整数和有理数.doc

5.3 有序环 整数和有理数考虑同时有代数结构和关系的一种数学结构，有序环。5.3.1 定义 有序环 六元组称为一个有序环，如果R满足以下条件：(1) 是交换环。(2) 是全序结构。（记ab且ab为ab）。(3) 任给a, b, cR，如果bc，则a+ba+c。(4) 任给a, b, cR，如果bc且0a，则abac。5.3.2 例 、都是有序环。5.3.3 定理 是有序环，则是整环。证 证明消去律成立，即证明任给a, b, cR，如果ab = ac，则b = c。反证法。如果b c，则bc或cb，有定义条件(4)得abac或acab，和ab = ac矛盾。5.3.4 定理 是有序环。(1) 任给a, bR，ab 当且仅当 a-b0。(2) 任给a, b R，如果ab，则-b-a。(3) 任给a, b, cR，如果bc且a0，则acab。(3) 01。证 (1) 如果ab，则a-b = a+(-b)b+(-b) = 0。如果a-b0，则a = a-b+b0+b = b。(2) 如果ab，则a-b0，所以-b+(-a)0，因此-b-a。(3) 如果bc且a0，则bc且0-a，由有序环的定义(4)得(-a)b(-a)c，所以-(ab)-(ac)，由(2)得-(-(ab)-(-(ac)，因此acab。(4) 反证法。如果01不成立，则10，由10, 01和(3)得1011，所以01，矛盾。5.3.5 定理 是有序环。(1) 任给n, mN，如果nm，则n1m1。(2) 任给n, mN，如果nm，则-m1-n1。(3) 任给n, mZ，如果nm，则n1m1。证 (1) 先用归纳法证明nn+1，再对m用归纳法证明nm。详细证明留给读者。(2) 由(1)和定理5.3.4(2)。(3) 由(1)和(2)。5.3.6 定理 是有序环。如果是的子环，则是的子环。5.3.7 定理 是有序环。令Rm = n1 | nZ，则(1) 是子环。其中m = |Rm(2) 任给的子环，都有Rm S。(3) 。5.3.8 定理 是有序环。令R+ = x | xR且0x，则(1) 0R+，1R+。(2) 如果a, bR+，则a+bR+。(3) 如果a, bR+，则abR+。(4) 如果a0，则aR+或-aR+。证 (1) 没有00，有01。(2) 如果a, bR+，则0a, 0b，所以0 = 0+00+ba+b，因此a+bR+。(3) 如果a, bR+，则0a, 0b，所以a0ab，因此abR+。(4) 如果a0，设aR+，则a0，所以0-a，因此aR+。5.3.9 定义 是环。S R。S称为R的正集合，如果S满足以下条件：(1) 0S，1S。(2) 如果a, bS，则a+bS。(3) 如果a, bS，则abS。(4) 如果aS且a0，则-aS。5.3.10 定理 是环，如果R存在正集合S，则存在R上的全序关系，使得是有序环，并且R+ = S。证 定义R上的二元关系如下：ab 当且仅当 存在xS0，使得b = a+x。证明是全序关系。(1) 自返性 任给a, bR，都有a = a+0，所以aa。(2) 反对称性 任给a, bR，如果ab且ba，则存在x, yS0，使得b = a+x且a = b+y，所以b = a+x = b+y+x，由消去律得0 = y+x，所以y+xS，由正集合的条件(2)得xS或yS，所以x = 0或y = 0，因此a = b。(3) 传递性 任给a, b, cR，如果ab且bc，则存在x, yS0，使得b = a+x且c = b+y，所以存在x+yS0，使得c = b+y = a+x+y，因此ac。(4) 可比较性 任给a, bR，由正集合的条件(4)得a-bS0或-(a-b)S0，所以a-bS0或b-aS0，所以存在a-bS0，使得a = b+(a-b)或存在b-aS0，使得b = a+(b-a)，因此ab或ba。再证明满足条件(3)和(4)条件(3) 如果bc，则存在xS，使得c = b+x，所以存在xS，使得a+c = a+b+x，因此a+ba+c。条件(4) 如果bc且0a，则存在xS，使得c = b+x，由0a得aS，由xS和aS得axS，所以存在axS，使得ac = ab+ax，因此abac。如果是域，则称为有序域。是是两个有序环。R到S的同构是指：既是到的同构，也是到的同构。5.3.11 定义 扩张域 R是一个有序环，F是一个有序域。如果F满足以下条件：(1) R同构于F的子环S。(2) 任给xF，存在a, bS，使得x = ab-1。则称F是R的扩张域。5.3.12 定理 每个有序环都有扩张域。证 设R是有序环，令T = RR+。在T上定义二元运算+、和二元关系如下：+ = = 当且仅当 adbc在T上定义二元关系如下： 当且仅当 ad = bc。证明 是等价关系。(1) 任给T，由ab = ba得 。(2) 任给, T，如果 ，则ad = bc，所以cb = da，因此 。(3) 任给, , T，如果 , ，则ad = bc, ct = ds，所以adct = bcds，由消去律得at = bs，因此 。证明 是正规的等价关系。加法：如果 且 ，则ab = ab且cd = cd，所以abdd = abdd且cdbb = cdbb，两边相加得adbd +bcbd = adbd+bcbd由分配律得(ad+bc)bd = (ad+bc)bd因此 乘法：如果 且 ，则ab = ab且cd = cd，两边相乘acbd = acbd，因此 。序关系：如果 且 ，则ab = ab且cd = cd，对0c，c0和c = 0分别讨论。当0c时，由cd = cd得0c，所以0bc, 0bc，因此 当且仅当 adbc当且仅当 abcd bcbc当且仅当 abcd bcbc当且仅当 adbc 当且仅当 。当c0时，由cd = cd得c0，所以bc0, bc0，因此 当且仅当 adbc当且仅当 bcbcabcd当且仅当 bcbcabcd当且仅当 adbc 当且仅当 。当c = 0时，由cd = cd得c = 0，所以bc0, bc0，因此 当且仅当 adbc当且仅当 ad0 当且仅当 abdd0当且仅当 abdd0 当且仅当 ad 0当且仅当 adbc 当且仅当 。令F = T / ，因为 是正规的等价关系，所以可以定义F上的二元运算+、和二元关系如下：（记的等价类为）+=+=， 当且仅当 adbc证明是有序域。(1) 任给, , F，都有(+)+=+=，+(+)=+=，所以(+)+=+(+)。(2) 任给, F，都有+=+。(3) 任给F，都有+=。(4) 任给F，都有+=。(5) 任给, , F，都有()=()。(6) 任给, F，都有=。(7) 任给F，都有=。(8) 任给F，如果0，则a0。当0a时，存在F，使得=。当a0时，存在F，使得=。(9) 任给, , F，都有(+) =，+=，所以(+) =+。取S = | aR，取s：RS s(a) =，证明s是R到S的同构映射。如果s(a) = s(b)，则，所以a = a1 = 1b = b，因此s是单射。s是满射显然。s(0) =，s(1) =，s(a+b) =+= s(a)+s(b)，s(ab) = s(a)s(b)，又任给F，存在, S，使得=-1。设s是R到S的同构，则R的扩张域是F = s(a)s(b)-1 | a, bR。5.3.13 定理 有序环R的任何两个扩张域都同构。证 设F和F都是R的扩张域，则F = s(a)s(b)-1 | a, bR且F = t(a)t(b)-1 | a, bR。如果s(a)s(b)-1 = s(c)s(d)-1，则s(ad) = s(a)s(d) = s(b)s(c) = s(bc)，所以ad = bc，因此t(a)t(d) = t(ad) = t(bc) = s(b)s(c)，从而t(a)t(b)-1 =