S11数学13数量积.doc

一、【知识点】一、平面向量的数量积： 1、对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，夹角的取值范围是；注：两个向量的夹角要共起点。 2、如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即。特别地，的数量积记作，读作向量的数量平方，显然。规定：零向量与任意向量的数量积为，即，注意： 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定； 一种新的运算法则，以前所学的数的运算律、性质不一定适合； 不能写成，表示向量的另一种运算。3、向量数量积几何意义；注：表示在上的投影；表示在上的投影；定义：叫做向量在方向上的投影。AOOBOB1OqAOOBOB1OqAOOBO(B1)O q注意： 投影也是一个数量，不是向量 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当时投影为； 当时投影为。向量的数量积几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积。二、平面向量数量积的性质： 1、； 2、；（用于判断两向量垂直）； 3、； 注（1）：当与反向，|a|b|； 当为锐角时，0，且不同向当为钝角时，0，且不反向， （2）向量的模：。（3）abab=0.（4）非零向量，夹角的计算公式：cos=.（5）|ab|a|b|.三、平面向量数量积的运算律： 1、交换律：； 2、数乘结合律：； 3、分配律：； （注：平面向量没有结合律）；四、平面向量数量积的坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（1）ab=x1x2+y1y2；（2）|a|=；（3）cosa，b=；（4）abab=0x1x2+y1y2=0.二、例题解析例1判断下列结论是否正确：（1）若0，则或; （ ）（2）若，则; （ ）（3）若为不共线向量，则; （ ）（4）不与垂直. （ ）巩固训练1、设、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有（ ） 不与垂直 A. B. C. D. 2、给出四个命题，其中正确命题的个数是（ ） 如果，则或 如果与共线，则存在惟一实数，使 如果，则 如果，则A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个例2已知，且与的夹角为，求。 例3 已知，垂直，求的值。例4、已知,(1)若,求；(2)若与的夹角为60，求；(3)若与垂直，求与的夹角例5已知向量与的夹角是，且，求向量与的夹角；例6、若非零向量、满足，证明:巩固训练1、已知,向量与的位置关系为（ ）A平行 B垂直 C夹角为 D不平行也不垂直2、已知,与之间的夹角为，则向量的模为（ ）A2 B2 C6 D123、已知与是非零向量，则是与垂直的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4、已知，且，那么（ ） A. B. C. D. 5、已知，与夹角为，则当 时，与垂直；当 时，与共线。6、已知，；求：（1）、，； （2）、， （3）、与的夹角大小；7、 设平面向量=(2，1)，=(，1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A、 B、C、 D、变式练习：1、设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围2已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是 巩固训练1、 设s，t为非零实数，和均为单位向量，若，则与的夹角 2、设与是两个单位向量，其夹角为，则向量，的夹角等于 3、已知向量，其中、分别为x、y轴上的单位长度，求以及与的夹角。4、若向量，并且，试求向量与的夹角。四、课后练习1、已知，且，则在的方向上的投影为 。2、且，则与夹角的余弦值等于 。3、已知，则与的夹角为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 904、已知，且，则=（ ） A. B. C. D. 5、已知，与的夹角为，且，则为（ ）A. 16 B. 6 C.5 D. 46、若=3e,=-5e且|=|，则四边形ABCD是 ( )A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形7、 已知，且，则锐角等于（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 30或608、已知，且