函数常见题型及其突破策略.doc

函数常见题型及其突破策略盐池高级中学 李守仁一、常见题型分析函数是高中数学的核心内容，其思想方法贯穿中学数学的始终。利用函数思想可以解决很多数学问题，最能体现学生能力和水平，为历年高考考查的重点。在高考中函数问题具有以下几个特点：1.以函数概念的深化理解与函数图象及性质的灵活运用构成命题的核心近年来，求基本初等函数的值域（或最值）及活用奇偶性、单调性、周期性、对称性成为高考的热点问题，可利用函数性质灵活解题。单调性： 单调性是函数性质的核心，它研究函数的局部的变化趋势，在函数值的比较大小，求函数的值域，解相关的不等式方面有着重要的应用。单调性常用来判断、证明、比较大小，求单调区间及有关参数的范围。奇偶性（对称性）：奇偶性主要研究函数的整体性质，经常扩展到图象的对称性，且与单调性和周期性联系在一起，解决较复杂的问题。周期性 ：周期性主要研究函数值有规律的出现，在解决三角函数里面体现的更明显。注意“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求函数周期问题。 注意定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方。2.创设新情景，考查学生阅读理解领悟新信息的能力近年来，新信息题成为命题亮点，它考查了学生阅读、理解能力，提炼数学问题的能力以及用数学语言表达的能力，要求学生仔细阅读，抓住信息，透彻理解，准确解题。有许多新定义或抽象函数是建立在一定特殊函数的基础上，解决这样的问题可以将熟知的函数作为依托去构思，但解答时应遵循新定义或抽象函数所满足的规律。3.在函数与其他知识的网络交汇点设计试题，培养解决综合问题的能力4.引进探索题与开放题，培养学生研究与创新的能力，拓展考查功能力，特别是新课标的问世，增添了许多研究性的课题，提供了拓展学生思维的视野，高考命题体现了在这方面的要求，常见的“猜想规律”，“是否存在”等等均属于探索类型的问题。二、突破策略函数部分是高中的重要知识内容，同时也是高考的重点。高考中遇到函数题时，想要做到心里踏实、坦然并不难，只需复习时更有针对性和时效性，了解高考命题的常见题型和考查要点，重点复习，即可做到心中有数。1策略之一打好基础，突出知识结构 深刻理解函数的概念，熟练掌握函数的图象及其性质；抓住知识主干，构建知识网络。以函数的三要素、性质为主干知识形成知识体系，同时注意各部分知识的横向联系，尤其与不等式、数列、解析立几何的联系；养成规范书写习惯，因为好的书写习惯，严密的思维推理，认真的学习态度对高考来说至关重要。1. 性质通过数学语言给出的【例1】（2005年全国）设是定义在R上的奇函数，且y=的图像关于直线对称，则+=_.分析：这是一道典型的“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，只要类比一下正弦函数就不难得出函数的周期为2.解析：，.又y=的图像关于直线对称，且,.,是的一个周期. 故+=0解决策略：这类通过语言叙述的，只要根据语言特征作出相应图像，或者转化成相应的方程或不等式就可以得到顺利解决。一般奇偶性和周期性问题可以转化成方程，而函数的单调性则转化成不等式问题处理。2性质通过方程或不等式给出的函数不仅可用解析式定义，还可用方程或不等式定义.考查抽象函数的有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么，常见的方程表述有：的图象关于直线对称 的图象关于点对称是函数的一个周期是函数的一个周期是函数的一个周期指数函数满足f ( x+y) = f (x)f ( y)对数函数满足f (xy) = f (x) f ( y)，f ( xy) = y f (x)；正弦函数满足f (xy) = f (x) g ( y) f (y) g (x)；余弦函数满足f ( xy)= f ( x) f ( y)g( x) g( y)；正切函数满足f (xy) =.【例2】( 2009山东文理16)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则 分析：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题解析：由题知,又为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,故 ,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案：-8解决策略：函数的解析式与函数的方程式在解题上比优劣，前者最大的优势是求自变量对应的函数值，而在研究函数的性质方面，有时还不如方程式简便.所以有关抽象函数的“方程题型”，往往是函数的“性质题型”，在解决一个问题时当看到方程就考虑函数的奇偶性或周期性，当出现不等式就考虑单调性。3. 性质通过解析式给出【例3】已知函数若则实数的取值范围是 A B C D 分析：本题载体是分段函数，解析式的主要作用是告诉函数的单调性，只要知道函数的单调性问题就简单了。解：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。解决策略：已知解析式貌似是代人求值问题，其实质是考查函数的性质，只要能从解析式中判断出函数的性质，问题即可解决，性质的给出和去向是解题的关键。2策略之二提高阅读理解能力高考数学试题语言简洁、科学性强、信息量大，熟悉数学语言，包括文字语言、符号语言、逻辑语言、图形语言和数表语言是阅读、理解和表达数学问题的基础，也是高考审题、解题的关键，应用题的出现，尤其是信息题的出现，对学生的阅读能力有了更高的要求。既能正确理解数学的各种语言（文字语言、符号语言、图形语言）并能相互转化，又能条理清晰，准确流畅地表达解题过程；从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化成数学语言，用数学知识和数学思想方法去解决。【例4】设与是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意xa，b，有成立，则称和在a，b上是“密切函数”，区间a，b称为“密切区间”.若与在a，b上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （D）A. 1，4 B. 2，4 C. 3，4 D. 2，3【解析】因为.由，得，解得，故选D.【例5】(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 取函数=。若对任意的，恒有=，则 AK的最大值为2 B. K的最小值为2CK的最大值为1 D. K的最小值为1 答案：D解析：由知，所以时，当时，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。【例6】（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； 对，则是平面上的线性变换； 设是平面上的线性变换，则对任意实数均有。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案：解析：令，则故是真命题 同理，：令，则故是真命题 ：，则有 是线性变换，故是真命题 ：由， 则有 是单位向量，0，故是假命题【例7】若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)kxb和g(x)kxb，则称直线l：y=kxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”已知h(x)=x2，(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数)(1)求F(x)=h(x)(x)的极值；(2)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线?若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由。 (1）解:F(x)=h(x)(x)=x22elnx(x0)，当.当0x时，F(x)时，F(x)0，此时函数F(x)递增当x=时，F(x)取极小值，其极小值为0(2)解：由(1)可知函数h(x)和(x)的图像在x=处有公共点，因此若存在h(x)和(x)的隔离直线，则该直线过这个公共点设隔离直线的斜率为k，则直线方程为ye=k(x)，即y=kxe，由h(x)kxe(xR)，可得x2kxe0当xR时恒成立=(k)2，由0，得k=下面证明在x0时恒成立3策略之三积累和储存问题模型复杂的问题往往是一些简单问题的演变和拼接组合，解题的过程则是一个不断分解、转化的过程，注重平时基本题型的积累，就可以敏感地抓住解题过程的结构特征，联想起积累的解题方法,例如一般转化类型有：（1）恒成立或恒成立；（2）恒成立或恒成立；（3）恒成立；（4）若存在x使；常用的解题技巧有分离参数,分类讨论,整体代换等【例9】（08天津卷21）已知函数（），其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围（）解：当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：02000极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数（）解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解些不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是（）解：由条件，可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是【例10】 设函数，且（为自然对数的底数）.（）求实数与的关系；（）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；（）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 解：（）由题意，得，化简，得，. （）函数的定义域为.由（）知，令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.（1）当时，.在内为单调减函数，故符合条件. （2）当时，.只需，即时，此时.在内为单调增函数，故符合条件. （3）当时，.只需，此时.在内为单调减函数，故符合条件。综上可得, 或为所求. （）在上是减函数，时，；时，.即. 当时，由（）知，在上递减，不合题意. 当时，由知，.由（）知，当时，单调递增，不合题意.当时，由（）知在上递增，又在在上递减，.即，。综上，的取值范围是 4策略之四等价转化,探求条件【例11】（2009年广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点W.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：