求不定方程整数解的常用方法.doc

求不定方程整数解的常用方法 摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等. 关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程的整数解解 已知方程可化为 因为y是整数，所以也是整数.由此 相应的所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2) 辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程的整数解.解 因为,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解: 从最后一个式子向上逆推得到 所以 则特解为 通解为 或改写为 (3) 不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程适合的正整数解.解 因为 所以 所以 即 所以 所以当时有 所以 所以 所以所以当时有 所以 所以 所以所以(4) 逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程的整数解.解 因为，所以原方程有整数解.有，用来表示，得 则令 由437,用来表示,得 令将上述结果一一带回，得原方程的通解为 注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.对于二元一次不定方程来说有整数解的充要条件是. (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程的整数解.解 原方程等价于 因为 所以 所以原方程的通解为(6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用或代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程的正整数解.解 显然,不妨设 因为328是偶数，所以、的奇偶性相同，从而是偶数.令 则、所以 代入原方程得 同理，令 、于是，有 再令 得 此时，、必有一奇一偶，且 取得相应的 所以，只能是从而 结合方程的对称性知方程有两组解(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程的正整数解.解 显见，为此，可设其中、为正整数.所以原方程可化为 整理得 所以 相应地 所以方程正整数解为(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数、之和为13且，求的最大值和最小值，并求出此时相应的与的值.解 由题意得，消去得整理得到关于的一元二次方程 因为 因若符合题意，此时 若时，则有无实数解，故若时，则有解得符合题意，此时 综上所述，的最大值和最小值分别为16和1，相应的与的值分别为(9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若解 由题意 即 所以 所以(10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如、形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知、都是质数，且使得关于的二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对解 设方程的两根分别为、由根与系数关系得 因为、都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.所以 所以当时，即因为、均是质数，所以故此时无解.当时，即所以因为、都是质数，且所以 解得符合条件的质数对为当时，即所以满足条件的质数对.当时，即所以于是综上所述，满足条件的质数对为 (11) 整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线的交点为整数时，的值可以取A.2个 B.4个 C.6个 D.8个解 当时，直线平行，所以两直线没有交点;当时，直线交点为整数;当、时，直线的交点为方程组的解，解得 因为、均为整数,所以只能取解得 综上，答案为C.(12) 利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知为整数，若关于的二次方程有有理根，求值.解 因为，所以的根为 由原方程的根是有理根，所以必是完全平方式.可设则即 因为、均是整数,所以 , , 解得因为所以的值是-2.(13) 判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程的整数解.解 已知方程可化为 因为、均为整数，所以 且为完全平方数.于是，令 其中为正整数所以 因为、均为整数所以 且为完全平方数，即有，为完全平方数.于是，再令 其中为正整数所以 因为奇偶性相同，且所以 由上相应的解得把代入已知方程中得所以所以(14) 因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程整数解的基本思路:将转化为后,若可分解为则解的一般形式为再取舍得其整数解.例14 方程、都是正整数，求该方程的正整数解.解 已知方程可化为 所以 即 因为、都是正整数所以 这样 所以 或12或20或36或84相应地 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:4小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献1 王云峰.判别式法J.数学教学通讯,2011(07):1416.2 濮安山.中学数学解题方法M.黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.3 王秀明.浅析不定方程的解法J.数理化学习,2009(8）:2225.4 黄一生.因式分解在解题中的应用J.初中生之友，2011(Z):3235.5 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用J.中学数学教学参考，1994(5):22-23.6 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法J.中学数学研究，2006(12):17-19.7 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法J.数理化学习（初中版），2005（3）:2731.8 Grinelord.On a method of solving a class of Diophantine equationsM.Mathcomp.,32(1978):936-9409 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法J.高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.10 敏志奇.不定方程的若干解法J.(自然科学版)，1998(3):87-91.谢 辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好高老师逐一批改高老师进行当面指导学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师