数值建模课件--拟合

1 这样 最小二乘问题就转化为求多元函数 4 的极小点问题 由求多元函数极值的必要条件 有 使 3 取得最小 2 曲线拟合的最小二乘法 1最小二乘法及其计算 在函数的最佳平方逼近中如果只在一组离散点集上给定 这就是科学实验中经常见到的实验数据的曲线拟合 3 记误差 则的各分量分别为个数据点上的误差 4 设是上线性无关函数族 在中找一函数 使误差平方和 1 这里 2 5 这个问题称为最小二乘逼近 几何上称为曲线拟合的最小二乘法 用最小二乘求拟合曲线时 首先要确定的形式 确定的形式问题不仅是数学问题 还与问题的实际背景有关 通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图 确定的形式 然后通过实际计算选出较好的结果 6 为了使问题的提法更有一般性 通常在最小二乘法中考虑加权平方和 3 这里是上的权函数 它表示不同点处的数据比重不同 就是次多项式 若是次多项式 的一般表达式为 2 表示的线性形式 7 其中 7 要使法方程 6 有惟一解 就要求矩阵非奇异 8 若记 5 上式可改写为 6 这个方程称为法方程 可写成矩阵形式 9 一般可取 但这样做当时 通常对的简单情形都可通过求法方程 6 得到 给定的离散数据 例如 求解法方程 6 将出现系数矩阵为病态的问题 若两边取对数得 10 显然在任意个点上满足哈尔条件 函数的最小二乘解为 定义1 方程 6 存在惟一的解 从而得到 于是 11 这样得到的 对任何形如 2 的 都有 故确是所求最小二乘解 12 例7 这样就变成了形如 2 的线性模型 此时 若令 则 已知一组实验数据如下 求它的拟合曲线 13 解 从图中看到各点在一条直线附近 故可选择线性函数作拟合曲线 将所给数据在坐标纸上标出 见图1 图1 14 令 这里 故 15 解得 由 6 得方程组 于是所求拟合曲线为 16 关于多项式拟合 Matlab中有现成的程序 其中输入参数为要拟合的数据 为拟合多项式的次数 输出参数为拟合多项式的系数 利用下面的程序 可在Matlab中完成上例的多项式拟合 17 x 11233345 f 444 566688 5 aa poly x f 1 y polyval aa x plot x f r x y k xlabel x ylabel y gtext y s1 x 18 结果如下 19 例1 设数据由表3 1给出 用最小二乘法确定及 解 表中第4行为 通过描点可以看出数学模型为 它不是线性形式 用给定数据描图可确定拟合曲线方程为 两边取对数得 20 若令 先将转化为 为确定 根据最小二乘法 取 则得 数据表见表3 1 得 21 故有法方程 解得 于是得最小二乘拟合曲线为 22 9 则方程 6 的解为 且平方误差为 23 接下来根据给定节点及权函数 构造带权正交的多项式 注意 用递推公式表示 即 10 这里是首项系数为1的次多项式 24 利用下面的程序 可在Matlab中完成曲线拟合 x 1 001 251 501 752 00 y 5 105 796 537 458 46 y1 log y aa poly x y1 1 a aa 1 b exp aa 2 y2 b exp a x plot x y r x y2 k xlabel x ylabel y gtext y a exp bx 25 结果如下 26 而 于是由 5 12 当时 另外 是首项系数为1的次多项式 它可由 由归纳法假定 当时 的线性组合表示 由归纳法假定又有 27 2用正交多项式做最小二乘拟合 如果是关于点集 8 用最小二乘法得到的法方程组 6 其系数矩阵是病态的 28 至此已证明了由 10 及 11 确定的多项式 组成一个关于点集的正交系 用正交多项式的线性组合作最小二乘曲线拟合 只要根据公式 10 及 11 逐步求的同时 相应计算出系数 最后 由和的表达式 11 有 29 11 下面用归纳法证明这样给出的是正交的 30 假定对及 要证对均成立 由 10 有 由 10 第二式及 11 中的表达式 有 均成立 5 12 31 由假定有 再考虑 13 利用 11 中表达式及以上结果 得 32 并逐步把累加到中去 最后就可得到所求的 用这种方法编程序不用解方程组 只用递推公式 并且当逼近次数增加一次时 只要把程序中循环数加1 其余不用改变 这里可事先给定或在计算过程中根据