第二章 2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法

.,1,线性代数,.,2,第二章矩阵2.1矩阵2.2矩阵的运算2.3逆矩阵2.4线性方程组的矩阵解法,.,3,数的乘法满足交换律，且当时，有.矩阵的乘法一般不满足交换律但当时，与有什么关系？例如：,2.3可逆矩阵,第二章矩阵,.,4,2.3可逆矩阵,第二章矩阵,注:A的逆矩阵记为A1.,1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得,AB=BA=E,则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.,2.逆矩阵的唯一性,若AB=BA=E,AC=CA=E,则B=BE,=B(AC),=(BA)C,=EC,=C.,结合律的妙用之二,2.3可逆矩阵,.,5,2.3可逆矩阵,第二章矩阵,注对于方阵A,BA=EA可逆且A1=B.,AB=E,A可逆且A1=B.,例1.设方阵A,B,C满足ABC=E,则必有（）,.,6,2.2可逆矩阵,第二章矩阵,例2.设方阵A满足A2A2E=O,证明A，A+2E可逆,并求A1，(A+2E)1.,证明:A2A2E=O,A(AE)2E=O,A(AE)=2E,A(AE)=E,(A+2E)1=(A1)2,12,.,7,2.2可逆矩阵,第二章矩阵,例3.设方阵A满足2A3A2+E=O,证明A+E可逆,并求(A+E)1.,2A3A2+O+E,2A2,2A3+2A2,3A2+O,3A,3A23A,3A+E,3A+3E,+3E,2E,证明:2A3A2+E=O,(A+E)(2A23A+3E)2E=O,.,8,2.2可逆矩阵,第二章矩阵,例3.设方阵A满足2A3A2+E=O,证明:2A3A2+E=O,(A+E)(2A23A+3E)2E=O,(A+E)(2A23A+3E)=2E,证明A+E可逆,并求(A+E)1.,.,9,2.2可逆矩阵,第二章矩阵,注:,AX=C且A可逆X=A1C,XA=C且A可逆X=CA1.,AXB=C且A,B可逆X=_.,.,10,2.2可逆矩阵,第二章矩阵,4.逆矩阵的运算性质,(1)A可逆(A1)1=A.,(2)A可逆(AT)1=(A1)T.,(3)A可逆,k0(kA)1=k1A1.,(4)设A,B为同阶方阵,则,AB可逆A,B皆可逆.,当A,B皆可逆时,(AB)1=B1A1.,例4.设A,B,C为同阶可逆阵,则(ABC)1=.,A1B1C1,C1B1A1,A1C1B1,B1A1C1.,.,11,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,2.4线性方程组的矩阵解法,.,12,Ax=b.,则,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,13,A=,为系数矩阵,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,14,Gauss消元法(Gaussmethod),1/2,对换变换,倍乘变换,倍加变换,1.2Gauss消元法,第一章线性方程组与消元法,.,15,行阶梯形,行最简形,或写成向量形式,由此可得原方程组的通解（一般解）:,其中c为任意数（自由未知数）.,1.2Gauss消元法,第一章线性方程组与消元法,.,16,1/2,1/2,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,17,x1+2x2x3=3x2+2x3=20=0,121301220000,其中c为任意实数.,方程组的初等行变换可以移植到矩阵上去,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,18,矩阵的初等行变换,矩阵的初等列变换,(1)对换变换:rirj,(2)倍乘变换:rik,(3)倍加变换:kri+rj.,初等变换,(1)对换变换:cicj,(2)倍乘变换:cik,(3)倍加变换:kcj+ci.,可逆变换！,同解变换！,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,行row，列column,.,例1.解线性方程组,解：,A,b,.,再作初等行变换B1又可以变为,故方程变形为,故方程的解为,.,特点：,（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）、每个台阶只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,行阶梯形矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,第二章矩阵,.,行最简形矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,1)首先是行阶梯形矩阵；,2)每一行的第一个非零元是1,3)每一行的第一个非零元1所在列的其余元素都是0,第二章矩阵,.,23,例2.解线性方程组,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,24,例3.解线性方程组,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,25,例4.设线性方程组:,问为何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.,解:对其增广矩阵A,b作初等行变换,化为阶梯形.,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,26,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,27,当0且3时,方程组有唯一解;(2)当=0时,方程组无解;(3)当=3时,方程组有无穷多解.此时,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,28,101101120000,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,29,例5.设有线性方程组,(1)a为何值时,此方程组有无穷多解?并求其通解.(2)a为何值时,此方程组无解?,第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,30,解:,00286121122422a,(1/2),第二章矩阵,2.4线性方程组的矩阵解法,.,31,(1)a=4时,该方程组有无穷多解.,此时,