组合与组合数(共47张)ppt课件

.,4.2.2组合与组合数,数学理,.,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙.,3,两个问题有什么联系和区别？,.,问题二,问题一,有顺序,无顺序,.,组合定义:,一般地,从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,排列与组合有什么共同点与不同点？,组合的特征：,（1）每个组合中元素互不相同；,（2）“只取不排”无序性；,（3）组合相同即元素相同；,（4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任意取出m（mn）个元素”，,不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”，,而后者是“不管顺序并成一组”；,若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.,例如ab与ba是不同的排列，但是相同的组合,.,组合数,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,如何计算这个组合数呢？,C是英文Combination的首字母,.,排列,第一步,第二步,=,从a,b,c,d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：,.,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有种不同的取法;,Cnm,可看作以下2个步骤得到:,第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的排法.,Anm,.,n,mN*,并且mn.,组合数公式,规定：Cn0,=1,.,例1计算：（1）,.,组合数的两个性质,性质1：,性质2：,.,例1一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:,简单的组合问题,(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?,(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?,(1)没有角色差异,共有,(2)分两步完成这件事,第1步,从17名学员中选出11人上场,第2步,从上场的11人中选1名守门员,.,例2(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?,10个不同元素中取2个元素的组合数.,10个不同元素中取2个元素的排列数.,(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?,.,例3(1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本，则有多少种不同的借法？(2)有13本不同的书，其中小说6本，散文4本，诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗歌，问有几种借法？,(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本,（本）,(2)解：分三个步骤完成，共有,（种）,.,练习在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件,(1)有多少种不同的抽法?,100个不同元素中取3个元素的组合数,(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?,从2件次品中抽出1件次品的抽法有,从98件合格品中抽出2件的抽法有,.,练习在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件,(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?,法1,含1件次品或含2件次品,法2,100件中抽3件减98件合格品中抽3件,.,主要学习了组合、组合数的概念。,利用组合和排列的关系得到了组合数公式。,n个不同元素,m个元素,m个元素的全排列,第一步,组合,第二步,排列,课堂小结：,.,1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：,含有附加条件的组合问题：,例1一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，,从口袋内取出3个球，共有多少种取法？,从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?,从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？,或,.,按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；,例2,.,（1）,（2）,（3）,（4）,，或,（5）,（6）,例3在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？,(2)全是正品；,(1)无任何限制条件；,(3)只有2件正品；,(4)至少有1件次品；,(5)至多有2件次品；,(6)次品最多.,.,例4平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？,2某些特殊元素有特殊归类问题：,解法一：（直接法）设五个点所在直线为l，分为两类：,(1)过l上的三个红点：可与l外的三个蓝点各连一条直线,有,条，又与l上的两个蓝点只连一条直线，,(2)过l外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有,条,.,例4平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？,解法二：（间接法）不考虑五点共线，有,其中共线的五个点可连,条，,条,而这,条只能是一条,共可连,（条）,说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，即题中共线的五个点，只能作一条直线,.,例3由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？,3组合中的有重复问题：,解：选两个数相加有,选三个数相加有,选四个数相加有,但1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4,（个）,.,例4以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？,解法一：,上三下一,下三上一,上二下二,其中共面的有个侧面和6个对角面，,共有,解法二：从正方体的8个顶点中任选4个有,种，,其中共面的有6个面和6个对角面，,共有,（种）,.,5“名额分配”问题：,例1有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所学校,每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？,解：先将10个名额中的7个名额分给7个学校每校一个，,则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法.,第一类:选三个学校,每个学校一个名额,分配方法数,第二类:选两个学校,决定哪个学校分别给一个或两个名额，分配方法种数为,第三类:选一个学校,三个名额都给该校,分配方法种数为,所以不同的名额分配方法种数为,.,则“挡板”的一种插法恰好对应10个名额的一种分配方法,解法二：注意到10个名额之间是没有差别的，,设想将10个名额排成一排，,每两个“相邻”的名额间形成一个空隙，如下图示：,设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10个名额分割成七个部分，,将第一、二、三、七个部分所包含的名额数分给第一、二、三、七所学校，,反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，,即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，为,.,实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法,本题的解法二所用的方法一般称为“挡板法”，,用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系，,而且每个位置至少应分配一个元素,与解法一相比，挡板法比较简捷，,但不如解法一易于理解,.,解：在五个1之间添加两个加号，添加的方法种数就等于方程解的个数故有,每一个均加1，然后再均减1则可以将原来的问题理解为：求,有多少组正整数解？,有多少组非负整数解？,解：此问题则可以解释为：先将,的正整数解个数，同（1），则,.,例七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种,1注意区别“恰好”与“至少”,例从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种,2特殊元素（或位置）优先安排,例将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种,3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”,方法回顾,.,5“分组”问题：,（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？,例1有6本不同的书,（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？,（2）分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？,（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？,（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,有多少不同的分配方法？,（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？,.,例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,4混合问题，先“组”后“排”,（1）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?（2）今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?（3）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?,5分清排列、组合、等分的算法区别,.,例1从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,6、分类组合,隔板处理,例2.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？,可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解,解法一：共分三类：,第一类，一个班出4人，6个班各出1人，有C71种；,第二类，有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人,有A72种；,第三类，有3个班各出2人，其余4个班各出1人，,共有种,有C73种，,C71+A72+C73=84,.,注意：本题易把10个名额看成10个不同的元素，从而得出错误的结果,解法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空（两端不计）；,例1从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,C96,从这9个空位里任选6个（即这6个位置放入隔板，将其分为七部分），有种放法，,如|表示什么意义？,它表示表示第1个班1人，第2个班2人，第3个班1人，第4个班1人，第5个班3人，第6、7个班各1人,.,排列与组合的综合问题,解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：,解题思路：,1特殊(元素,位置)优先法:,2科学分类法：,3插空法：,4捆绑法：,5“分组”问题：,6隔板处理,.,(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表,1特殊(元素,位置)优先法:,对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法.,例1:有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：,(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表,(2)某女生一定要担任语文科代表,(1)有女生但人数必须少于男生,5400种,=360种,.,前4次中应有1件正品、3件次品，有种，,例2对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?,解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，,从4件中确定最后一件次品有种方法，,前4次测试中的顺序有种，,576。,.,对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生,例1从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？,2科学分类法：,解法一：问题分成三类：,（1）甲乙二人均不参加，有种；,（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有,（3）甲、乙二人均参加，有,共有252种,.,例1从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？,解法二：六人中取四人参加的种数为,减去甲跑第一棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数,252种,对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种。,.,例2由数字1，2，3，4，5可以组成无重复的5位数，从小到大排队；,1）43251是第几个数；,2）第96个数是多少？,43512,43521,45123,45132,45213,45231,45312,45321,.,3插空法：,解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决,例1有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是：,前后各一个，有8122192种方法,解：,前排左、右各一人：共有44232种方法,两人都在前排左边的四个位置：,两人都在前排：,此种情况共有426种方法,两边都是4个位置,所以坐在第一排总共有6612种方法,两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右,有1923212110346种,.,例1有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是：,解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，,并且这两人左右不相邻，,4号座位与5号座位不算相邻，9号座位与10号座位不算相邻，,共有种,.,例210双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果：,(1)4只鞋子没有成双；,(2)4只鞋子恰好成双；,(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双。,.,4捆绑法：,相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排列.,例1在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种?,（3）若A、B之间隔8垄，有A22种方法.,解:A,B两种作物的间隔至少6垄,至多8垄,分