高中数学1-2独立性检验的基本思想及其初步应用课件PPT课件

独立性检验的基本思想及其初步应用,问题:数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。,假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g；“这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包分量足”矛盾的小概率事件；这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。,一:假设检验问题的原理,假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表示；另一个叫做备择假设，用H1表示。,例如，在前面的例子中，原假设为：H0：面包分量足，备择假设为H1：面包分量不足。这个假设检验问题可以表达为：H0：面包分量足H1：面包分量不足,二:求解假设检验问题,考虑假设检验问题：H0：面包分量足H1：面包分量不足,在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；如果样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言H1成立；否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。,求解思路：,1、介绍两个相关的概念,对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量，也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别。,（1）分类变量：,定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。,（2）定量变量：,例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180cm，李立的身高是175cm，说明张明比李立高180-175=5（cm）。,独立性检验,本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。,在日常生活中，我们常常关心分类变量的之间是否有关系,为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：,那么吸烟是否对患肺癌有影响？,表1-9吸烟与患肺癌列联表,1、象这样的两个分类变量的频数表叫列联表.在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌。因此，直观上可以得到结论:吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异。,2、与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况。,三维柱形图,二维条形图,等高条形图,上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？你得到这个结论有多大的把握呢?,独立性检验,H0：吸烟和患肺癌之间没有关系H1：吸烟和患肺癌之间有关系,通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关,结论的可靠程度如何？,用A表示“不吸烟”，B表示“不患肺癌”,则H0：吸烟和患肺癌之间没有关系,“吸烟”与“患肺癌”独立,即A与B独立,等价于,等价于,独立性检验,引入一个随机变量,作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准。,因此:若H0成立，则K2应很小。,利用公式（1）计算得到K2的观测值为,如何看待这个值呢？,即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。而现在K2的值56.632远大于6.635,故它是小概率事件,所以我们认为H0是不成立的.虽然这种判断犯错误的可能性存在,但我们有99%的把握认为H0是不成立的!(即吸烟与患肺癌有关系),在H0成立的情况下，统计学家研究出如下的概率,上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。,独立性检验的定义：,独立性检验基本的思想类似反证法,(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下随机变量K2应该很能小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度约为99.9%.,独立性检验的基本思想：,要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，,首先，假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立。,其次，在假设下，计算构造的随机变量K2，如果有观测数据计算得到的K2k0，则我们有1-P(K2k0)*100把握说明假设不合理（即两个分类变量有关系）。当K2k0，则我们没有1-P(K2k0)*100把握说明假设不合理。,设要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”,1、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系。（1）在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大。（2）在二维条形图中，(x1,y1)个体所占的比例与(x2,y1)个体所占的比例，两个比例相差越大，H1成立的可能性就越大。,2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。,独立性检验的一般步骤：,具体作法是：,根据观测数据计算随机变量K2的值k，其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。可以通过查阅下表（表1-12）来确定断言“X与Y有关系”的可信程度。,例如：（1）如果k10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；,（2）如果k6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；,（3）如果k2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；,（4）如果k=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”。,返回,例1.秃头与患心脏病,在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？,解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：,相应的三维柱形图如图所示，比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”。,例1.秃头与患心脏病,在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？,解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：,根据联表1-13中的数据，得到,所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。,为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：,例2.性别与喜欢数学课,由表中数据计算K2的观测值k4.513。在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？,解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下K2应该很小，并且,而我们所得到的K2的观测值k4.513超过3.841，这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。,思考：例1、2的结论是否适用于普通的对象？,在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题，而没有必要画相应的图形。,图形可帮助向非专业人士解释所得结果；也可以帮助我们判断所得结果是否