创新设计高三数学一轮复习 第5知识块第3讲等比数列课件 北师大

第3讲等比数列,1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系.,【考纲下载】,1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于，这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的，记作q.(2)通项公式：等比数列an的首项为a1，公比为q，则称an为数列an的通项公式(3)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么叫做a与b的等比中项，且ab.,2,同一个常数,a1qn1,G,公比,G2,提示：等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看相似，就是“比”与“差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不为零，公比不为零，项与公式的正负号有着密切的关系等等,【思考】推导等比数列的前n项和公式的方法是什么？你掌握了吗？不妨看一下课本答案：错位相减法,3等比数列的重要性质(1)若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(2)ana1qn1可推广为anamqnm.(3)设等比数列an的首项为a1，公比为q.当q1，a10或01，a10时，数列an为递减数列；当q1时，数列an是(非零)常数列；当q2pq，又a1、b1不为零，因此cc1c3，故cn不是等比数列.,巧用性质，可以减少计算量，同时需要有敏锐的观察能力和应对能力,【例3】等比数列an的前n项和等于2，紧接在后面的2n项和等于,12，再紧接其后的3n项和为S，求出S.思维点拨：利用等比数列的性质求解或利用整体代换，通过求qn和来解决问题,解：解法一：设依次n项之和分别为：A1，A2，A3则有A12，A2A312，A4A5A6S，而数列An为等比数列，公比为qn，A2A32qn2q2n，2qn2q2n12，q2nqn60，qn2或qn3.当qn2时，SA4A5A6223224225112；当qn3时，SA4A5A62(3)32(3)42(3)5378.所以S的值为112或378.,解法二：由题意得q1，且qn(qn1)6，qn2或qn3.,S223(123)112或S(3)31(3)3378.,拓展3：将本例中条件改为前n项和为2，前2n项为12，求前3n项和解：由等比数列的性质可知，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即1022(S3n12)，S3n62.,由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，应善于运用函数与方程的思想方法解决问题,【例4】设数列an，a1若以a1，a2，an为系数的二次方程an1x2anx10(nN*且n2)都有根、满足331.,(1)求证：为等比数列；(2)求an；(3)求an的前n项和Sn.,证明：(1)将代入331，得an,为定值数列是等比数列,(2)解：a1an,【方法规律】,等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点1确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q.2在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”3等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前n项和4在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若an是等比数列，且an0，则lgan构成等差数列,【高考真题】,(2009山东卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.,【规范解答】,解：(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以当n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，,(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn1，当b2时，an2n1，所以bn,两式相减得,故Tn(nN*),【探究与研究】,创新是高考命题的要求，考试大纲提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势，本题将数列的递推关系式以点在函数图象上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念第(2)问中对b的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达到“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想,本题在设置等比数列的递推关系式时，以点(n，Sn)在函数ybxr的图象上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科题有相似之处：“已知an是正数组成的数列，a11，且点(an1)(nN*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2本题中增加了对参数r的求解，因此，如何正确求出r的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推关系式an,的正确理解(理解题目的条件：数列an是等比数列，则a1S1满足数列递推式)第(2)问求数列bn的前n项和Tn，所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n项和公式时所用的方法高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力,在解答本题容易出错的地方：一是忽视了由Sn求an时的分段，没有办法求出r的值；二是在用错位相减求和时忽视了对“开头的项”和“结尾的项”的仔细处理，计算漏项或添项在解决这类数列问题时一定要有分类的思想，在进行计算时要注意做到不漏项也不添加