第2章_状态空间表达式的解

.,控制系统的分析分为定量分析和定性分析两个方面：,概述,对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重要意义的几个关键的性质进行定性研究,定量分析,定量的确定控制系统由外部输入作用所引起的响应,对控制系统的规律进行精确的研究,定性分析,能控性、能观测性和稳定性,.,第2章状态空间表达式的解本章结构2.1线性时不变系统的齐次解2.2矩阵指数函数-状态转移矩阵2.3线性时不变系统的非齐次解,.,复习：ZIR（零输入响应）与ZSR（零状态响应）的求解方法,经典法一阶系统现在要求它的ZIR即的解。其特征方程为：,.,特征根若零输入响应的初始值已知，则ZIR应该为,.,一阶系统的零状态响应,对于一阶系统方程,x(t)：强迫函数（与输入信号有关）特征方程的根：则零状态响应：,.,所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：,若初始时刻时的状态给定为则式(1)有唯一确定解：,(2),若初始时刻从开始，即则其解为：,证明和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解为的矢量,2.1线性时不变系统的齐次解（自由解）,.,幂级数形式，即,(4),代入式得：,(5),既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻都成立，故的同次幂项的系数应相等，有：,2.1线性时不变系统的齐次解（自由解）,.,在式(4)中，令，可得：,将以上结果代入式(4)，故得方程的解：,(6),2.1线性时不变系统的齐次解（自由解）,矩阵指数,.,等式右边括号内的展开式是矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即,(7),于是方程的解即式(6)可表示为：,2.1线性时不变系统的齐次解（自由解）,状态转移矩阵,若初始条件为x（t0）=x0，则：,.,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,2.2.1状态转移矩阵,齐次微分方程(1)的自由解为：,或,状态转移矩阵，记为：,.,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,2性质二,2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质,或,这个性质说明，矩阵与A矩阵是可以交换的。,.,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,3性质三,组合性质，它意味着从转移到0，再从0转移到的组合。,或,2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质,即,.,4.性质四,5.性质五,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质,6.性质六,.,7.性质7,对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有而当ABBA是，则,这个性质说明，除非矩阵A与B是可交换的，它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质,.,1.根据的定义直接计算,2.2.3的计算,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,例2-1：已知求,解：,.,2.利用拉氏反变换法求,证明齐次微分方程,两边取拉氏变换,即,故,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：,.,例2-2：已知求解：,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,2.利用拉氏反变换法求,.,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,.,19,例2-3已知状态转移矩阵试求解：根据性质5，有,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,.,20,而根据性质2有：,2.2矩阵指数函数状态转移矩阵,.,现在讨论线性定常系统在控制作用作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：,当初始时刻初始状态时，其解为：,式中，。,（1）,当初始时刻为初始状态为时，其解为：,2.3线性时不变系统的非齐次解,式中，。,（3）,.,对式（1）进行拉氏变换，有：,即,证明：,2.3线性时不变系统的非齐次解,上式左乘，得：,（4）,.,两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即,以此代入式（4），并取拉氏反变换，即得：,2.3线性时不变系统的非齐次解,.,例2-4:求下列系统状态的时间响应：,式中，u(t)为t=0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。,解对该系统,状态转移矩阵,已在前例中求得，即,2.3线性时不变系统的非齐次解,.,因此，系统对单位阶跃输入的响应为：,如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为,2.3线性时不变系统的非齐次解,.,在特定控制作用下，如脉冲