2012中考数学-第25讲-二次函数附2011中考真题精选

2012年中考数学一轮复习精品讲义第二十五章 二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用 小结2 本章学习重难点【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题 【学习本章应注意的问题】 1在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数yax2(a0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从yax2k，ya(xh)2一直到yax2bxc，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度 2在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征 3有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3 中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集二次函数的最大(小)值在实际问题中的应用二次函数的概念二次函数的图象二次函数的应用二次函数开口方向二次函数的性质对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次函数yax2bxc的图象和性质【专题解读】 对二次函数yax2bxc的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握 例1 二次函数yax2bxc(a0)的图象如图2684所示，则下列结论：a0；c0；b24ac0其中正确的个数是 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 分析 抛物线的开口向下，a0；抛物线与y轴交于正半铀，c0;抛物线与x轴有两个交点，b24ac0故正确故选C 【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y轴交点的位置以及与x轴交点的个数 例2 若yax2bxc，则由表格中的信息可知y与x之间的函数关系式是 ( )x-101ax21ax2+bx+c83Ayx24x3 Byx23x4Cyx23x3 Dyx24x8分析 由表格中的信息可知，当x1时，ax21，所以a1当x=1时，ax2bxc8，当x0时，ax2bxc3，所以c3，所以1(1)2b(1)38，所以b4故选A【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x1时，ax21，x0时，ax2bxc3和x1时，ax2bxc8例3 已知二次函数yax2bx1的大致图象如图2685所示，则函数yaxb的图象不经过 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 分析 由图象可知a0，0，则b0，所以yaxb的图象不经过第一象限故选A 【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a的符号，b的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定 例4 已知二次函数yax2bxc(其中a0，b0，c0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧其中正确的个数为 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 分析 由a0，得抛物线开口向上，由0，得对称轴在y轴左侧，由c0可知抛物线与y轴交于负半轴上，可得其大致图象如图2686所示，因此顶点在第三象限，故正确故选C. 【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想 例5 若A，B，C为二次函数yx24x5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y3y2 分析 因为yx24x5的图象的对称轴为直线x2，所以x=与x的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当时，y2y1y3故选B 【解题策略】 此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x=的函数值转化为x的函数值例6 在平面直角坐标系中，函数yx1与y(x1)2的图象大致是(如图2687所示) ( ) 分析 直线yx1与y轴交于正半轴，抛物线y(x1)2的顶点为(1，0)，且开口向下故选D专题2 抛物线的平移规律【专题解读】 当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式yax2bxc化成ya(xh)2k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关其口诀是“左加右减，上加下减” 例7 把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( ) Ay2(x1)2 By2(x1)2 Cy2x21 Dy2x21 分析 原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)故选C 【解题策略】 解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解 例8 把抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为yx23x5，则 ( ) Ab3，c7 Bb6，c3 Cb9，c5 Db9，c21 分析 yx23x5变形为y5，即y，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y2，即yx23x7，所以b3，c7故选A 【解题策略】 此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到yx23x5，那么抛物线yx23x5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线yx2bxc专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点，则c0，若抛物线的顶点坐标已知，则和的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a，b，c以及与之有关的代数式的值 例9 如图2688所示的抛物线是二次函数yax23axa21的图象，则a的值是 . 分析 因为图象经过原点，所以当x0时，y0，所以a21=0，a1，因为抛物线开口向下，所以a1.故填1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】 在自变量x的取值范围内，函数yax2bxc在顶点处取得最值当a0时，抛物线yax2bxc开口向上，顶点最低，当x时，y有最小值为；当a0时，抛物线yax2bxc开口向下，顶点最高，当x时，y有最大值为 例10 已知实数x，y满足x22x4y5，则x2y的最大值为 . 分析 x22x4y5，4y5x22x，2y(5x22x)，x2y(5x22x)x，整理得x2yx2.当x0时，x2y取得最大值，为故填专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式 例11 已知二次函数yax2bx的图象经过点(2，0)，(1，6) (1)求二次函数的解析式； (2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y0时x的取值范围 分析 (1)列出关于a，b的方程组，求a，b的值即可(2)观察图象求出y0的解集解：(1)由题意可知，当x2时，y0，当x1时，y6，则解得 二次函数的解析式为y2x24x(2)图象如图2689所示，由图象可知，当y0时，x0或x2 【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法 (1)设一般式：yax2bxc(a0) 若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为yax2bxc，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值 (2)设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为ya(xx1)(xx2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式 (3)设顶点式：ya(xh)2k(a0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为ya(xh)2k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式 (4)设对称点式：ya(xx1)(xx2)m(a0) 若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为ya(xx1)(xx2)m(a0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式 例12 根据下列条件求函数解析式 (1)已知二次函数的图象经过点(1，6)，(1，2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式； (2)已知抛物线的顶点为(1，3)，与y轴的交点为(0，5)，求此抛物线的解析式； (3)已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式； (4)已知抛物线经过(3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式 分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式(3)由于A(l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便 解：(1)设二次函数的解析式为yax2bxc 将(1，6)，(1，2)和(2，3)分别代入， 得解得 所求的二次函数的解析式为yx22x5 (2)抛物线的顶点为(1，3)， 设其解析式为ya(x1)23，将点(0，5)代入 ，得5a3，a2，所求抛物线的解析式为y2(x1)23 即y2x24x5 (3)点A(1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点， 设抛物线的解析式为ya(x1)(x1)， 将点M(0，1)代入，得1a，a1， 所求抛物线的解析式为y(x1)(x1)， 即y=x21 (4)抛物线经过(3，4)，(1，4)两点， 设抛物线的解析式为ya(x3)(x1)4， 将点(0，7)代入，得7a3(1)4，a1， 所求抛物线的解析式为y(x3)(x1)4， 即yx22x7【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的. (2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果 (3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式 三、思想方法专题专题7 数形结合思想【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究 例13 二次函数yax2bxc的图象如图2690所示，则点A(a，b)在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a0，由对称轴的位置可知x0，所以b0，故点A在第二象限故选B【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果 例14 已知抛物线yax2bxc与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于B(1，0)，C(5，0)两点 (1)求此抛物线的解析式； (2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式； (3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E，F的坐标，并求出这个最短总路径的长 分析 (1)用待定系数法求a，b，c的值(2)用分类讨论法求直线CD的解析式(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c=3，所以解得所以抛物线的解析式为yx2x3 (2)依题意可知，OA的三等分点分别为(0，1)，(0，2)， 设直线CD的解析式为ykxb， 当点D的坐标为(0，1)时，直线CD的解析式为yx1， 当点D的坐标为(0，2)时，直线CD的解析式为yx2 (3)由题意可知M，如甲2691所示， 点M关于x轴的对称点为M， 点A关于抛物线对称轴x3的对称点为A(6，3)， 连接AM，根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM的长就是点P运动的最短总路径的长 所以AM与x轴的交点为所求的E点，与直线x3的交点为所求的F点 可求得直线AM，的解析式为yx 所以E点坐标为(2，0)，F点坐标为，由勾股定理可求出AM 所以点P运动的最短总路径(MEEFFA)的长为【解题策略】 (2)中点D的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想(3)中的关键是利用轴对称性找到E，F两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题专题9 方程思想【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y0或x0，通过解方程解决交点的坐标问题求抛物线与x轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况 例15 抛物线yx22x1与x轴交点的个数是 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 分析 可设x22x10，(2)24110，可得抛物线yx22x1与x轴只有一个交点故选B 【解题策略】 抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的个数可由一元二次方程ax2bxco(a0)的根的个数来确定专题10 建模思想【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱 (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售价x(元箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售价x(元箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少? 分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x50)元，则平均每天少销售3(x50)箱，所以提价后每天销售903(x50)箱，即y903(x50).(2)每天的销售利润可用(x40)903(x50)来表示(3)建立W和x之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值 解：(1)y903(x50)，即y3x240 (2)W(x40)(3x240)3x2360x9600， (3)a30，当x60时，W有最大值， 又当x60时，y随x的增大而增大， 当x55时，W取得最大值为1125元， 即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润 【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25，设每双鞋的成本价为a元 (1)试求a的值； (2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图2692所示，可近似看作是抛物线的一部分 根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式； 求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多(注：年利润S年销售总额成本费广告费) 解：(1)由题意得a(125)250，解得a200(元)(2)依题意可设y与x之间的函数关系式为yax2bx1，则，解得 y0.01x20.2x1 S(0.01x20.2x1)1025010200x, 即S25x2499x500， 整理得S=25(x9.98)22990.01 当0x998时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多 例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲(注：宾馆客房是以整间出租的) (1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是 元； (2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是 ； (3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y17600元，试求这天每间客房的价格是多少元 分析 本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题 解：(1)18000 (2)y=x210x18000 (3)当y17600时， x210x400=0， 即x220x8000 解得x20(舍去)或x40 18040220， 所以这天每间客房的价格是220元 例19 （09泰安）如图2693(1)所示，OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线yxm与x轴交于点E (1)求点E的坐标；(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式解：(1)如图2693(2)所示，过A作AFx轴于F，则OF=OAcos 60=1，AF=OFtan 60=， 点A(1，) 代入直线解析式，得1m，m， y=x. 当y=0时，x=0， 解得x4，点E(4，0) (2)设过A，O，E三点的抛物线的解析式为yax2bxc， 抛物线过原点，c0， 解得抛物线的解析式为yx2x. 例20 如图2694所示，在平面直角坐标系中，OBOA，且OB2OA，点A的坐标是(1，2) (1)求点B的坐标；(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式解：(1)如图2695所示，过点A作AFx轴，垂足为点F，过点B作BEx轴，垂足为点E，则AF2，OF1 OAOB， AOFBOE90 又BOEOBE90， AOFOBE RtAFORtOEB 2 BE2，OE4 B(4，2) (2)设过点A(1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线的表达式为yax2bxc 则解得 所求抛物线的表达式为yx2x.例21如图2696所示，已知抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D (1)求抛物线的解析式； (2)将OAB绕点A顺时针旋转90后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式 解：(1)已知抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(0，2)两点， 解得 所求抛物线的解析式为yx23x2 (2)A(1，0)，B(0，2)，OA1，OB2， 可得旋转后C点的坐标为(3，1)当x3时，由y=x23x2得y2， 可知抛物线yx23x2过点(3，2) 将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C 平移后的抛物线的解析式为yx23x1 例22 如图2697所示，抛物线yax2bx4a经过A(1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B (1)求抛物线的解析式； (2)已知点D(m，m1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标 解：(1)抛物线y=ax2bx4a经过A(1，0)，C(0，4)两点， 解得 抛物线的解析式为yx23x4 (2)如图2698所示，点D(m，m1)在抛物线上，m1m23m4， 即m22m30，m1或m3 点D在第一象限，点D的坐标为(3，4) 由(1)得B点的坐标为(4，0)， OC=OB，CBA45 设点D关于直线BC的对称点为点E C(0，4)，CDAB，且CD3， ECBDCB45， E点在y轴上，且CECD3 OE1，E(0，1) 即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)综合验收评估测试题 (时间：120分钟 满分：120分)一、选择题1抛物线y3(x2)29的对称轴、开口方向和顶点坐标分别为 ( )A对称轴为x2，开口向下，顶点坐标为(2，9) B对称轴为x2，开口向下，顶点坐标为(2，9) C对称轴为x2，开口向下，顶点坐标为(2，9) D对称轴为x2，开口向下，顶点坐标为(2，9)2将抛物线y(x1)23向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标为( ) A(1，0) B(1，0) C(1，6) D(1，6)3下列四个函数：y2x；y；y32x；y2x2x(x0)其中在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大的函数有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个4已知点A(1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)在函数y2(x1)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) Ay1y2y3 By3y1y2 Cy1y3y2 D.y2y1y35如图2699所示，抛物线yax2bxc与两个坐标轴的交点分别为A，B，E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列式子不成立的是 ( ) Ab0 BSABEc2 Cac1 Dac06二次函数yax2bxc的图象如图26100所示，则下列判断正确的是( ) Aa0，c0 Ba0，c0 Ca0，c0 Da0，c07已知二次函数yx22x1，则它的图象大致为(如图26101所示) ( )8有3个二次函数，甲：yx21；乙：yx21；丙：yx22x1下列叙述正确 的是 ( ) A甲的图象经过适当的平移后，可以与乙的图象重合 B甲的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合 C乙的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合 D甲、乙、丙3个图象经过适当的平移后，都可以重合9已知关于x的不等式组无解，则二次函数y=(a2)x2x的图象与x轴 ( ) A没有交点 B相交于两点 C相交于一点 D相交于一点或没有交点10如图26102所示，二次函数yax2xa21的图象可能是 ( )二、填空题11请写出一个开口向上、与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式： 12二次函数yx22x3的最小值是 13；如果函数y(k1)kx1是关于x的二次函数，则k 14抛物线y(x2)21的对称轴是直线 ，顶点坐标为 15用配方法将二次函数y4x224x26写成ya(xh)2k的形式是 16将y3x2的图象向 平移2个单位，再向 平移3个单位，就得到y3(x2)23的图象17二次函数y=x2bxc的图象如图26103所示，当函数值y0时，对应的x的取值范围是 18二次函数yx2bxc的图象经过A(1，0)，B(3，0)两点，其顶点坐标为 19二次函数yax2bxc的图象如图26104所示，P|abc|2ab|，Q|abc|2ab|，则P，Q的大小关系为 20初三数学课本上，用描点法画二次函数yax2bxc的囱象时，列了如下表格：x21012y42根据表格中的信息，该二次函数yax2bxc在x3时，y .三、解答题21用周长为6 m的铝合金制成如图26105所示的窗框，则宽和高各为多少时，窗户的透光面积最大?最大面积是多少? 22如图26106所示，O1，O2外切于点P，点P在y轴上，O1，O2分别与x轴相切于A，B两点 (1)求证PAPB； (2)若点A(1，0)，B(4，0)，求过A，B，P三点的抛物线的解析式；(3)(2)中所确定的抛物线的顶点是否在O1与O2的圆心的连线上?23抛物线yx2(m1)xm与y轴交于点(0，3) (1)求m的值，并在图26107中画出这条抛物线； (2)求抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标； (3)当x取何值时，抛物线在x轴上方? (4)当x取何值时，y的值随x的增大而减小?24某农用车生产企业上年度生产农用车的投入成本为0.5万元辆，出厂价为0.6万元辆，年销售量为10万辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当地增加投入成本，若每辆车投入成本增加的百分率为x(0x1)，则出厂价相应提高的百分率为0.75x，同时预计年销售量增加的百分率为0.6x已知年利润(出厂价投入成本)年销售量 (1)写出本年度预计的年利润y(万元)与每辆车投入成本增加的百分率x之间的函数关系式； (2)当每辆车投入成本增加的百分率为多少时，本年度的利润与上年度持平?(结果保留小数点后一位)25已知抛物线经过点A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标为1 (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，抛物线交y轴于点E，请在抛物线上另找一点P，先分别求出点A，C，E，P到点D的距离，再求这些点与直线y2的距离； (3)你发现这条抛物线上的点具有何种规律?26已知二次函数yax2bxc(a0，b0)的图象经过(0，y1)，(1，y2)和(1，y3)三点，且满足y12y22y321 (1)求这个二次函数的关系式； (2)设这个二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，其中x1x2，C为图象的顶点，连接AC，BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求ABP的面积的最大值27如图26108所示，在平面直角坐标系中，抛物线yx26与直线yx相交于A，B两点(1)求线段AB的长；(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大?最大面积是多少?(3)如图26109所示，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立参考答案1B 2A 3B 4C 5D 6C 7B 8B提示：丙函数yx22x1(x1)22，所以甲函数yx21的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，即可得到丙函数的图象 9A提示：解不等式组得a3，3a0 10B提示：把x0代入yax2xa21，得ya2l，因为a0，所以对称轴x0，所以C，D选项是不正确的，若选项A是正确的，则a1，当a1时，即对称轴应为直线x，故选项A错误，若选项B是正确的，则a1，对称轴为直线x，因此选项B是正确的 11y4x21(答案不唯一)提示：抛物线经过点(0，1)，(1，3)，ab4符合ab4，a0即可 124提示：yx22x3(x1)24a10，函数的最小值为4. 130 14x=2 （2，1） 15y=4（x3）210 16左 下 173x1 18(1，4)提示：把x1，y0和x3，y0代入yx2bxc，得解得则解析式为y=x22x3，顶点坐标为（1，4) 19PQ提示：由图象可知：当x1时，yabc0，当x1时，yabc0，c0，由于1，且a0，所以2ab0，2ab0，所以Pbac2aba2bc，Q=a+b+c+b-2a=-a+2b+c，P-Q=2a-2c0,所以PQ.20.-4提示：设解析式为yax2bxc，由表格可知x0时，y2 ，x1时，y4，x1时，y2，解得 y=x2x2,当x=3时，y=9324 21解：设宽为x m，则高为 mSxx23x，当x=1时，S最大值=（m2），此时高为(m) 22(1)证明：过点P作O1，O2的公切线PM交AB于M，则MAMP，MBMP，即MPAB，APB为直角三角形，即PAPB (2)解：设P(0，a)，AP2BP2AB2，2a21725，a2，由图象可知a2，P(0，2)，设抛物线的解析式为yax2bxc，由抛物线过点A(1，0)，B(4，0)，P(0，2)，得y=x2x2(3)解：设O1的半径为r，O2的半径为R，则O1(1，)，O2（4，5）设连心线O1O2的解析式为y=kxb，y=x2.抛物线y=x2x2的顶点坐标为，当x=时，y=2=，抛物线的顶点在O1，O2的圆心的连线上 23解：(1)由抛物线yx2(m1)xm与y轴交于点(0，3)，得m3图象如图26110所示 (2)抛物线为yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为(1，4)令y0，解得x11，x23，抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0) (3)由图象可知，当1x3时，抛物线在x轴上方 (4)由图象可知，当x1时，y的值随x的增大而减小 24解：(1)本年度每辆车的成本为0.5(1x)万元，出厂价为06(10.75x)万元，年销售量为(106x)辆，所以本年度预计的年利润为y06(10.75x)0.5(1x)(10.6x)3000x21000x10000，所以所求的函数关系式为y3000x21000xl0000(0x1) (2)上年度利润为(0.60.5)10000(万元)，3000x21000x1000010000，整理得3x2x0，解得x1，x20(舍去)，x333，即当每辆车投入成本增加的百分率约为333时，本年度的利润与上年度持平 25提示：(1)yx22x3 (2)顶点坐标C(4，1)，点D(4，0)，点E(0，3)设点P(8，3)，则点A，C，E，P到点D的距离分别为2，1，5，5，它们到直线y2的距离分别为2，1，5，5 (3)可以发现这条抛物线上的点到点D的距离等于到直线y2的距离 26解：(1)由已知，得(abc)2(abc)2c21，(abc)2(abc)2，c=1，4(ac)b0，b0，ac0，即ac，又a0，a1，c1，b=1，二次函数的关系式为yx2x1 (2)二次函数yx2x1的顶点C的坐标是，当动点P从A点出发沿折线ACB运动到顶点C时，ABP的面积最大，AB|x2x1|，ABP面积的最大值是. 27(1)解法1：由已知得A(4，2)，B(6，3)，|AB|5解法2：分别过A，B两点作AEx轴，BFy轴，垂足分别为E，F，ABOAOB5， (2)解：设扇形的半径为x，则弧长为52x，扇形的面积为y，则yx(52x)=x2x=a=10，当x=时，函数有最大值，y最大值=. (3)CD垂直平分AB，点M为垂足，M点坐标为，OM=直线AB的斜率k，设CD所在直线的解析式为y2xb，将M点坐标代入，得2b，b，y2x令y0，得x，C(,0)同理可求得D(0，)，OC，OD=，=，=附：2011中考真题精选一、选择题1. （2011内蒙古呼和浩特，8，3）已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、，y1、y2、y3的大小关系是（）A、y1y2y3 B、y2y1y3 C、y3y1y2 D、y1y3y2考点：二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系解答：解：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，二次函数解析式为y=x2+2x-3，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，y1y2y3故选A点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小2. （2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A、2B、2C、15D、15考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。分析：根据图象上点的性质，将（2，4）代入得出4a+2b=7，即可得出答案解答：解：y=ax2+bx3过点（2，4），4=4a+2b3，4a+2b=7，8a+4b+1=27+1=15，故选：C点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，根据题意得出4a+2b=7是解决问题的关键二、解答题1. （2011泰州，27，12分）已知二次函数y=x2+bx3的图象经过点P（2，5）（1）求b的值并写出当1x3时y的取值范围；（2）设P1（m