《信号系统第3章》PPT课件

1,第3章连续时间信号的变换域分析,3.1周期信号的频谱分析傅里叶级数3.2典型周期信号的频谱3.3非周期信号的频谱分析傅里叶变换3.4典型非周期信号的频谱3.5傅里叶变换的基本性质3.6周期信号的傅里叶变换3.7拉普拉斯变换3.8拉普拉斯变换的基本性质3.9拉普拉斯逆变换3.10连续信号的频域与复频域的MATLAB分析,2,第3章连续时间信号的变换域分析,从本章起，我们由时域分析进入变换域分析，即傅里叶变换(Fouriertransform)（频域）分析和拉普拉斯变换(Laplacetransform)（复频域）分析。在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换及其性质，还要介绍周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。在复频域分析中，首先介绍从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换的概念，进而引出拉普拉斯变换的定义，然后介绍拉普拉斯变换的性质及拉普拉斯逆变换。,3,3.1周期信号的频谱分析傅里叶级数,任何周期函数在满足狄里赫利的条件下，可以展开成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集sinn1t,cosn1t)或复指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”(Fourierseries)。前者称为三角形式的傅里叶级数(trigonometricFourierseries)，后者称为指数形式的傅里叶级数(exponentialFourierseries)，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。,4,3.1.1三角形式的傅里叶级数,（1）,设周期信号为,其重复周期是T1,角频率,直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,以上各式中的积分限一般取：或,5,3.1.1三角形式的傅里叶级数,其中,6,3.1.2指数形式的傅里叶级数,（3）,为的偶函数，为的奇函数,7,3.1.3周期信号的频谱及其特点,1.周期信号的频谱,为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图(spectrumplot(diagram)来直观地表示。,如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出及等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位频谱。,8,3.1.3周期信号的频谱及其特点,例3.1-1求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。,解：一个周期内的表达式为：,9,3.1.3周期信号的频谱及其特点,因此,或,10,3.1.3周期信号的频谱及其特点,12,3.1.3周期信号的频谱及其特点,2.周期信号频谱的特点,（1）离散性-频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为离散频谱。,（2）谐波性-谱线出现在基波频率的整数倍上。,（3）收敛性-幅度谱的谱线幅度随着而逐渐衰减到零。,13,3.1.4波形的对称性与谐波特性的关系,（1）偶函数,所以，在偶函数的傅里叶级数中只可能含有直流和余弦分量。,将信号展为傅里叶级数的时候，如果是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。,14,3.1.4波形的对称性与谐波特性的关系,（2）奇函数,所以，在奇函数的傅里叶级数中只包含正弦分量。,15,3.1.4波形的对称性与谐波特性的关系,（3）奇谐函数,16,3.1.4波形的对称性与谐波特性的关系,可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有奇次谐波分量。,17,3.1.4波形的对称性与谐波特性的关系,在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次谐波分量。,（4）偶谐函数,为偶谐函数，且去掉直流分量1/2后为奇函数，所以的傅里叶级数中包含直流分量和偶次谐波的正弦分量。,18,3.1.5吉伯斯（Gibbs）现象,n=3:,n=5:,n=1:,19,3.1.5吉伯斯（Gibbs）现象,n=1,n=3,n=5,从左图可以看出：傅里叶级数所取项数越多，相加后的波形越逼近原信号。当信号是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的幅度。,从上图还可以看出如下现象：选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形中出现的峰值越靠近的不连续点。但无论n取的多大（只要不是无限大），该峰值均趋于一个常数，它大约等于跳变值的8.95，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉伯斯现象。,20,3.2典型周期信号的频谱,3.2.1周期矩形脉冲信号,(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数,21,3.2.1周期矩形脉冲信号,所以，三角形式傅里叶级数为,所以，指数形式的傅里叶级数为,因为,22,3.2.1周期矩形脉冲信号,（2）频谱图,23,3.2.1周期矩形脉冲信号,若,则,因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。,结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。,24,3.2.1周期矩形脉冲信号,(3)频谱结构与波形参数之间的关系,a.若不变，扩大一倍，即,25,3.2.1周期矩形脉冲信号,b.若不变，减小一半，即,谱线间隔只与周期有关，且与成反比；零值点频率只与有关，且与成反比；而谱线幅度与和都有关系，且与成反比与成正比。,26,3.2.2周期锯齿脉冲信号,周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。,27,3.2.3周期三角脉冲信号,周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以的规律收敛。,28,3.2.4周期半波余弦信号,周期半波余弦信号的频谱只含有直流、基波和偶次谐波的余弦分量。谐波幅度以的规律收敛。,29,3.2.5周期全波余弦信号,周期全波余弦信号的频谱包含直流分量及的各次谐波分量。谐波的幅度以的规律收敛。,30,3.3非周期信号的频谱分析傅里叶变换,由于,31,3.3.1傅里叶变换及傅里叶逆变换,频谱密度函数,则,-非周期信号f(t)的傅里叶变换,-傅里叶逆变换,32,3.3.2傅里叶变换的物理意义频谱和频谱密度函数,从上式可以看出，具有单位频带复振幅的量纲，因此这个新的量称为原函数的频谱密度函数，简称频谱函数。,-幅度谱,-相位谱,和周期信号一样，非周期信号亦可分解为许多不同频率的正弦分量。只是由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率就趋于无限小，因此包含了从零到无穷大的所有频率。,即：,33,3.3.2傅里叶变换的物理意义频谱和频谱密度函数,周期信号：,傅里叶逆变换：,傅里叶变换：,-连续谱、相对幅度,-离散谱、实际幅度,与的关系：,34,3.4典型非周期信号的频谱,1.对称矩形脉冲信号,周期矩形脉冲信号：,之间满足如下关系：,1.对称矩形脉冲信号,35,1.对称矩形脉冲信号,36,2.单边指数信号,37,3.双边指数信号,38,4.符号函数,39,4.符号函数,40,5.冲激函数和冲激偶函数,单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”。,(1）冲激函数的傅里叶变换,41,5.冲激函数和冲激偶函数,(2）冲激函数的傅里叶逆变换,或,42,5.冲激函数和冲激偶函数,43,5.冲激函数和冲激偶函数,（3）冲激偶的傅里叶变换,即：,上式两边对t求导得：,44,6.阶跃信号,45,3.5傅里叶变换的基本性质,1.线性(linearity),2.对称性(symmetry),设,其中,46,2.对称性(symmetry),如：,又如：,47,2.对称性(symmetry),两种特定关系：,2.若f(t)是t的实偶函数，则必为的实偶函数,即,若f(t)是t的实奇函数，则必为的虚奇函数，即,48,3.对偶性(duality),49,3.对偶性(duality),50,3.对偶性(duality),例：求,所以,这样,51,3.对偶性(duality),利用傅里叶变换的对偶性，可以将求傅里叶逆变换的问题转化为求傅里叶变换来进行。,即,则,若,52,3.对偶性(duality),解：,例3.5-1：求,53,3.对偶性(duality),例3.5-2已知信号的傅里叶变换为,试求其逆变换。,解：,54,4.位移性(shiftingproperty),位移性包括时移性和频移性。,（1）时移特性,同理,例3.5-3求图3.5-3(a)所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。,55,4.位移性(shiftingproperty),信号时移t0后，其幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移t0,56,4.位移性(shiftingproperty),（2）频移特性（调制定理),若,因为，,所以,57,4.位移性(shiftingproperty),例3.5-4求,及的频谱。,58,4.位移性(shiftingproperty),例3.5-5求矩形脉冲调幅信号的频谱，已知f(t)=G(t)cos0t，其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E,脉宽为。,59,5.尺度变换(scaling),信号在时域中压缩等效在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展等效在频域中压缩。,60,5.尺度变换(scaling),特例：,综合时移特性与尺度变换特性，还可以证明以下两式,61,6.卷积定理(convolutiontheorem),卷积定理包括时域卷积定理和频域卷积定理。,(1)时域卷积定理(convolutiontheoreminthetimedomain),若，则,(2)频域卷积定理(convolutiontheoreminthefrequencydomain),若，则,其中,62,6.卷积定理(convolutiontheorem),例3.5-6已知两矩形脉冲信号分别为,求的傅里叶变换,解：,根据时域卷积定理，可求出,63,6.卷积定理(convolutiontheorem),解：我们把f(t)看作是矩形脉冲G(t)与无穷长余弦函数的乘积。,64,6.卷积定理(convolutiontheorem),根据频域卷积定理，可以得到的频谱函数为,65,6.卷积定理(convolutiontheorem),66,7.微分与积分(differentiationandintegration),微分与积分特性包括时域微分与积分特性和频域微分与积分特性。,例如：由于,所以,67,7.微分与积分(differentiationandintegration),（2）时域积分,如果，则,（2）,68,7.微分与积分(differentiationandintegration),（3）,式中，,当f(t)的导数的频谱比较容易求出时，可以利用积分特性(公式(1)来求原函数的频谱，但若需要对式（1）进行修正。,69,7.微分与积分(differentiationandintegration),1.当时，有,(4),2.当时，有,(5),（3）,70,7.微分与积分(differentiationandintegration),例：利用积分特性分别求及的傅里叶变换。,解：,则,且,所以，,即,71,7.微分与积分(differentiationandintegration),例3.5-8求下图所示的三角脉冲信号的傅里叶变换。,对上式两边取傅里叶变换：,72,7.微分与积分(differentiationandintegration),由于，所以可以利用的二阶导数的频谱来求其原函数的频谱。于是,73,7.微分与积分(differentiationandintegration),例3.5-9求下图所示信号f(t)的傅里叶变换。,解：,74,7.微分与积分(differentiationandintegration),75,7.微分与积分(differentiationandintegration),（3）频域微分,例：,76,7.微分与积分(differentiationandintegration),（3）频域积分,若，则,77,3.6周期信号的傅里叶变换,非周期信号,1正弦、余弦信号的傅里叶变换,在例3.5-4中，已经求出了指数信号、正弦和余弦信号的傅里叶变换。即,78,3.6周期信号的傅里叶变换,以上三种信号的频谱图如下所示,2一般周期信号的傅里叶变换,设周期信号的周期为，则角频率，可以将展开成指数形式的傅里叶级数,其中,或,79,3.6周期信号的傅里叶变换,将上式两边取傅里叶变换,即：,周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这些冲激位于信号的谐频处，每个冲激的强度等于的傅里叶级数相应系数Fn的倍。,80,3.6周期信号的傅里叶变换,例3.6-1求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。,解：,81,3.6周期信号的傅里叶变换,例3.6-2求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换。已知的幅度为，脉宽为，周期为，角频率为。,解：已知矩形脉冲的傅里叶变换为,因为,82,3.6周期信号的傅里叶变换,所以,83,3.7拉普拉斯变换,拉氏变换的优点：1）求解简化；2）把微分、积分方程转化为代数方程；3）将复杂函数转化为简单的初等函数；4）将卷积转化为乘法运算。,84,3.7.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换,引入衰减因子，则的傅氏变换为,令，则,傅里叶变换：,85,3.7.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换,在信号与系统分析中，一般所遇到的总是因果信号，则,-f(t)的单边拉氏变换,简记为,-单边拉氏逆变换,86,3.7.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换,拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：,（变量t、都是实数）,即：,傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；,拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。,87,3.7.2拉普拉斯变换的收敛域,（1）,（2）,在以为实轴，为虚轴的复平面中，凡能使式(1)或式(2)积分收敛，即满足下列绝对可积条件的的取值范围称为拉氏变换的收敛域(regionofcovergence)，以ROC表示。,88,3.7.2拉普拉斯变换的收敛域,例3.7-1求因果信号（为实数）的双边拉氏变换及收敛域。,解：,当时，有,若，收敛轴将移到轴的左侧。,89,3.7.2拉普拉斯变换的收敛域,例3.7-2求左边信号（为实数）的双边拉氏变换及收敛域。,解：,当时，有,若，收敛轴将移到轴的右侧。,90,3.7.2拉普拉斯变换的收敛域,例3.7-3求双边信号的双边拉氏变换及收敛域。,解：,当，上式第一项存在；当，上式第二项存在，这时,91,3.7.2拉普拉斯变换的收敛域,92,3.7.2拉普拉斯变换的收敛域,单边拉氏变换的ROC为平行于轴的一条收敛轴的右边区域，可表示为,例1,若，则f(t)存在拉氏变换，收敛域为：,例2,93,3.7.2拉普拉斯变换的收敛域,例3,94,3.7.3典型信号的拉普拉斯变换,1指数信号,2单位阶跃信号,3单位冲激信号,同理,95,3.7.3典型信号的拉普拉斯变换,4t的正幂信号（是正整数）,所以,当时,当时,以此类推，得,96,3.8拉普拉斯变换的基本性质,1线性(linearity)特性,若，则,例3.8-1求的拉氏变换。,同理,97,2时域微分和积分,若，则,（1）时域微分(differentiationinthetimedomain),98,2时域微分和积分,例3.8-2已知，求的像函数。,解：已知,所以,（2）时域积分(integrationinthetimedomain),若，则,式中：,99,2时域微分和积分,例3.8-3试通过阶跃信号的积分求和的拉氏变换。,解：因为,而,所以,重复应用这个性质，可得,100,2时域微分和积分,例3.8-4图示电路，在时开关S闭合，求输出信号。,解：1）列写微分方程,2）将微分方程两边取拉氏变换，得,解此代数方程，求得,101,2时域微分和积分,3）求的拉氏逆变换,102,3位移性,（1）时域位移（延时timedelay）,若，则,式中，。,在应用延时特性时，特别要注意它只适用于的情况。因为当时，信号左移至原点以左部分，不能包含在从到的积分中去。,例3.8-5已知的拉氏变换为，求下列信号的拉氏变换（式中）。,103,3位移性,四种信号如下图所示。,104,3位移性,对于（1）和（2）两种信号在时的波形相同，所以,对于信号（3）：,105,3位移性,对于信号（4）：,可见，在以上四种信号中，只有信号（4），即是信号右移了的结果，才能应用时移性，即,106,3位移性,例3.8-6求图示矩形脉冲信号的拉氏变换。,解：因为,由延时特性可求得,所以,107,3位移性,（2）s域位移(shiftingins-domain),若，则,例3.8-7求和的拉氏变换。,解：已知,由s域位移定理，得,同理，因为,故有,108,4尺度变换(scaling),若，则,解法一：先延时：,再尺度：,解法二：先尺度：,再延时：,例3.8-8己知，求,109,5s域微分与积分,（1）s域微分(differentiationins-domain),若，则,（2）s域积分(integrationins-domain),若，则,110,6初值与终值定理,（1）初值定理(initial-valuetheorem),若，且f(t)连续可导，则,证明：由时域微分特性可知,所以,111,6初值定理与终值定理,当,时，上式右端第二项的极限为,从而,应用条件,112,6初值定理与终值定理,（2）终值定理(expiration-valuetheorem),若，且f(t)连续可导，则,证明：,应用条件,仅当,在右半s平面及其s平面的虚轴上为解析,时（原点除外），终值定理才可应用。,113,6初值定理与终值定理,例3.8-9求下列函数逆变换的初值与终值。,于是初值,终值,114,6初值定理与终值定理,初值为：,115,7卷积定理,（1）时域卷积(convolutioninthetimedomain),（2）频域卷积(convolutionins-domain),116,7卷积定理,解：利用时域卷积定理可以间接地求出两函数的卷积,因为,而,则,在课本80页的表3.8-1中给出了拉氏变换的主要性质。,117,3.9拉普拉斯逆变换,用拉普拉斯变换方法分析电路问题，一般来讲，包括三个步骤：（1）对微分方程进行拉氏变换成为代数方程，（2）解此代数方程得到所求未知函数的变换式F(s)，（3）求F(s)的逆变换。如果F(s)是一个比较简单的函数，就可利用常用函数的拉氏变换表（见表3.7-1），查出对应的原函数。然而，在电路分析中经常遇到的F(s)并非那样简单，不能直接从表中找到。因此，必须研究求逆变换的一般方法。,118,3.9拉普拉斯逆变换,求复杂拉普拉斯变换式的逆变换通常有两种方法：（1）部分分式展开法(partialfractionexpansion)（2）留数法(residuemethod)方法一是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表求取原时间信号；方法二则是直接进行拉氏逆变换积分。方法一适用于F(s)为有理函数的情况；方法二适用范围较广。,119,3.9.1部分分式展开法,用部分分式展开法求逆变换时，要求F(s)为有理真分式，即mn。当F(s)不是真分式时，可以用长除法把F(s)分解为有理多项式与真分式之和,如,真分式,120,3.9.1部分分式展开法,为方便，记,121,1极点为实数，无重根,其中,从而,122,1极点为实数，无重根,其中,解：将F(s)展开成部分分式形式,123,2.包含共轭复数极点,若,其中,是B(s)的不相等的实根。,则F(s)可写为,124,2.包含共轭复数极点,解：,其中,于是,从而,由方程两端分子的对应项相等，求得,125,2.包含共轭复数极点,因为,所以,因此,126,3.包含多重极点,其中，F(s)在p1处有k阶极点，则F(s)写成展开式,表示展开式中与极点p1无关的其余部分。,为了方便求出各待定系数，设,则,127,3.包含多重极点,而,128,3.包含多重极点,解：F(s)展开式为,令,于是有,129,3.9.2留数法,这是复变函数积分问题.,我们可以从,到,补足一条积分路径，构成一闭合围线积分，,沿该圆弧的积分应为零。由留数定理：,补足的这条路径CR是半径为的圆弧，,130,3.9.2留数法,F0(s)有一个单值极点p1=3，和一个二阶极点，p2=1,例3.9-4求,的拉氏逆变换。,解：,F(s)不是真分式，首先将其分解为有理多项式与真分式之和。,记,它们的留数分别为,131,3.9.2留数法,而,所以,F(s)的拉氏逆变换为,132,3.10连续信号的频域与复频域的MATLAB分析,连续信号的频域和复频域表达式可以通过符号运算获得。其频谱的可视化可以用幅度谱和相位谱绘制。周期信号可以通过计算其傅里叶级数，画出它的幅度谱和相位谱；非周期性信号可以通过计算其傅里叶变换，画出它的幅度谱和相位谱。信号的复频域分析一般缺少可视化的直观表示，但可以用信号的拉普拉斯变换，绘制它的三维幅度曲面图和相位曲面图，来观察其复频域特征。,Stem()Plot()Ezplot()laplace()Ilaplace(),133,3.10连续信号的频域与复频域的MATLAB分析,周期性矩形脉冲信号如图3.10-