第4章 恒定电场和恒定磁场

.,麦克斯韦方程组,时变场,静态场,恒定磁场,宏观电磁理论的核心：,静电场,恒定电场,.,.,第四章恒定电场和恒定磁场,基本方程边界条件恒定电场与静电场的静电比拟法-计算电导（电阻）恒定磁场的矢量磁位电感及其计算,.,4.1恒定电场,本节内容恒定电场的基本方程恒定电场的边界条件静电比拟法,.,一、恒定电场的基本方程,恒定电场：恒定分布电荷产生的电场。,恒定电场的基本方程：,微分形式：,积分形式：,恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度；,线性各向同性导电媒质的本构关系,.,恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。,恒定电场与静电场的重要区别：,（1）恒定电场可以存在于导体内部；（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。,.,二、恒定电场的电位及其方程,恒定电场的电位函数,由,若媒质是均匀的，则,.,三、恒定电场的边界条件,场矢量的边界条件,即,即,场矢量的折射关系,.,导电媒质分界面上的电荷面密度,电位的边界条件,.,恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面；,说明：,.,推论1,电流由良导体进入不良导体时,在不良导体里的电流线近似与良导体表面垂直，即良导体表面可以近似地看作等位面.,如两种导电媒质的电导率21：即，一种导电媒质为不良导体(10,但很小),另一种导电媒质为良导体(2很大),且290则10，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面；,.,例如:,同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成,而填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质,总有很小的漏电导存在。例如,聚乙烯的电导率为10-10数量级,则,.,可见,只要12,分界面上必定有一层自由电荷密度。,推论2:当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布s。如:两种金属媒质的分界面上,根据D1n-D2n=s,则得,(通常认为金属的介电常数为0),.,推论3.若媒质1为理想介质,媒质2为导体，即10，则J1=0，故J2n=0且E2n=0，即导体中的电流和电场与分界面平行。,.,由上式可知E1不垂直导体表面,那么导体表面不是等位面,导体也不是等位体,这是由于2有限,导体中沿电流方向存在电场。而在静电场中,导体内电场强度为零,介质中的场强总是垂直导体表面,导体是等位体,其表面是等位面。这一点,恒定电场与静电场有根本的区别。然而2越大,E2t和E1t越小,1也越小,直至2=时,E1就垂直导体表面,导体表面为等位面。,.,例1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。,解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z方向。,.,例2填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2、电导率为1和2。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。,外导体,内导体,介质2,介质1,.,（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由可得电流密度,介质中的电场,解电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度的表达式，然后求出和，再由确定出电流I。,.,故两种介质中的电流密度和电场强度分别为,由于,于是得到,.,（2）由可得，介质1内表面的电荷面密度为,介质2外表面的电荷面密度为,两种介质分界面上的电荷面密度为,.,四、静电比拟法,比拟法:用一种物理场的解来类比与其有相同数学描述的另一种物理场的解的方法.,.,恒定电场与静电场的比较,基本方程,静电场（区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,.,1.两个场的相同数学表达式中的场量之间有一一对应的关系;,2.两种场的电位函数定义相同,都满足拉普拉斯方程,若处于相同的边界条件下，根据唯一性定理,电位函数必有相同的解.所以两种场的等位面及电场强度分布相同,J和D矢量线的分布也相同;,恒定电场与静电场是可比拟的,结论,.,静电比拟法:在一定条件下，可以将静电场或恒定电场的计算和实验所的结果,推广应用于另一种场.,.,漏电导,工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。,漏电流与电压之比为漏电导，即,其倒数称为绝缘电阻，即,.,两导体电极间的电容:,两导体电极间的电导:,用静电比拟法求电导,两导体电极间的电阻:,.,例如,只要两电极之间的导电媒质与作为电极的金属材料相比较为不良导电媒质(如土壤等),则当两电极之间的电容为已知时,根据静电比拟法,内外电极半径为a和b的球形电容器,当其极间介质为时:,当其极间的媒质为不良导电媒质时:,.,(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度矢量J；由J=E得到E;由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布；(3)由得到E;(4)由J=E得到J;(5)由，求出两导体间电流；(6)求比值，即得出所求电导。,计算电导的方法三：,静电比拟法：,.,例3求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l，其间媒质的电导率为、介电常数为。,解：解法1:直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,设由内导体流向外导体的电流为I。,.,解法2:,用公式,式中dl为沿电流方向的长度元,如图所示,S是垂直于电流方向的面积,它可能是坐标变量的函数,所以,.,解法3:静电比拟法,则单位长度绝缘电阻是,电导,电容,.,方程通解为,例4在一块厚度为h的导电板上，由两个半径为r1和r2的圆弧和夹角为0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。,解：设在沿方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿方向流动，而且电流密度是随变化的。但容易判定电位只是变量的函数，因此电位函数满足一维拉普拉斯方程,代入边界条件,可以得到,.,电流密度,两电极之间的电流,故沿方向的两电极之间的电阻为,所以,.,恒定电场的计算,1.直接法:假设电流利用基本方程结合边界条件求场分布电导或电阻2.间接法:求解电位的边值问题，求场分布：电场强度及电流密度矢量电导或电阻,.,接地电阻,接地:将电气设备的某一部分和大地连接.保护接地:为了保护工作人员的安全,并使设备可靠地工作而接地;工作接地:利用大地作为传输导线,或者消除设备的导电部分对地电压的升高而接地.接地体:埋在地里的导体或导体系统.接地电阻:电流由设备经接地体流向大地和电流流经大地时遇到的电阻.,.,例5试计算如图所示的深埋在地下的铜球的接地电阻,设铜球的半径为a。,.,解:,大地中任一点的电流密度为,电场强度为,铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处),所以接地电阻是,式中是土壤的电导率。,.,4.2恒定磁场的基本方程和边界条件,基本方程,微分形式:,本构关系：,积分形式:,.,2.边界条件,或,若分界面上不存在面电流，即JS0，则,或,.,磁场经过媒质分界面时要突变,包含方向的改变,式中1、2分别为磁场强度与交界面法线方向的夹角,时界面两侧场量方向与媒质磁导率的关系,当时,.,4.3恒定磁场的矢量磁位,矢量磁位的定义,磁矢位的任意性与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即,由,即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。,磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。,.,2、矢量磁位的微分方程,在无源区：,.,3、矢量磁位的表达式,（可以证明满足）,由此可得出,.,对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为,利用磁矢位计算磁通量：,细线电流：,面电流：,.,4、矢量磁位的边界条件,.,解：先求长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元到点的距离。则,例6求无限长线电流I的磁矢位，设电流沿+z方向流动。,与计算无限长线电荷的电位一样，令可得到无限长线电流的磁矢位,.,4.4电感Inductance,一、磁通与磁链,单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量,多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和,粗导线构成的回路，磁链分为两部分：一部分是粗导线包围的、磁力线不穿过导体的外磁通量o；另一部分是磁力线穿过导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量i。,.,二、电感与回路交链的磁通总量(磁链)和与产生该磁链的电流之比值.,*电感取决于导线回路的形状、大小、材料及周围媒质的磁导率等。,.,自感（记为L）:若回路交链的磁链为本身回路上的电流所产生;总是正值;互感（记为M）:若回路交链的磁链是别的回路上的电流所产生;有可能为负值;互感是互易的;,电感,自感,互感,.,三、自感,设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路C交链的磁链为，则磁链与回路C中的电流I有正比关系，其比值,称为回路C的自感系数，简称自感。,外自感,内自感；,粗导体回路的自感：L=Li+Lo,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。,自感的特点：,.,*多匝回路的电感,N匝密绕线圈,通过多匝导体回路所围面积的磁通量，即磁链为,若N匝密绕，各匝交链的磁通量相同，则磁链为,该密绕线圈的全磁通(磁链)为,.,内自感与外自感,如图所示,同轴线的横截面，内导体通过直流I，它与外导体（流过反向直流I）构成导体回路。,即,通过ab区域的磁通为外磁链,它与内导体中的全部电流交链。,在该区域:,故轴向长度为l时外磁链为,对应的外自感:,*外自感,导体外部的磁链称为外磁链，用表示,由它计算的自感称为外自感,.,*内自感,通过导体内部的磁链称为内磁链，用表示;由内磁链算出的自感称为内自感。,即,通过a区域的磁通为内磁链,它只与内导体中的部分电流交链。,在a处通过轴向长度l、宽d的矩形面元的元磁通为,与该元磁通交链的电流不是I，而是它的一部分,.,相当于,所交链的匝数N小于1，即,元磁链为,长为l的导体内磁链为,故长l的圆柱导体内自感为,由上，长l的同轴线自感为,.,例7,解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理,穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为,求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。,得,与di交链的电流为,则与di相应的磁链为,.,因此内导体中总的内磁链为,故单位长度的内自感为,再求内、外导体间的外自感。,则,故单位长度的外自感为,单位长度的总自感为,.,例8设同轴线内导体半径为a(m),外导体内半径为b(m),外半径为c(m)。同轴线所用材料磁导率均为0(H/m)。试计算同轴线单位长度的总自感。,计算同轴线总自感,.,解,所以外自感是,计算外导体的内自感,应首先计算外导体中的磁通密度B,及穿过其单位长度纵截面的磁通量,由安培环路定律得,.,所以,式中N为交链匝数,穿过外导体纵截面单位长度磁通量是,.,同轴线单位长度总自感是,.,例9,计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且Da。导线及周围媒质的磁导率为0。,穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为,解设两导线流过的电流为I。由于Da，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的磁感应强度为,.,于是得到平行双线传输线单位长度的外自感,两根导线单位长度的内自感为,故得到平行双线传输线单位长度的自感为,.,四、互感,对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2，当回路C1中通过电流I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链12也与I1成正比，其比例系数,称为回路C1对回路C2的互感系数，简称互感。,同理，回路C2对回路C1的互感为,.,互感的特点：,互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关。,满足互易关系，即M12=M21,当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感系数M为正值；反之，则互感系数M为负值。,.,五、纽曼公式,如图所示的两个回路C1和回路C2，回路C1中的电流I1在回路C2上的任一点产生的矢量磁位,回路C1中的电流I1产生的磁场与回路C2交链的磁链为,同理,故得,.,例10设一根无限长细直导线与一个直角三角形的导线框在同一平面内,一边相互平行,如图所示。试计算直导线与三角形导线间的互感。,.,解假设细长直导线中通有电流I,计算穿过三角形导线框中的磁通,由安培环路定律可得,则穿过三角形框的磁通是,式中,.,故细直导线与三角形导线间的互感是,.,例11,于是有,解利用纽曼公式来计算，则有,式中=21为与之间的夹角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且,如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和C2，