高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 1 第一章第一章 函数、极限、连续函数、极限、连续 第第 1 节节 函数函数 基本内容学习基本内容学习 一一 基本概念和性质基本概念和性质 1 函数的定义函数的定义 设有两个变量和，变量的变域为，如果对于中的每一个值，xyxDDx 按照一定的法则，变量有一个确定的值与之对应，则称变量为变量的函yyx 数，记作：。 yf x 2 函数概念的两要素函数概念的两要素 定义域：自变量 的变化范围对应关系：给定 值,求值的方法。xxy 3 函数的三种表示方法函数的三种表示方法 显式：形如的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的 yf x 形式。 隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如 ，如椭圆函数。( , )0F x y 22 22 1 xy ab 参数式：形如平抛运动的轨迹方程称作参数式。参数式将两个 2 1 2 xvt ygt 变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4 函数的四个基本性质函数的四个基本性质 奇偶性：设函数在对称区间上有定义，如果对于恒有 f xXxX 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 2 ( )()f xfx (或)，则称为偶函数(或奇函数)。注：偶函数图形( )()f xfx f x f x f x 关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。y f x 有界性：设函数在区间上有定义,如果,使得对一切,恒 f xX0MxX 有：,则称在区间上有界；若不存在这样的，则称在 f xM f xX0M f x 区间上无界.注：函数有无界是相对于某个区间而言的。X f x 周期性：设函数在区间上有定义,若存在一个与 无关的正数， f xXxT 使对任一，恒有 则称是以为周期的周期函数，把满xX f xTf x f xT 足上式的最小正数称为函数的周期。T f x 单调性：设函数在区间上有定义，如果对,恒有： f xX 1212 ,x xX xx (或)则称在区间上是单调增加(或单调减少)的； 12 f xf x 12 f xf x f xX 如果对于,恒有： (或)则称在区间 1212 ,x xX xx 12 f xf x 12 f xf x f x 上是严格单调增加(或严格单调减少)的。X 5 其它函数定义其它函数定义 复合函数：设函数的定义域为，而函数的定义域是 yf u f D ux 值域为，若，则称函数为 的复合函数，它的定义DZ f DZ yfx x 域是。这里表示空集。x( ) f xDxD 且 反函数：设函数的值域为，如果对于中任一值，从关系 yf x f Z f Zy 式中可确定唯一的一个 值，则称变量 为变量的函数，记为： yf xxxy ，其中称为函数的反函数，习惯上的反函数记为： xy y yf x yf x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 3 。 1 yfx 6 初等函数初等函数 常值函数 (为常数)，CCxR 幂函数 ，定义域由确定，但不论如何，在内总yxR (0,) 有定义。 指数函数 (且) x ya0a 1a xR 对数函数 ( 且) logx a y 0a 1a (0,)x 三角函数 如；,sin ,yxxRcos ,yxxRtanyx ；等(,), 22 xkkkZ cot , x(,(1) ),xkkkZ 反三角函数 ；,；,.arcsin ,yx 1,1x arccos ,yx 1,1x arctanyxxRarccotyxxR 以上六类函数称基本初等函数。 由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7 分段函数分段函数 一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函 数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。 常见的分段函数： 符号函数 10, sgn00, 10. x yxx x 当 当 当 取整函数 表示不超过 的最大整数；,当，其中 为 xx xn1nxnn 整数。 狄利克莱(Dirichlet)函数 1 0 x yf x x 当为有理数时, 当为无理数时. 绝对值函数 ,0 ,0 xx x xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 4 基本题型训练基本题型训练 一一 典型例题典型例题 1 判断函数的等价性判断函数的等价性 例 1.1 下列各题中，函数与是否相同？为什么？( )f x( )g x (1) (2) 2 ( )lg,( )2lg ;f xxg xx 2 ( ),( );f xxg xx (3) ；(4) ； 3433 ( ),( )1f xxxg xx x 22 ( )1,( )sectanf xg xxx 解：(1)不相同，因为的定义域是，而的定义域是 2 lg x(,0)(0,)2lg x 。(0,) (2)不相同，因为两者对应法则不同，当时，。0 x ( )g xx (3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。 (4)不相同，因为两者定义域不同。 2 求函数的定义域求函数的定义域 例 1.2 设的定义域为则的定义域为多少？(1)f x0, (0)a a ( )f x 解：函数的定义域是指 的变化范围，即(1)f xx 。故对函数而言， 的变化范围为，01,1,11xatxta 令则( )f xt 1,1a 由函数表达式的“变量无关性” ，知：的定义域为。( )f x 1,1a 常见错误：。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认1,1a 为，由此得到。01xa 11xa 3 判断函数奇偶性判断函数奇偶性 例 1.4 下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？ (1) (2) 2 sin , x yex 2 log (1) a yxx (0,1)aa 解：(1)因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数。sin x 2 x 2 sin x yex (2) , 22 2 1 ()log (1)loglog (1)( ) 1 aaa fxxaxxf x xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 5 故为奇函数( )f x 4 判断函数的周期性判断函数的周期性 例 1.5 下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。 (1) (2) cos(2)yx1 sinyx 解 (1) 是周期函数，周期为；cos(2)yx2 (2) 是周期函数，周期是 21 sinyx 5 判断函数单调性判断函数单调性 例 1.6 设在上有定义，且对任意 ，有( )f x(,) x(,)y 证明在上单调增加。( )( )f xf yxy( )( )F xf xx(,) 证明：设所以， 1212 ,(,),x xxx 212121 ()()f xf xxxxx 而 所以 所以 122121 ()()()()f xf xf xf xxx 1122 ()()f xxf xx 12 ()()F xF x 即在上单调增加。( )F x(,) 6 求反函数求反函数 例 1.7 求函数的反函数 11 11 x y x 解：令，则。所以， 即，所以1tx 1 1 t y t 1 1 y t y 1 1 1 y x y ， 2 2 14 1 1(1) yy x yy 所以反函数即为所求。 2 4 (1) x y x 7 复合函数求法复合函数求法 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 6 例 1.8 设则等于多少？ 1,0 ( ), 2,0 xx f x xx 2, 0 ( ) ,0 xx g x xx ( )f g x 解：当时，所以当时有；0 x ( )g xx 00 x ( )f g x1x 当时，所以时有，故0 x 2 ( )0g xx0 x 2 ( )2f g xx 。 2 1,0 ( ) 2,0 xx f g x xx 注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是 分析法，下面分别介绍这三种方法。 (1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式 及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函 数与分段函数或分段函数之间的复合。 (2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种 构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合， 这种方法在求复合函数时一般最先想到。 (3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分 段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下： 先画出中间变量函数的图形； ux 把的分界点在平面上画出(这是若干条平行于 轴的直线)； yf uxoux 写出 在不同区间段上 所对应的变化区间；ux 将所得结果代入中，便得的表达式及相应 的 yf u yfx x 变化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。 二二 能力拓展能力拓展 例 1 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，表示“M 的充分必要NM 条件是 N”，则必有 (A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数。 (B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数。 (C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数。 (D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数。 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 7 A 解法一：任一原函数可表示为，且当 F(x) x CdttfxF 0 )()().()(xfxF 为偶函数时， 有，于是，即 ，也即)()(xFxF)() 1()(xFxF)()(xfxf ，)()(xfxf 可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则为偶函数， x dttf 0 )( 从而为偶函数，可见选(A)。 x CdttfxF 0 )()( 解法二：令 f(x)=1，则取 F(x)=x+1，排除(B)、(C)； 令 f(x)=x， 则取 F(x) =， 排除(D)；故应选(A)。 2 2 1 x 例 2 设则等于 。 1,1 ( ) 0,1 x f x x ( )ff f x (A) 0 (B)1 (C) (D) 1,1 0,1 x x 0,1 1,1 x x 解：由1 得，1，故应选(B) ( )f f x ( )ff f x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 8 函数理论框架图函数理论框架图 第第 2 节节 极限与连续性极限与连续性 基本内容学习基本内容学习 一一 基本概念基本概念 1 极限的概念极限的概念 定义 2.1 一个正整数,当时，恒有 lim0, n n xa N nN 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 9 。若存在极限，称收敛，否则称发散。 n xa n x n x n x 定义 2.2 一个整数，当时，有lim( )0, x f xa XxX( )f xa 定义 2.3 正数，当时，有 0 lim( )0, xx f xa 0 0 xx( )f xa 2 数列、函数极限的基本性质与相关定理数列、函数极限的基本性质与相关定理 定理 2.1(极限的不等式性质) 设，若，则，当时，；若时，lim n n xa lim n n yb abNnN nn xynN ，则。 nn xyab 定理 2.2(极限的唯一性) 设，则。lim n n xa lim n n xb ab 定理 2.3(收敛数列的有界性)设收敛，则有界（即 n x n x ） 。0,1,2, n MxM n常数 定理 2.4(极限的不等式性质) 设，若则0， 0 lim( ) xx f xA 0 lim( ) xx g xB AB 当时；若()，则。 0 0 xx( )( )f xg x( )( )f xg x 0 0 xxAB 推论(极限的保号性) 若,则存在一个，当 0 lim,00 xx f xA AA 或0 时，(或)。 000 ,xxxxx 0f x 0f x 定理 2.5(极限的唯一性)设 ，则。 0 lim( ) xx f xA 0 lim( ) xx f xB AB 定理 2.6(夹逼准则) 设在的领域内，恒有，且 0 x xf xx ，则。 00 limlim xxxx xxA 0 lim xx f xA 定理 2.7(单调有界准则) 单调有界数列必有极限。 n x 3 函数连续性定义函数连续性定义 定义 2.1 设函数在的某领域内有定义，给 在处以增量，相应 f x 0 xx 0 xx 地得到函数增量。若极限，则称在处连 00 yf xxf x 0 lim0 x y f x 0 xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 10 续。 定义 2.2 设函数满足条件：(1)在的某领域内有定义；(2) f x f x 0 x 存在；(3)则称在处连续。 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x f x 0 xx 定义 2.3 若在内任一点均连续，则称在内连续。 f x, a b f x, a b 定义 2.4 若在内连续，在处右连续(即)，在 f x, a bxa lim xa f xf a 处左连续(即)，则称在内连续。xb lim xb f xf b f x, a b 4 间断点及分类间断点及分类 间断点定义 若在处出现以下三种情形之一： f x 0 x (1)在处无定义；(2)不存在；(3)。则称为 f x 0 x 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x 0 x 的间断点。 f x 间断点的分类：第类间断点均存在。其中若 0 x 00 ,fxfx ，称为可去间断点。若,称为跳跃 000 fxfxf x 0 xx 00 fxfx 0 xx 间断点。 第类间断点：至少有一个不存在。若之中有一 00 ,fxfx 00 ,fxfx 个为，则称为无穷间断点。 0 xx 5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 (1)(连续函数的有界性)设函数在上连续，则在上有界， f x, a b f x, a b 即 常数，对任意的，恒有 。0M ,xa b f xM (2) (最值定理)设函数在上连续，则在上至少取得最大值 f x, a b, a b f x 与最小值各一次，即使得：, max, a x b ff xa b min, a x b ff xa b 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 11 (3) (介值定理)若函数在上连续，是介于与(或最大值 f x, a b f a f b 与最小值)之间的任一实数，则在上至少 一个 ，使得Mm, a b 。 .fab (4) (零点定理或根的存在性定理)设函数在上连续，且 f x, a b ，则在内至少 一个 ，使得 0f af b, a b 0.fab 5 无穷小及其阶无穷小及其阶 (1)无穷小与无穷大的定义 定义 2.5 在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量） 。 一个，当时，恒有。 lim00, x f x 0X xX f x ，当时，恒有。 0 lim00, xx f x 0 0 0 xx f x 定义 2.6 在自变量的某一变化过程中，若函数的绝对值无穷增大，则 f x 称函数为无穷大量。 f x 一个，当时，恒有 lim0, x f xM 0X xX .f xM 一个，当时，恒有 0 lim0, xx f xM 0 0 0 xx .f xM (2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系 ； 00 lim( ),( )0 xxxx f xAf xx 其中l i m 在同一极限过程中，。 1 ( )( )0 ( ) 1 ( ) ( ) f xf x f x f x f x 为无穷小，则为无穷大 为无穷大，则为无穷小 (3)无穷小阶的概念 定义 2.7 设在同一极限过程中，、为无穷小且存在极限 x x 。 00 ()() lim0, lim0 xxxx xx xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 12 若，则称是比高阶的无穷小，记为 lim0 x x x x .xox 若，则称是比低阶的无穷小。 lim x x x x 若，则称与是同阶无穷小。 lim x C x x x 若，则称与是等价无穷小，记为。 lim1 x x x x xx 若，则称为的 阶无穷小。 lim0 ,0 k x C Ck x x xk (4)等价无穷小的重要性质 若，且存在，则xa( ) ( ),( ) ( )xxxx ( ) lim ( ) x x ( )( ) limlim ( )( ) xx xx 该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。 ()( )x( )xxa( )( )( ( )xxox (5)确定无穷小阶的方法 利用洛必达法则 确定使得，则时，0k 0 0 ()k xx f x A xa l i mxa 是的 阶无穷小。( )f xxak 洛必达法则：法则 (型)设函数满足条件： 0 0 ,f xg x ；在的领域内可导(在处可除外)且 00 lim0,lim0 xxxx f xg x ,f xg x 0 x 0 x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 13 ；存在(或)。则 0gx 0 lim xx fx gx 00 limlim. xxxx f xfx g xgx 法则 (型)设函数满足条件：； 一 I 0 0 ,f xg x lim0,lim0 xx f xg x 个，当时，可导，且；存在(或)。0X xX ,f xg x 0gx 0 lim xx fx gx 则 00 limlim. xxxx f xfx g xgx 法则(型) 设函数满足条件：； ,f xg x 00 lim,lim xxxx f xg x 在的领域内可导(在处可除外)且；存在(或 ,f xg x 0 x 0 x 0gx 0 lim xx fx gx )。则同理法则(型)仿法则可写出。 00 limlim. xxxx f xfx g xgx II I 泰勒公式 。 ( ) ( )( )( )()()() ) ! n nn fa f xf afa xaxao xa n 若则。 1 ( )( )( )0,( )0 nn f afafafa ( ) ( )()() ) ! n nn fa f xxao xa n 因此是的 阶无穷小(后面章节还会讲到)。( )f x()xan 利用无穷小的运算性质 如若时，分别是的 阶xa ,f xg xxan 与阶无穷小，则是的阶无穷小，当时，m f x g xxa()nmnm 是的 阶无穷小。 f xg xxan 本章需要记忆知识本章需要记忆知识 1 重点概念、性质重点概念、性质 函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 14 则等。 2 重点公式重点公式 ； 1 00 sin1 lim1,lim 1(lim 1) x x xxx x xee xx 或 常用极限： 特例lim01 n n lim1 n n n lim arctan 2 x x lim arctan 2 x x lim arccot0 x x lim arccot x x lim0 x x e lim x x e 0 lim1 x x x 基本题型训练基本题型训练 1 求复合函数求复合函数 例 设，求。 2 2,0 ,1, ,11,0 x xx ex f xx xxxx fx 解：由题设分以下情况讨论。 ,1 , ,1 x ex fx xx (1)当时， 1x 或， 即 0,21xxx 0 1. 1 x x x 或， 即 2 0,1 1xxx 2 0 02. 2 x x x (2)当时， 1x 或， 即 0,21xxx 0 10. 1 x x x 或， 即 2 0,1 1xxx 2 0 2. 2 x x x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 15 综上所述， 2 2 1 2 ,1 2,10 ,02 1,2 x x ex xx fx ex xx 2 利用函数概念求函数表达式利用函数概念求函数表达式 例 已知，求。()1sin x f exx ( )f x 解：令，则。于是从而 x etlnxt( )1 lnsin(ln )f ttt 。( )1 lnsin(ln )f xxx 注：设，其中是已知函数，则有两类问题：一是已知( ( )( )fxx( )x ；二是已知。f求f求 若 f 是已知，并存在反函数，则。 1 ( )( ( )xfx 若已知，并存在反函数，令，则，从而( )tx 1( ) xt ，即。 1 ( )( )f tt 1 ( )( )f xt 因此，这两类问题都是求反函数问题。 3 求未定型函数极限求未定型函数极限 例 求下列极限 解：原式 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 16 原式 1 原式 原式 ( ) 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 17 4 求变限积分不等式的极限求变限积分不等式的极限 例 求极限 2 2 2 2 0 0 2 3 () lim x t xt x e dt edt 解：原式 = 22222 2 2222 2222 4 4 0000 18181414 2()()4 442 limlimlimlim0 33 3328 xxxx ttxtt x xxxx xxxx e dte dtee dte dt e eeexe 注：在验证条件时，要用到以下结论:若连续，又 ( ) 0 lim( ) x x f t dt ( )f x ，则。lim( )0() x f xA 也可为lim ( ) x x ( ) 0 lim( ) x x f t dt 5 由极限确定函数中的参数由极限确定函数中的参数 例 确定的值，使 , ,a b c 解：当 时，由 可得 原式 同理可得 故原式 故 c= 1 2 例 试确定常数 的值，使极限 存在，并求该 极限值. 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 18 解：原式 存在 由 可得 ，即 则原式 同理由 可得 ，即 所以原式 6 利用函数收敛准则求极限利用函数收敛准则求极限 例 1 (利用夹逼准则) _ _ 解： 且 又 由夹逼原则可得原式 例 2 (利用单调有界准则) 若序列的项满足：( 为正的常数)，且，(这 n a 1 aaa 1 1 2 nn n a aa a 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 19 里)。1,2,n 试证有极限，并求出它。 n a 解：由，又， 1 aa 2 11 21 111 21 222 aaaaa aaa aaa 今用数学归纳法证。这只须注意到： k aa 。 2 1 21 222 kk kk kkk aaaaa aaa aaa 又 ，故单调且有下界，从而其极限 2 1 1 0 22 n nnn nn aaa aaa aa n a (时)存在，令其为。n A 由 有 即 ， 1 1 2 nn n a aa a 1 1 limlim, 2 nn nn n a aa a 1 2 a AA A 即， 2 Aa 所以 。从而0Aa Alim. n n aa 7 求求 n 项和数列的极限项和数列的极限 例 求 2 sinsinsin lim 11 1 2 n n nnn n nn n 解： 2 sinsinsin 11 1 2 n nnn n nn n 12 (sinsinsin) 1 n nnnn 1 1 sin 1 n i ni nnn 且，故由夹逼定理原式 1 1 limsin 1 n n i ni nnn 2 2 8 求求 n 项积数列极限项积数列极限 例 当时，0 x limcoscoscos 242n n xxx 原极限 2 sincoscoscos 2242 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x 1 2coscos(cossin) 2422 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x 2 11 2coscos(2cossin) 2422 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x sin lim 2 sin 2 n n n x x sin 22 nn xx sinsin lim 2 sin 2 n n n xx x x 9 利用函数极限求数列极限利用函数极限求数列极限 例 求 21 lim( tan)n n n n 解：因为可化为求 1 tan 1 limtanlim1, 1 nn n n n n 21 lim( tan)x n x x 又因为，其中而 21 lim( tan)x n x x 3 tan tan 0 1tan lim(1) tt t t t t t tt t xt : 0 lim0 tan t t tt 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 21 ，故原式= 2 3222 000 1 1 tan1(1 cos )(1 cos )1 cos limlimlim 33cos3 ttt tttt t tttt 1 3 e 10 无穷小的比较与无穷小的阶的确定无穷小的比较与无穷小的阶的确定 例 设函数，则 f(x)在内 n n n xxf 3 1lim)( ),( (A) 处处可导 (B) 恰有一个不可导点 (C) 恰有两个不可导点 (D) 至少有三个不可导点 C 解：先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形当时，1x ；11lim)( 3 n n n xxf 当时，；1x111lim)( n n xf 当时，1x.) 1 1 (lim)( 3 1 3 3 x x xxf n n n 即 可见 f(x)仅在 x=时不可导，故应选(C) . 1 , 11 , 1 , , 1 , )( 3 3 x x x x x xf1 11 函数连续性与间断点类型的讨论函数连续性与间断点类型的讨论 例 判断间断点并判别类型 解：当 时， 当 时， 当 时， 即 ， 所以 为函数 第一类间断点 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 22 12 有关极限的证明有关极限的证明 例 设在连续, ,求证( )f x0,)lim( )0 x f xA 0 lim( ) x x f t dt 证明因，由极限的不等式性质可知，lim( ) 2 x A f xA ,( ), 2 A XxXf xxX当时则时有 ，因此 000 ( )( )( )( )() 2 xXxX X A f t dtf t dtf t dtf t dtxX 0 lim( ) x x f t dt 注： 若 ， 0 0,lim( ) x x Af t dt 则 类似可知，若 。 0 0,lim( ) x x Af t dt 则 13 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 例 求下列极限(关于泰勒展式有关内容可参见第三章) (1) ； (2) ； 2 2 4 0 cos lim sin x x xe x 2 1 limln(1) x xx x (3) ； (4) ； 2 5 0 lim 1 5(1) x x xx 23 0 112 lim(1ln) 2 x x xxx 解 (1) 22 22 44 00 coscos limlim sin xx xx xexe xx 分母的次数为 4， 只要把，展开到出现 的四次幂即可。cosx 2 2 x e x 244 11 cos1() 2!4! xxxo x 2 2224 2 111 1()() 22!2 x exxo x 故 原极限 44 4 0 11 () 1 4!8 lim 12 x xo x x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 23 (2) 的展开式只要取到 2 项即可 1 ln(1) x 22 111 11 ln(1)( )( ) ) 2 o xxxx 原极限 222 11 1111 lim( )( ) )lim(1) 222 xx xxoo xxx (3) 分子关于 的次数为 2。x 1 225 5 11 1 1 1 5(1 5 )1(5 )(1) (5 )() 52! 5 5 xxxxo x 22 12()xxo x 原极限 2 22 0 1 lim 12()(1)2 x x xxo xx (4) 1 2 2 lnlnln(1)ln(1) 222 1 2 x xxx x x 233233 1111 ( )( )() ( )( )() 22 23 222 23 2 xxxxxx o xo x 33 1 () 12 xxo x 3 33 233 1111() 1()1 1212 o x xxo x xxx 故 23 0 11211 lim(1ln) 212 x x xxx 练习题一练习题一 1 填空题填空题 (1) 已知 则 _ (2) 设函数 有连续的导函数， ， ,若 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 24 在 处连续，则常数 (3) 设当 时， = 为 的 阶无穷小，则 (4) (5) 已知 ，则 ， (6) _ _ (7) 222 333 12 lim() 12 n n nnnn (8) = (和 为正整数且) 1 lim 1 m n n x x mnmn (9)设在处间断，则 a 与 b 应满足的关系是 2, 0 ( ) sin ,0 abxx f x bx x x 0 x 2 选择题选择题 (1) 若函数 在 处连续，则 的值是 (2) 设 其中 则必有 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 25 (3) 函数在定义域内为 2 1 x f x x (A)有上界无下界. (B)有下界无上界. (C)有界,且. (D)有界且 11 22 f x 2 22 1 x x (4) _ 322 lim(221) x xxxx (A) (B) (C) (D)4 1 4 (5) 则_ 1,1 ( )2,1 1 ,1 xx f xx x x 1 lim( ) x f x (A)1 (B)0 (C) (D)不存在 (6) 设,则_ 3 ( ) sin xx f x x (A) 有无穷多个第一类间断点, (B) 自由一个可去间断点 (C) 有两个跳跃间断点 (D) 有 3 个可去间断点 3 计算与证明计算与证明 (1) 求极限 0 (1)1 lim n m x x x (2) 设 试讨论 在 处的连续性和 可导性. (3) 试确定常数 的值，使极限 存在，并求 该极限值. 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 26 (4) 设 ，且 是 的可去间断点，求 的值。 (5) 设 求 的值。 (6) 设 在 的某邻域内二阶可导，且 求 及 (7) 设是三次多项式，且有，求( )f x 24 ( )( ) limlim1(0) 24 xaxa f xf x a xaxa 。 3 ( ) lim 3 xa f x xa (8) 设函数在开区间内连续，且，试证：( )f x( , )a b 12 ,( , ) n x xxa b ，使( , )a b 。 12 1 ( ) ()()() n ff xf xf x n (9) 设在上连续，且，证明： 一个 ，使得( )f x(,) ( )f f xx ( )f (10) 设，在上连续，且，则在( )f x( )g x , a b( )( ),( )( )f ag af bg b 内至少 一个 ，使：( , )a b( )( )fg (11)证明方程恰有 3 个实根. 3 910 xx (12)求复合函数设,求 2 ,0 1 , 2,0 xx f xxxx xx ,fxf x 参考答案参考答案 1 (1)-1 (2)a+b (3) ， (4) (5) , 1 6 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 27 (6) 2 (7) 1 3 (8) (9) m n ab 2 (1) (A) (2) (D) (3) (C) (4) (A) (5) (D) (6) (D) 3 (1) (2) 1 (3) , (4) , n m (5) , (6) (7) 9 2 1 2 (8) 提示：用介值定理 (9) 提示：辅助函数，用零点定理 ( )( )F xf xx (10) 辅助函数，利用介值定理 ( )( )( )F xf xg x (11) 可利用零点定理 (12) 可利用前面讲到的求复合函数当中的图示法 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 28 极限理论框架图极限理论框架图 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 29 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 本章要求 1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义， 会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一 些物理量(数三、数四不要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系。( 数三、数四增加要求了解经济意义（含边际与弹性的概念） 。 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的 导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微 分。 3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4 会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数 的导数。(数三、数四参数方程求导不要求) 5 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理泰勒定理，了解并会用(数三、 数四不要求)柯西中值定理。 6 掌握用洛必达法则求未定型极限的方法(数三、数四会用洛必达法则求 极限)。 7 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方 法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 8 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直 和斜渐近线，会描绘函数的图形。 9 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数三、数四不要 求)。 第第 1 节节 导数与微分导数与微分 基本内容学习基本内容学习 一一 基本概念与定理基本概念与定理 1 导数的概念导数的概念 定义 1(函数在某点的导数)：设函数在的领域内有定义，给在( )yf x 0 xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 30 处以增量，函数和相应地得到增量，如果极 0 x(0)xy 00 ()()yf xxf x 限(1) 存在，则函数在点处可导，该函数值 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 称为函数在处的导数，记为 ， 即 0 x 0 ()fx 0 ()y x 0 x x dy dx 令 ，则 (1) 00 0 00 ()() ()limlim xx f xxf xy fx xx 0 xxx 0 0 0 0 ( )() ()lim xx f