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文档简介

.,7.5内容回顾,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,连续n次不定积分(且不要常数),为n-1次多项式.,.,第六节高阶线性微分方程解的结构,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法（略）,一、高阶线性微分方程的概念,第七章,.,n阶线性微分方程的一般形式为,称为二阶线性微分方程.,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,一、高阶线性微分方程的概念,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,.,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,.,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,.,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,.,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,.,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,.,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而是通解.,.,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,.,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,.,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例1.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),(89考研),.,例2.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,.,思考与练习,P
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