第二章_逻辑代数基本原理及公式化简

.,逻辑代数的基本运算基本逻辑电路逻辑代数的公式、规则公式法化简逻辑函数图解法(卡诺图)化简多输出函数的化简包含任意项的逻辑函数化简逻辑函数的变换、化简,第2章逻辑代数及逻辑函数化简,.,2.1逻辑代数的基本原理,逻辑代数的基本概念和性质是由英国数学家乔治布尔在19世纪中期首先提出的。又叫布尔代数。是数字系统分析和设计的数学工具。逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑图、卡诺图、波形图。逻辑函数的生成：逻辑问题的描述由文字叙述设计要求，抽象为逻辑表达式的过程。然后化简。实现逻辑设计的第一步。逻辑函数、逻辑变量的取值：、逻辑代数的基本运算：与、或、非1、“与”运算，逻辑乘2、“或”运算，逻辑加3、“非”运算，取反,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,1、“与”运算：当决定一事件的所有条件都具备之后，这事件才会而且一定会发生，称这种关系为“与”逻辑关系，也称为逻辑乘。,如图：用两个串联的开关A、B来控制一盏灯。灯亮的条件是开关A“与”开关B“同时”处在“合上”位置。,假定：灯亮为“1”，不亮为“0”；开关“合上”为“1”，“断开”为“0”。灯的状态和开关的位置之间的关系例表如：,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,1、“与”运算：常用真值表来表示逻辑命题的真假关系。真值表：把所有的条件的全部组合以表格的形式列出来，再把在每一种组合下对应的事件的值求出来，这样的表格即为真值表。每个条件有“0”、“1”两种状态，n个条件有2n个组合。,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,1、“与”运算：两变量“与”运算的真值表和门电路符号。,真值表,&,F=AB=AB=AB,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,2、“或”运算：当决定一个事件的各个条件中，只要具备一个，事件就会发生，这样的关系称为“或”逻辑关系，或称逻辑加。,如图：用两个并联的开关A、B来控制一盏灯。灯亮的条件，只要开关A“或”开关B在“合上”位置。,假定：灯亮为“1”，不亮为“0”；开关“合上”为“1”，“断开”为“0”。把灯的状态和开关的位置之间的关系例表如下：,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,2、“或”运算：F=A+B,真值表,+,1,F=A+B=AB,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,3、“非”运算：就是否定。当决定事件的一个条件不具备时，事件就会发生；条件具备时，事件不会发生。称这种关系为“非”逻辑关系。,如图：用一个与灯并联的开关A来控制一盏灯。开关A在“合上”的位置时，灯不亮；开关A在“断开”的位置时，灯亮。,假定：灯亮为“1”，不亮为“0”；开关“合上”为“1”，“断开”为“0”。把灯的状态和开关的位置之间的关系例表如下：,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,3、“非”运算：就是否定、逻辑反F=A,1,非门（A是输入，F是输出）,真值表,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,真值表,与非门（实现“与非”逻辑）,将基本的逻辑门加以组合，可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”、等门电路。,4、“与非”运算:F=AB,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,或非门（实现“或非”逻辑）,真值表,5、“或非”运算:F=A+B,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,与或非门（实现“与或非”逻辑）,6、“与或非”运算:F=AB+CD,真值表,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,异或门（实现“异或”逻辑）,7、“异或”运算:F=AB+AB=A+B,真值表,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,异或门的组成:用基本逻辑门组成异或门,.,2.1.1逻辑代数的基本运算,同或门（实现“同或”逻辑）,8、“同或”运算:F=AB+AB=AB,真值表,“同或”、“异或”关系：,.,常用的逻辑门及符号,.,2.1.2逻辑代数的基本公式,互补律：1律：0律：,.,交换律：结合律：分配律：,2.1.2逻辑代数的基本公式,.,吸收律：反演律：(德摩根定律),2.1.2逻辑代数的基本公式,.,包含律：推论：对合律：重叠律：,2.1.2逻辑代数的基本公式,.,基本公式验证方法：真值表利用基本定理化简公式例：真值表验证摩根定律,2.1.2逻辑代数的基本公式,.,真值表利用基本定理化简公式例：证明包含律,2.1.2逻辑代数的基本公式,证明：,.,基本定理、公式应用：证明：,2.1.2逻辑代数的基本公式,.,2.1.3逻辑代数的基本规则,1、代入规则,任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。,.,2、反演规则,使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。,例如：已知,例如：已知,根据反演规则可得:,2.1.3逻辑代数的基本规则,如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”,“+”变成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成反变量，反变量变成原变量，得到的函数是原函数的反函数。,求：,.,2、反演规则,例题：已知,1、根据反演规则可得:,求它的反函数,2、根据基本公式可得:,比较两种方法，应用反演规则比较方便。,2.1.3逻辑代数的基本规则,.,例题：求下列函数的反函数,2、反演规则,2.1.3逻辑代数的基本规则,.,3、对偶规则,求某一函数F的对偶式时，要注意保持原函数的运算顺序不变。,2.1.3逻辑代数的基本规则,如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”,“+”变成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F。如果F是F的对偶式，则F也是F的对偶式，即F与F互为对偶式。,对偶规则：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F和G也相等。函数的对偶的对偶式，为函数本身。,.,3、对偶规则,例题：求下列函数的对偶式：,2.1.3逻辑代数的基本规则,.,4、附加公式,2.1.3逻辑代数的基本规则,附加公式一：当包含变量x，的函数f和变量x相“与”时，函数f中的x均可由“1”代之，均可由“0”代之；当f和变量相“与”时，函数f中的x均可由“0”代之，均可由“1”代之。当包含变量x，的函数f和变量x相“或”时，函数f中的x均可由“0”代之，均可由“1”代之；当f和变量相“或”时，函数f中的x均可由“1”代之，均可由“0”代之。,.,例题：若,化简函数：,4、附加公式,2.1.3逻辑代数的基本规则,.,附加公式二：一个包含有变量x、x的函数f，可展开为xf和xf的逻辑或。一个包含有变量x、x的函数f，可展开为（x+f）和（x+f）的逻辑与。,利用附加公式一，可以改写为：,4、附加公式,2.1.3逻辑代数的基本规则,.,例题：化简函数,4、附加公式,2.1.3逻辑代数的基本规则,.,例题：化简函数,4、附加公式,2.1.3逻辑代数的基本规则,.,2.2逻辑函数的化简,逻辑函数化简的目的:省器件！用最少的门实现相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。主要掌握“与或”表达式的化简。最简“与或”表达式：1、乘积项的个数最少(用门电路实现，所用与门的个数最少)2、在满足（1）的条件下，乘积项中的变量个数最少(与门的输入端最少)最简的目标不同，达到的效果也不同。如果功耗最小或者可靠性最高是目标，化简的结果完全不同！,.,2.2.1公式法化简逻辑函数,1、合并乘积项法：,分配律：,结合律：,互补律：,互补律：,例1：,.,例2：,反演律,2、吸收项法：,2.2.1公式法化简逻辑函数,吸收律,例3：,合并乘积项,异或、同或,吸收律,.,包含律,结合律,1律,包含律,例4：,2、吸收项法：,2.2.1公式法化简逻辑函数,.,例5：,3、配项法：利用互补律,例6：,2.