求数列的前n项和(教师版).doc

求数列的前n项和(教师版)1、等差数列的前n项和公式(1)Snna1d；(2)SnAn2Bn；2、等比数列的前n项和公式(1)Sn(2)SnAqn+B(A+B=0)。3、一些常见数列的前n项和(1)123n_；(2)135(2n1)_；(3)2462n_；(4)122232n2_；(5)132333n3 。4、数列的通项an与前n项和Sn的关系an(1)若a1适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；(2)若a1不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示通项an5、求数列的前n项和常见方法(1)分类相加法；(2)倒序相加法；(3)错位相减法；(4)裂项相消法；(5)并项求和法。考向一分类相加法例1 已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和Sn的公式解：(1)由x13得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.如果一个数列的通项是由若干个等差数列和等比数列的项相加、减得到的，则可用分类相加法求数列的前n项和，方法是：把该数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成若干个等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解变式1 求和Sn1.解：和式中第k项为ak12.Sn2222n2.考向二倒序相加法例21 求和：sin21sin22sin23sin288sin289 。解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289，则Ssin289sin288sin287sin22sin21，即Scos21cos22cos23cos288cos289，得2S89，所以S44.5.例22 已知函数f(x)对任意xR，都有f(x)1f(1x)，则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)_.解：由条件可知：f(x)f(1x)1.而x(1x)1，f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(2)f(3)3.答案：3如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或呈现相同的规律，则可用倒序相加法求数列的前n项和，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的方法是：把数列的各项反序相加，然后与原序和式左右分别相加，即可利用数列性质求出数列的前n项和。变式2 设f(x)，求得fff的值为_解：当x1x21时，f(x1)f(x2)1.设Sfff，倒序相加有2Sff10，即S5.考向三错位相减法例3 已知数列an是首项、公比都为5的等比数列，bnanlog25an(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解：依题意可得an55n15n，于是bn5nlog255nn5n.所以Sn15252353n5n，则5Sn152253354(n1)5nn5n1，两式相减得4Sn552535nn5n1，即4Sn(552535n)n5n1n5n1，故Sn.(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，则可用错位相减法求数列的前n项和，方法是把式子Sna1a2an两边同乘以公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减整理即可求出Sn；(2)利用错位相减法求和，是一种非常重要的求和方法，这种方法的计算过程较为复杂，对计算能力要求较高，应加强训练要注意通过训练，掌握在错位相减过程中，几个容易出错的环节变式3 已知向量p(an，2n)，向量q(2n1，an1)，nN*，向量p与q垂直，且a11.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bnlog2an1，求数列anbn的前n项和Sn.解：(1)向量p与q垂直，2n1an2nan10，即2nan12n1an，2，an是以1为首项，2为公比的等比数列，an2n1.(2)bnlog2an1n11n，anbnn2n1，Sn122322423n2n1，2Sn12222323(n1)2n1n2n，得，Sn122223242n1n2nn2n(1n)2n1，Sn1(n1)2n.考向四裂项相消法例41 在数列an中，an，又bn，试求数列bn的前n项和公式解：由于an，所以bn，而bn8，所以数列bn的前n项和Snb1b2bn88.例42 已知等差数列an中，a59，a1325，又bn，试求数列bn的前n项和解：设等差数列an的公差为d，则解得因此an12(n1)2n1，于是bn，所以数列bn的前n项和Snb1b2bn.裂项相消法就是把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾若干少数项之和，从而求出数列的前n项和(1)常见的裂项方法：；()；()；()；(2)在利用裂项相消法求和时应注意：在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；在正负项抵消后，一般前后剩余项的位置具有对称性，或只剩下第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下对称位置两项。变式41 数列1，的前n项和为_解：数列的通项公式为an，则an2，所以其前n项和为Sn2.变式42 已知数列an的前n项和为Sn，若an(nN*)，则S2009的值为()A. B.1 C. D.1解：an，S2009()()()，故选C.考向五并项求和法例5 已知数列an的通项公式an(1)n1n2，则其前n项和为()A(1)n1 B(1)n C D解：依题意Sn12223242(1)n1n2.当n为偶数时，Sn12223242(1)n1n2(1222)(3242)(n1)2n237(2n1).当n为奇数时，Sn12223242(1)n1n2Sn1n2n2.Sn(1)n1.故选A.(1)如果一个数列的各项是正负交替，且各项绝对值成等差数列，则可用并项求和法求数列的前n项和。形如an(1)nf(n)类型，常采用两项合并求解；(2)在利用并项求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论变式5 数列an的通项公式anncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于()A1 006 B2 012C503 D0解：因cos 呈周期性出现，则观察此数列求和规律，列项如下：a10，a22，a30，a44，此4项的和为2.a50，a66，a70，a88，此4项的和为2.依次类推，得S2 012(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a2 009a2 010a2 011a2 012)21 006.故选A.基础达标1、数列an的通项公式为ann2n(n1,2,3，)，则an的前n项和Sn_.解：由题意得数列an的前n项和等于(123n)(222232n)2n12.2、已知数列an的通项公式为an(1)n(3n2)，则其前20项的和等于_解：该数列前20项的和S20147105558(14)(710)(5558)31030.3、数列an的通项公式an(nN*)，若前n项和为Sn，则Sn为()A.1 B.1 C.(1) D.(1)解：an()，Sn(1)(1)(1). 能力提升4、已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A0 B100 C100 D10 200解：由题意，a1a2a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)100.5、数列an的前n项和为Sn，a11，a22，an2an1(1)n(nN*)，则S100_.解：由an2an1(1)n，知a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，数列a2k是等差数列，a2k2k.S100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.6