2001天津市大学数学竞赛试题参考答案(经济管理类)

2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1. 函数在（-，+）上连续，则a = 2 。2. 设函数y = y(x) 由方程所确定，则 。3. 由曲线与x轴所围成的图形的面积A = 。4. 设E为闭区间0，4上使被积函数有定义的所有点的集合，则 。5已知，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 若且，则（ D ）（A） 存在； （B） （C） 不存在； （D） A、B、C均不正确。2. 设，则当时，（ A ）（A）与为同阶但非等价无穷小； （B）与为等价无穷小；（C）是比更高阶的无穷小； （D）是比更低阶的无穷小。3. 设函数对任意x都满足，且，其中a、b均为非零常数，则在x = 1处（ D ）（A）不可导； （B）可导，且；（C）可导，且； （D）可导，且。4. 设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s 0，t 0，则I的值（ C ）（A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关；（C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ B ）。（A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、求极限 。（本题6分）解：；由此得到： 。四、求星形线，在处的切线与Ox轴的夹角。（本题6分）解：， ，故 ，即倾角的正切tg=1，于是得到切线与Ox轴的夹角。五、已知方程定义了函数，求。（本题7分）解：六、计算。（本题6分）解：命：，于是。七、计算。（本题7分）解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到。八、某工厂计划投资144（百万元）用于购进A、B两种生产线，A生产线每套售价4（百万元），B生产线每套售价3（百万元）。若购进x套A生产线和y套B生产线，可使该厂新增年产值（百万元）问该厂应当分别购进A、B两种生产线个多少套，能使该厂新增年产值最大，并求此最大值。（本题8分）解：构造，则 其中由(1)、(2)得 (4)与(5)相乘，得到 （因0，x10，定义求证：存在，并求其值。（本题8分）解：第一步：证明数列的极限存在：注意到：当n 2时，因此数列有下界。又，即xn+1xn ，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。第二步：求数列的极限设：，则有。由，有，解得（舍掉负根），即。十、证明：当x 0时，。（本题7分）证明：设（x 0），则即在区间（0，+）上函数y单调递减，又，所以（x 0），即。十一、设函数在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分）证明：由积分中值定理知，存在，使得又函数在区间上连续，内可导，由罗尔定理知，至少存在一点，使得。十二、设在区间上具有二阶导数，且，。证明。（本题8分）证明：对任意的，