2020中考数学压轴题专题03 一元二次方程及应用

专题03一元二次方程及应用【考点1】一元二次方程的根的求值问题【例1】（2019兰州）x1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b0的解，则2a+4b（）A2B3C1D6【答案】A【解析】把x1代入方程x2+ax+2b0得1+a+2b0，所以a+2b1，所以2a+4b2（a+2b）2（1）2故选：A点睛:本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解【变式1-1】（2019遂宁）已知关于x的一元二次方程（a1）x22x+a210有一个根为x0，则a的值为（）A0B1C1D1【答案】D【解析】关于x的一元二次方程（a1）x22x+a210有一个根为x0，a210，且a10，则a的值为：a1故选：D点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零【变式1-2】（2019甘肃）若一元二次方程x22kx+k20的一根为x1，则k的值为（）A1B0C1或1D2或0【答案】A【解析】把x1代入方程得：1+2k+k20，解得：k1，故选：A点睛:此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值【考点2】配方法解一元二次方程【例2】（2019南通）用配方法解方程x2+8x+90，变形后的结果正确的是（）A（x+4）29B（x+4）27C（x+4）225D（x+4）27【答案】D【解析】方程x2+8x+90，整理得：x2+8x9，配方得：x2+8x+167，即（x+4）27，故选：D点睛:此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键【变式2-1】（2019金华）用配方法解方程x26x80时，配方结果正确的是（）A（x3）217B（x3）214C（x6）244D（x3）21【答案】A【解析】用配方法解方程x26x80时，配方结果为（x3）217，故选：A点睛:此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键【考点3】因式分解法解一元二次方程【例3】（2019桂林）一元二次方程（x3）（x2）0的根是 【答案】x13，x22【解析】x30或x20，所以x13，x22故答案为x13，x22点睛:本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法【变式3-1】（2019十堰）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m 【答案】3或4【解析】根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，（2m1）2490，（2m1+7）（2m17）0，2m1+70或2m170，所以m13，m24故答案为3或4点睛:本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法【变式3-2】（2019扬州）一元二次方程x（x2）x2的根是 【答案】x12，x21【解析】x（x2）x2，x（x2）（x2）0，（x2）（x1）0，x20，x10，x12，x21，故答案为：x12，x21点睛:本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键【考点4】一元二次方程的判别式问题【例4】（2019铁岭）若关于x的一元二次方程ax28x+40有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 【答案】a4且a0【解析】由题意可知：6416a0，a4，a0，a4且a0，故答案为：a4且a0点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型【变式4-1】（2019宁夏）已知一元二次方程3x2+4xk0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 【答案】k-43【解析】方程3x2+4xk0有两个不相等的实数根，0，即4243（k）0，解得k-43，故答案为：k-43点睛:本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根【变式4-2】（2019黄石）已知关于x的一元二次方程x26x+（4m+1）0有实数根（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1x2|4，求m的值【解析】（1）关于x的一元二次方程x26x+（4m+1）0有实数根，（6）241（4m+1）0，解得：m2（2）方程x26x+（4m+1）0的两个实数根为x1、x2，x1+x26，x1x24m+1，（x1x2）2（x1+x2）24x1x242，即3216m16，解得：m1点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1x2|4，找出关于m的一元一次方程【考点5】一元二次方程的根与系数的关系问题【例5】（2019十堰）已知于x的元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值【答案】(1) a2；(2) 1，0，1【解析】（1）关于x的一元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2，0，即（6）24（2a+5）0，解得a2；（2）由根与系数的关系知：x1+x26，x1x22a+5，x1，x2满足x12+x22x1x230，（x1+x2）23x1x230，363（2a+5）30，a-32，a为整数，a的值为1，0，1点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用【变式5-1】（2019绥化）已知关于x的方程kx23x+10有实数根（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x24时，求k的值【答案】(1) k的取值范围为k94(2) k的值为1【解析】（1）当k0时，原方程为3x+10，解得：x=13，k0符合题意；当k0时，原方程为一元二次方程，该一元二次方程有实数根，（3）24k10，解得：k94综上所述，k的取值范围为k94（2）x1和x2是方程kx23x+10的两个根，x1+x2=3k，x1x2=1kx1+x2+x1x24，3k+1k=4，解得：k1，经检验，k1是分式方程的解，且符合题意k的值为1点睛:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）分k0及k0两种情况，找出k的取值范围；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x24，找出关于k的分式方程【考点6】一元二次方程的增长率问题【例6】（2019大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？【答案】(1) 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%(2) 预测2019年村该村的人均收入是26620元【解析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：20000（1+x）224200，解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去）答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%（2）24200（1+10%）26620（元）答：预测2019年村该村的人均收入是26620元点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算【变式6-1】（2019贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？【答案】(1) 该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%(2) 2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元【解析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）23600，解得：x10.220%，x22.2（舍去）答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%（2）3600（1+20%）4320（元），43204200答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【考点7】一元二次方程的面积问题【例7】（2019徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？【答案】当剪去正方形的边长为52cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2【解析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（302x）cm，宽为（202x）cm，高为xcm，依题意，得：2（302x）+（202x）x200，整理，得：2x225x+500，解得：x1=52，x210当x10时，202x0，不合题意，舍去答：当剪去正方形的边长为52cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【变式7-1】（2019襄阳）改善小区环境，争创文明家园如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m【解析】设小路的宽应为xm，根据题意得：（162x）（9x）112，解得：x11，x216169，x16不符合题意，舍去，x1答：小路的宽应为1m点睛:本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键【考点8】一元二次方程的销售问题【例8】（2019东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【解析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出300+5（200x）个，依题意，得：（x100）300+5（200x）32000，整理，得：x2360x+324000，解得：x1x2180180200，符合题意答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【变式8-1】（2019安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？【答案】商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元【解析】（1）设一次函数解析式为：ykx+b当x2，y120；当x4，y140；2k+b=1204k+b=140，解得：k=10b=100，y与x之间的函数关系式为y10x+100；（2）由题意得：（6040x）（10 x+100）2090，整理得：x210x+90，解得：x11x29，让顾客得到更大的实惠，x9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键1（2019滨州）用配方法解一元二次方程x24x+10时，下列变形正确的是（）A（x2）21B（x2）25C（x+2）23D（x2）23【答案】D【解析】x24x+10，x24x1，x24x+41+4，（x2）23，故选：D点睛:本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键2（2019营口）若关于x的方程kx2x-34=0有实数根，则实数k的取值范围是（）Ak0Bk-13且k0Ck-13Dk-13【答案】C【解析】当k0时，1+4k34=1+3k0，k-13，k-13且k0，当k0时，此时方程为x-34=0，满足题意，故选：C点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型3（2019丹东）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x26x+k0的两个实数根，则k的值是（）A8B9C8或9D12【答案】B【解析】当等腰三角形的底边为2时，此时关于x的一元二次方程x26x+k0的有两个相等实数根，364k0，k9，此时两腰长为3，2+33，k9满足题意，当等腰三角形的腰长为2时，此时x2是方程x26x+k0的其中一根，412+k0，k8，此时另外一根为：x4，2+24，不能组成三角形，综上所述，k9，故选：B点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型4（2019包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，则m的值是（）A34B30C30或34D30或36【答案】A【解析】当a4时，b8，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，4+b12，b8不符合；当b4时，a8，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，4+a12，a8不符合；当ab时，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，122a2b，ab6，m+236，m34；故选：A点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键5（2019荆州）若一次函数ykx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定【答案】A【解析】一次函数ykx+b的图象不经过第二象限，k0，b0，k24b0，方程有两个不相等的实数根故选：A点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根也考查了一次函数的性质6（2019遵义）一元二次方程x23x+10的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x22的值是（）A10B9C8D7【答案】D【解析】x1为一元二次方程x23x+10的根，x123x1+10，x123x11，x12+3x2+x1x223x11+3x2+x1x223（x1+x2）+x1x23，根据题意得x1+x23，x1x21，x12+3x2+x1x2233+137故选：D点睛:本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca7（2019鸡西）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A4B5C6D7【答案】C【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x243，解得：x17（舍去），x26故选：C点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键8（2019朝阳）一元二次方程x2x10的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法判断【答案】A【解析】（1）24（1）50，方程有两个不相等的两个实数根故选：A点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根9（2019湘潭）已知关于x的一元二次方程x24x+c0有两个相等的实数根，则c（）A4B2C1D4【答案】A【解析】方程x24x+c0有两个相等的实数根，（4）241c164c0，解得：c4故选：A点睛:本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键10（2019资阳）a是方程2x2x+4的一个根，则代数式4a22a的值是【答案】8【解析】a是方程2x2x+4的一个根，2a2a4，4a22a2（2a2a）248故答案为：8点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键11.（2019济宁）已知x1是方程x2+bx20的一个根，则方程的另一个根是【答案】2【解析】x1是方程x2+bx20的一个根，x1x2=ca=-2，1x22，则方程的另一个根是：2，故答案为2点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键12（2019抚顺）若关于x的一元二次方程kx2+2x+10有实数根，则k的取值范围是 【答案】k0且k1【解析】由题意可知：44k0，k1，k0，k0且k1，故答案为：k0且k1；点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型13（2019青海）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为 【答案】10%【解析】设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：60（1x）248.6，解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去），答：平均每次降价的百分比是10%；故答案为：10%点睛:本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2b14某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为 【答案】20%【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：5（1+x）27.2，解得：x10.220%，x22.2（不合题意舍去）答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%故答案是：20%点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均增长率）年数增长后的量15（2019呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x6）16的实数根【答案】x1=9+3534，x2=9-3534【解析】原方程化为一般形式为2x29x340，x2-92x17，x2-92x+8116=17+8116，（x-94）2=35316，x-94=3534，所以x1=9+3534，x2=9-3534点睛:本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法16（2019孝感）已知关于x的一元二次方程x22（a1）x+a2a20有两个不相等的实数根x1，x2（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22x1x216，求a的值【解析】（1）关于x的一元二次方程x22（a1）x+a2a20有两个不相等的实数根，2（a1）24（a2a2）0，解得：a3，a为正整数，a1，2；（2）x1+x22（a1），x1x2a2a2，x12+x22x1x216，（x1+x2）23x1x216，2（a1）23（a2a2）16，解得：a11，a26，a3，a1点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键17（2019贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【解析】（1）设这两年藏书的年均增长率是x，5（1+x）27.2，解得，x10.2，x22.2（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.25）20%0.44（万册），到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：55.6%+0.447.2100%10%，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%点睛:本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题18（201