财政收入;:表示发展灰数;:表示内生控制灰数;:要预测值的年数;:原始数据;:累加数据;3 问题分析3.1 问题一的分析 首先，利用回归分析进行预测，画出各类别因素与财政收入的散点图，对散点图进行分析，看其符合六种基本方程中的何种方程，假设出方程;在所假设方程的基础上，对其进行回归拟合，求出其方程，并拟合出相关系数，判断相关系数是否接近于1。若是接近于1，则此类型方程成立。 其次，判断出各类别因素和财政收入依次是哪种类型的方程后，再假设出各类别因素与财政收入总的关系式方程，利用非线性回归拟合出相关参数，将所有参数代入总的方程式，即为所要求的财政收入的预测模型。最后，画出1978-2009年份与各类别因素的散点图，对散点图进行分析，判断其符合哪种方程，若非线性的，则将其转换成线性方程，利用回归拟合出线性方程，求出表达式，用以求知的方程预测出后五年的财政收入。3.2 问题二的分析 首先,为了使预测的误差尽量减小,可以选取所有年份数据中的最后五年的各因素的数据进行分析. 然后, 对选取出来的各个因素的数据进行累加.将累加后的数据来求紧邻均值(即两两的平均值),根据各因素的原始数据,累加数据,还有紧邻均值利用最小二乘法可以求出发展灰数a和内生控制灰数u. 其次,求出时间的响应方程式,把时间1到5年代入方程式可以求出五年各因素的预测值(通过编程算出). 再次,把最后五年的预测值跟实际值进行误差分析,如果各因素的预测值和实际值的绝对误差不超过10%,就可以继续利用该预测法进行预测.把时间6到10年代人响应方程式,就可以预测出后五年各因素的预测值. 最后,把每年各因素的预测值代入到问题一求出的表达式中,可以求出每年的财政收入.3.3 问题三的分析 由于受各方面因素的影响，财政收入开始增长较快，慢慢的会趋于平稳达到一个最大值。其模型类似于型增长曲线。由题可以看出影响财政收入的因素有国民生产总值、工业总产值、农业总产值、总人口和固定资产投资。采用S型曲线的一般形式分别对这五个影响因素进行预测。首先对公式化简为，然后从各因素中取出等距的三个点得出三个关于的方程组。解出的值。带入型增长曲线的公式。其次把各因素的实际值代入公式求出预测值，再将预测值和实际值以及误差进行列表和拟合。将预测值代入问题一求出的表达式中，预测出后五年的财政收入。3.4 问题四的分析 分别将上述三个问题建立的模型所预测出来的财政收入值与实际财政收入值进行比较，求出各自相对误差。比较哪种模型的误差小，结果就选择那种模型所估测出来的后五年财政收入。4 模型建立与求解4.1模型一 ：利用回归分析模型对财政收入进行预测4.1.1 跟据题目所提供的各类别因素与财政收入的关系，分别将各类别因素作为横轴（轴），财政收入作为纵轴（轴），画出财政收入和各类别因素的散点图（见附录A）如图1所示图1各类别因素与财政收入的散点图对图形1进行分析可知各类别因素和财政收入大致呈线性增长。设线性回归关系式分别为： (1)利用编程（见附录B）即可求得各相关系数 (2)经比较都接近于1，拟合程度较高，说明各类别因素与财政收入都呈线性相关。所以可设变量之间的关系为 (3)使用非线性方法求解得：(求解见附录C) (4) 所以各类别因素与财政收入的关系求得如下： (5)4.1.2 根据题目所提供的年份与各类别因素之间的关系，将年份作为横轴（轴），各类别因素分别作为纵轴（轴），画出各类别因素与年份变化的散点图，如图2所示图2年份与各类别因素的散点图对图2进行分析可知，随着年份的增长各类别因素大致呈指数型增长。设利用回归的方法算出与的方程，则需将其转化成线性关系求解，分别对两边取对数即得到与之间的线性回归关系： 利用编程（见附录D）即可求得以及比较接近于1，拟合程度较高，进而得到，根据同样的方法求得其他各因素与年份的关系，结果如下： (6)用以上所求的方程对后五年进行预测，所得结果如下表：表5.利用回归预测出后五年的财政收入 类别 年份国民收入（亿元）工业总产值(亿元农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入(亿元)201039632017630040538135540250180845012011460460204830452511369003025301014102012534980237980505131382703658401216702013621550276490563861396604423901459402014722140321240629431410705349601750004.2模型二:利用灰色预测模型对财政收入进行预测首先,通过对附录E提供的数据进行累加处理,求紧邻均值,其次利用最小二乘法求出发展灰数和内生控制灰数.（由于数据过多，以固定投资为例，其它因素方法如上）解得： (计算方法见程序F)然后,我们选取2005到2009五年的各因素数据进行灰色预测,得出预测模型. (此时,已知) (7)最后对2005到2009五年各因素的值进行预测(见程序附录F)结果见表2表6.灰色预测法预测的数据误差表年份20052006200720082009国民收入 184089213132259259302853343464预测国民收入184089218251254588296974.346418相对误差(%)02.4-1.8-1.90.9绝对误差05119-4671-58792954工业总产值87365103162124799146183156958预测工业总值87365107112122593140313160593相对误差(%)04-1.8-42.3绝对误差03950-2206-58703635农业总产值2242024040286273400035226预测农业总值2242025031283643214136420相对误差(%)04-0.9-53绝对误差0991-263-18591194总人口130756131448132129132802133474预测总人口130756131432132091132753133418相对误差(%)0-0.02-0.03-0.040.04绝对误差0-16-38-49-56固定资产 88774109998137324172828194138预测固定资产88774113737136850164661198123相对误差(%)03-0.3-4.72.1绝对误差03737-474-81673985由表2的误差结果分析可知,最大误差不超过5%,说明利用灰色预测能够很好的达到预测的目的,由此可以对后五年的值进行预测.预测结果见表3表7.利用灰色预测法预测出后五年的财政收入年份国民收入 (亿元)工业总产值(亿元)农业总产值(亿元)总人口 (万人)固定资产 (亿元)财政收入(亿元)20104040931838044127013408723838583194201147137121037146765134759286829991542012549850240777529911354353451181182102013641395275578600471361144152521409502014748181315410680421367964996391681004.3模型三：利用S型曲线对财政收入进行预测 型曲线的一般表达式为: (8)两边分别取对数，将其线性化得： (9)式中含有三个未知数，需要从数据表中取出三组等距的点代入（9）式（取起点、中间两个数的平均数、末点）：（1，3645），（16,41684.5），（32,343464）得三元方程组 (10) 解这个三元一次方程组，消去得： (11)其中因此得出关于的式子为： (12)将代入即为求出的值之后将求出的值代入 (为1978到2009年的国民收入) (13)将上述数据关系式利用编程即可求得将求得的的值代入（8）可得型曲线为： （14） 采用和以上相同的方法求出工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资的S型曲线公式分别为：工业总产值： （15）农业总产值： （16）总人口： （17）固定资产投资： （18）运用上式预测出后五年的各因素值，进而预测出财政收入的值，所得结果如下表：表8.利用形曲线法预测出后五年的财政收入年份国民收入工业总产值农业中产值总人口固定资产投资财政收入2010362348.717003534750134497.7177811.4177811.42011401334.818836736649135142195244195244.02012441727.620732338482135758.3212166.3212166.32013483046.822666840237136347.5228261.6228261.62014524765.424614541903136910.5243275.8243275.8 将中的（14）（18）式代入到模型一中的（5）式，得到年份与财政收入的关系，并预测出20102077年的财政收入（程序见附录H）。用画出年份与财政收入的散点图，如下 图3.20102077年的财政收入预测散点图根据散点图可以看出在72年左右时，即2049左右财政收入趋于稳定，可估计我国已进入经济发达国家，此时我国的各项因素值与财政收入值如下表所示表9.中国达到发达国家水平时各因素和财政收入的预测值年份国民收入工业产值农业产值总人口固定投资财政收入204910236004716705817314617034120020408134.4模型四：用相对误差与绝对误差对上述模型进行误差分析 本文利用了三个模型分别对财政收入进行了预测，现要选取误差最小，最合理的方案，则需对以上模型进行误差分析。分析结果如下：表10.表回归分析模型预测的财政收入以及误差年份预测财政收入财政收入绝对误差相对误差（%）（%）年份预测财政收入财政收入绝对误差相对误差（%）19781268.71132136.712199557496242-493-7.919791292.81146146.812.819966793.87408-614.2-8.31980132411601641419978060.48651-590.6-6.819811364.41176188.41619989594.29876-281.8-2.819821416.31212204.316.81999114491144450.041983148313671168200013688133952932.219841566.81643-76.2-4.62001163901638640.0219851672.62005-332.4-16.5200219645189047413.919861805.22122-393.8-18.52003235622171518478.519871970.42199-228.6-102004282722639618767.119882176.52357-180.5-7.62005339333164922847.21989243132665-233.7-8.72006407303876019705.119902745.12937-191.9-6.520074888751322-2435-4.719913131.33149-17.7-0.620085866961330-2661-4.319923604.83483121.83.52009703956847719182.819934183.64349-165.4-3.819944889.45218-328.6-6.3表11.灰色预测模型预测的财政收入以及误差年份财政收入预测财政收入绝对误差相对误差(%)20053164931649002006387604141626566.820075132249261-20614.020086133058632-26984.42009684776982713502.0表12.阻滞增长模型预测的财政收入以及误差年份财政收入预测财政收入绝对误差相对误差（%）年份财政收入预测财政收入绝对误差相对误差（%）197811321274.6142.6312.6199452184907.3-194.07-5.9197911461303.6157.6313.7199562425837.9-310.67-6.4198011601337.4177.3915.2199674086982.8-404.12-5.7198111761377.7201.6717.1199786518383.6-425.16-3.1198212121426.7214.7217.71998987610087-267.392.1198313671487.4120.368.819991144412143210.626.1198416431563.2-79.838-4.820001339514606698.799.0198520051658.6-346.42-17.2200116386175331211.37.0198621221779.2-342.82-16.1200218904209771146.910.9198721991931.8-267.18-12.1200321715249872072.615.1198823572125-231.97-9.8200426396296033271.812.1198926652369.2-295.78-11.1200531649348513207.110.1199029372677.2-259.84-8.8200638760407363201.75.1199131493064.3-84.656-2.6200751322472411975.7-7.9199234833549.566.4691.920086133054323-4081.1-11.4199343494154.9142.63-4.420096847761913-7007.0-9.5由上表可知：模型一的最大误差为18.5%，模型二的最大误差为6.8%，模型三的最大误差为17.7%，因为模型二的误差最小，所以模型二的结果更具合理性。6 模型的评价与推广模型的评价优点:1)使用范围广,模型对于其他的预测类问题同样适用. 2)模型对问题的描述精确,合理,推导严谨. 3)模型的原理简单明了,容易理解与灵活运用. 4)模型的建立中有成熟的理论基础和利用专业的软件进行求解, 可信度高. 5)在进行预测时,利用了不同的方法进行分析预测,使预测的结果更加精确,贴合事实.缺点:1)模型的建立过程中,仅考虑了题中所给的数据对财政收入的影响,没有考虑其他因素带来的影响. 2)针对本文的数据计算,结合实际情况,进行了必要的处理(如取整数据),这样必定会影响计算的精确度.模型的推广本案例建立的模型解决了对未来进行预测的合理方案,采用了回归分析,灰色预测,阻滞增长的模型解决了问题.因此本模型还可以应用于其他类型,如:人口增长,昆虫增长等问题,只需稍改模型即可.7参考文献1 吴建国主编数学建模案例精编 北京水利水电出版社 2005.5 2 刘慧颖主编MATLAB 清华大学出版社 20083 姜启源 谢金星 叶俊主编数学模型（第三版）高等教育出版社 2003.28 附录附录ASubplot(1,5,1)x1=3645 4063 4546 4890 5331 5986 7244 9041 10274 12051 15037 17001 18718 21826 26937 35260 48109 59811 70143 78061 83024 88479 98001 108068. 119096 135174 159587 184089 213132 259259 302853 343464;y=1132 1146 1160 1176 1212 1367 1643 2005 2122 2199 2357 2665 2937 3149 3483 4349 5218 6242 7408 8651 9876 11444 13395 16386 18904 21715 26396 31649 38760 51322 61330 68477;plot(x1,y,+) %画出国民收入与财政收入之间的散点图附录B建立M文件：function fun(x,y)format longX=ones(32,1),x;Y=y;b,bin,r,rin,stats=regress(Y,X); %求解相关系数bstatsfun(x1,y)b =1.0e+003 *-1.97331988867571 0.00019372354692stats =1.0e+006 *Columns 1 through 3 0.00000097774925 0.00131826905894 0Column 4 7.61044125811306附录Cfunction yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5;附录D创建M文件function zhi(x)format longX=log(x);t=1:32;b,bin,r,rin,stats=regress(X,ones(32,1),t);bstatszhi(x1)b = 7.94322431013899 0.15289183963760stats = 1.0e+003 * Columns 1 through 3 0.00099166752624 3.57037137409002 0 Column 4 0.00001786074568附录E20052009年各项原始数据值年份国民收入工业总产值农业总产值总人口固定资产投资2005184089873652242013075688774200621313210316224040131448109998200725925912479928627132129137324200830285314618334000132802172828200934346415695835226133474194138附录F%灰色预测%函数名为Li1a=88774109998137324172828194138;for i=1:5 s=0; for j=1:i; s=s+a(j); %对原始值进行累加 end fprintf(%dn,s);end%函数名为li2x=88774198772336096508924703062;z(1)=x(1);for i=2:5 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1); %求紧邻均值endformat longzB=z(2) 1;z(3) 1;z(4) 1;z(5) 1;Y=109998 %Y是除掉第一行的原始数据137324172828194138;format long ga=inv(B*B)*B*Yfor i=2:10 x(i)=559677*exp(0.185*(i-1)-470903 %求发展系数和灰色作用量 format long gend y(1)=x(1); for i=2:10 y(i)=x(i)-x(i-1); %求各年的预测值 endy附录Gfunction f=xxx()format longx=3645 1745 1026 96259 550 11324063 1914 1270 97542 564 11464546 2192 1372 98705 568 11604890 2256 1560 100072 961 11765331 2383 1777 101654 1200 12125986 2646 1978 103008 1369 13677244 3106 2316 104357 1833 16439041 3867 2564 105851 2543 200510274 4493 2789 107507 3121 212212051 5252 3233 109300 3792 219915037 6587 3865 111026 4754 235717001 7278 4266 112704 4410 266518718 7717 5062 114333 4517 293721826 9102 5342 115823 5595 314926937 11700 5867 117171 8080 348335260 16454 6964 118517 13072 434948109 22445 9573 119850 17042 521859811 28680 12136 121121 20019 624270143 33835 14015 122389 22914 740878061 37543 14442 123626 24941 865183024 39004 14818 124761 28406 987688479 41034 14770 125786 29855 1144498001 45556 14945 126743 32918 49512 15781 127627 37214 16386119096 53897 16537 128453 4350062436 17382 129227 55567 21715159587 73904 21413 129988 70477 26396184089 87365 22420 130756 88774 31649213132 103162 24040 131448 109998 38760259259 124799 28627 132129 137324 51322302853 146183 34000 132802 172828 61330343464 156958 35226 133474 194138 68477;xx=x(:,1);y1=xx(1);y2=(xx(16)+xx(17)/2;y3=xx(32);k=y2*(2*y1*y3-(y1*y2+y2*y3)/(y1*y3-y2*y2);i=1:32; m=log(k-xx(i)./xx(i); vpa(m,3); n=32;a1=sum(i);a2=sum(m);a3=sum(i.*i);a4=sum(i.*m);a5=a2./n;a6=a1./n;b=(a4-a1.*a2./n)./(a3-a1.*a1./n);a=a5-a6*b;y=k./(1+exp(a+b.*i);q=(y-xx(i)./xx(i); c=x(:,2);y1=c(1);y2=(c(16)+c(17)/2;y3=c(32);k=y2*(2*y1*y3-(y1*y2+y2*y3)/(y1*y3-y2*y2); m=log(k-c(i)./c(i); vpa(m,3); n=32;a1=sum(i);a2=sum(m);a3=sum(i.*i);a4=sum(i.*m);a5=a2./n;a6=a1./n;b=(a4-a1.*a2./n)./(a3-a1.*a1./n);a=a5-a6*b;yy=k./(1+exp(a+b.*i);qq=(yy-c(i)./c(i); d=x(:,3);y1=d(1);y2=(d(16)+d(17)/2;y3=d