第二章条件概率与独立性

.,第二章条件概率与独立性2.1条件概率、乘法定理2.2全概率公式2.3贝叶斯公式2.4事件的独立性2.5重复独立事件、二项概率公式,.,一、条件概率乘法定理,.,一.条件概率乘法公式,1.条件概率的概念,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地P(A|B)P(A),.,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A)=1/6，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)=1/3.,.,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记,A=取到一等品，,B=取到正品,P(A|B),.,A=取到一等品，,B=取到正品,P(A)=3/10，,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,.,2.条件概率的定义,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1),为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).,.,?,“条件概率”是“概率”吗？,条件概率符合概率定义中的三个条件,对概率所证明的一些结果都适用于条件概率,.,例1在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品。现从其中任取一件为合格品，求它是一等品的概率。,解设A表示“任取一件为合格品”，B表示“任取一件为一等品”，,注意，则所求概率为,.,例2盒中有5个黑球3个白球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个。若已知第一次取到的是白球，求第二次取出的是黑球的概率。,解设A表示“第一次取球取出的是白球”，B表示“第二次取球取出的是黑球”，所求概率为,由于第一次取球取出的是白球，所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球，由古典概型的概率计算方法得,.,例3有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类,4只属甲类,两只属乙类。不放回地抽取三极管两次,每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类条件下,第二次又抽到甲类三极管的概率。解:记Ai=第i次抽到的是甲类三极管,i=1,2,A1A2=两次抽到的都是甲类三极管,再由P(A1)=4/6=2/3，得,2.条件概率的说明,条件概率P(A|B)也是概率-原来的事件B变成了样本空间（样本空间缩减了）,其中事件AB的概率；几何上看，AB的面积在B面积中所占的比例；古典概型中，设B有个样本点，AB有个，,.,3.乘积公式,设A、BU，P（A）0,则(1)P(AB)P(A)P(B|A)称为事件A、B的概率乘法公式。,(2)上式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)(3)一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1),.,例4在10个产品中，有2件次品，不放回的抽取2次产品，每次取一个，求取到两件产品都是次品的概率。,解设A表示“第一次取产品取到次品”，B表示“第二次取产品取到次品”，则,故,.,.,.,例6一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,.,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,则表示“第i个人未抽到入场券”,显然，P(A1)=1/5，P()4/5,也就是说，,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,.,由于,由乘法公式,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.,.,课堂练习,1、1/22、1/3,.,二、全概率公式,.,二.全概率公式,.,设B1,Bn是U的一个划分，且P(Bi)0，(i1，n)，则对任何事件AU有,上式就称为全概率公式。,.,全概率公式的解释,.,.,它的理论和实用意义在于:在较复杂情况下，直接计算P(A)不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的Bi,使A伴随着某个Bi的出现而出现，且每个P(ABi)容易计算。可用所有P(ABi)之和计算P(A).,.,例1：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,B,.,例2有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,.,例1.4.5：一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%,25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%,2%和1%。求该批螺钉中的次品率。解：设A=螺钉是次品,B1=螺钉由I号机器生产,B2=螺钉由II号机器生产,B3=螺钉由III号机器生产。则,.,三、贝叶斯公式,.,三、贝叶斯公式,则B发生条件下发生的条件概率,由乘法公式和全概率公式可得,该公式称为贝叶斯(Bayes)公式,B是任意一个事件,.,通常认为是导致试验结果B的原因，称为先验概率，若实验产生了结果B,探究它发生的原因，称条件概率为后验概率，它反映了试验之后各种原因发生的可能性大小。,例1针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应。设人群中有1%的人患这种病。若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？,解设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则,.,由全概率公式得,再由贝叶斯公式得,.,例4，已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者。现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？,解：设C为色盲患者，A为男性，B为女性,.,四、事件的独立性,.,四、事件的独立性1.两事件独立,定义:设A、B是两事件，P(A)0,若P(B)P(B|A)则称事件A与B相互独立。表明事件A的发生不影响B的发生。等价于：P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)P(B),.,例1：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A=抽到K,B=抽到黑色的牌。问事件A,B是否独立？,解：由于P(A)=4/52=1/13,P(B)=26/52=1/2，P(AB)=2/52=1/26故,P(AB)=P(A)P(B).这说明事件A,B独立。,.,思考：互斥和独立之间的联系：若A、B互斥，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立。P(AB)=0，P(A)0,P(B)0,P(AB)P(A)P(B)其逆否命题是：若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A与B一定不互斥。,请问：能否在样本空间中找到两个事件，它们既相互独立又互斥?,所以，与独立且互斥。不难发现:(或)与任何事件都独立。,可以,.,定理:以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,证明:仅证A与B独立。P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB)=P(A)P(A)P(B)=P(A)1P(B)=P(A)P(B),概率的性质,A与B独立,.,2多个事件相互独立定义:设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2ikn，具有等式P(Ai1Ai2Aik)P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)则称n个事件A1，A2，An相互独立。,对于三个事件A,B,C，若P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)个等式同时成立，称事件A,B,C相互独立。n个事件相互独立要满足等式的个数为,.,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2ikn，具有等式P(Ai1Ai2Aik)P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)，则称n个事件A1，A2，An相互独立。,此时,加法公式可以简化为:,.,3、独立性的概念在计算概率中的应用,对独立事件，许多概率计算可得到简化,.,.,例2三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解将三人编号为1，2，3，,记Ai=第i个人破译出密码i=1,2,3,所求为,已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,.,=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),1,2,3,.,例3验收100件产品方案如下，从中任取3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99，并知这100件产品恰有4件次品。求该批产品能被接收的概率。,解:设A=该批产品被接收=测试出3件正品，Bi=取出3件产品中恰有i件是次品，i=0,1,2,3。则,.,因三次测试相互独立，故P(A|B0)=0.993，P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。由全概率公式,得,.,例4若干人独立地向一移动目标射击,每人击中目标的概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的概率击中目标?解：设至少需要n个人才能以0.99以上的概率击中目标。令A=目标被击中,Ai=第i人击中目标,i=1,2,n。则A1,A2,An相互独立。故，也相互独立。,.,因A=A1A2An，得P(A)=P(A1A2An),问题化成了求最小的n,使1-0.4n0.99。解不等式，得,.,五、重复独立事件及二项概率公式,.,五.贝努利概型,.,我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)。,每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p。,称作n重贝努利试验，简称贝努利概型。,.,定理3.5(二项概率公式)设事件A在一次试验中发生的概率为p，则在n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率为,.,例1一射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.8，求(1)恰好命中两次的概率；(2)至少命中一次的概率。,解因为每次射击是相互独立的，故此问题可看作4重贝努利实验，,.,(1)设事件表示“4次射击恰好命中两次”，则所求概率为,(2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次”，又表示“4次射击中都未命中”，则,故所求概率为,.,例2一车间有5台同类型且独立工作的机器，假设在任一时刻t，每台机器出故障的概率为0.1，问在同一时刻(1)没有机器出故障的概率是多少？(2)至多有一台机器出故障的概率是多少？,解在同一时刻观察5台机器，它们是否出故障是相互独立的，故可看做5重贝努力试验，p=0.1,q=0.9.设表示“没有机器出故障”，表示“有一台机器出故障”，B表示“至多有一台机器出故障”，则,于是有,.,例3某人有一串m把外形相同的钥匙，其中有一把能打开家门，有一天该人酒醉后回家，下意识的每次从m把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第k次才打开的概率多大？,解因为该人每次从m把钥匙中任取一把(试用后不做记号又放回)，所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中恰被选中的概率为，易知这是一个贝努利试验。在第k次才把门打开，意味着前面的次没有打开，于是由独立性既得,.,.,例4已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为0.96，问需要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999？,解设需要发射n枚导弹，各枚导弹是否击中敌机是独立的，可看作n重贝努利试验，p=0.96,q=0.04.,至少有一枚导弹击中敌机的概率为,由题意，要求，即，则,故至少需要发射3枚导弹才能满足要求。,.,定理(泊松