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文档简介
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题评阅要点说明本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。这个题目的初稿是某高校一位同学提供的,反映了他们学校一次体能测试的实际情况,题目加工时除对各班学生人数做了一些改动外其他数据均保持原状。若将该题目抽象为一般的数学模型,会涉及装箱问题及工件在机器上加工的排序问题等,超出了学生掌握的知识,我们只要求学生针对这个具体问题进行分析和求解(一般是可行的近似解或启发式解),大致有以下几部分内容。一问题分析、假设与建模1. 五个测试项目(体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验)分别记作i=1,2,3,4,5,各项目仪器一次可测试的学生数量为ni=3,1,1,2,10,各项目仪器一次测试的平均时间为ti=10,20,20,15,210(秒)。2. 同一班学生的学号相连,按学号顺序测试每人可节省5秒录入时间,故设一个班集体测试。已知第j班(附表中班号)学生人数为xj,j=1,2,56,可计算j班i项的测试时间tij=xj/ni+ ti+5(秒,+为向上取整,5为一个班测试开始的录入时间)。5项测试在容量为150人的小型场所进行,设每个班进入场所后全部测试完毕方退出,且忽略测试项目间的转换时间。3. 根据学校安排的测试时间(8:0012:10与13:3016:45),设测试时段的长度(秒)为 Tk=15000 (k为奇数), 11700 (k为偶数),k=1,2,。4. 问题归结为:将tij (i=1,2,3,4,5,j=1,2,56) 排入T1, T2, , TK,使K最少,且全体学生的等待时间尽量少。约束条件:同一j、不同i的tij不得在相同时刻安排;同一i在相同时刻不得安排两个及两个以上的tij;同一j、所有i的tij需安排在同一时段Tk内;任何时刻在测试场所的总人数不超过150。注:j班学生的等待时间cj可定义为该班退出与进入测试场所的时刻之差(包括该班的测试时间,这个时间是常数),全体学生的等待时间为xjcj对j求和。l 要求论文中含有(最好指出)一.4中的内容,但不一定给严格的数学表达式。二算法不要求最优解法,只需给出较好的启发式算法。一个参考算法的步骤如下:1. 计算一个学生各项测试的平均时间ti/ ni=3.3, 20, 20, 7.5, 21,按其大小排列为i=5,3,2,4,1,i按此顺序安排;按各班人数从多到少排序,重编班号为j=1,2,56, 放入集合R,j按此顺序安排,每班设进入和退出测试场所时刻tin和tout。2. 安排时段Tk(初始k=1),用数组S记录已安排班级各项测试的开始及结束时刻,设当前时刻t(初始为0),当前测试场所剩余容量c(初始为150),j为R中的最小编号(初始为1)。3. 在R中按照 j的顺序寻找容量c的班,若有,取出最小的j和xj,tij, 在一.4给出的约束下以t为tin,按照i的顺序尽量向前安排tij,以全部测试结束时刻为tout,检查是否toutTk,转4;若没有,找到尚在测试场所中最早退出班的tout作为新的t,用150减去此时在测试场所中班级人数和作为新的c , j取R中的最小编号,转3。4. 若toutTk, 将j班各项测试的开始及结束时刻记入S,c减去xj作为新的c ,R中去掉j,令R中大于j的最小编号为新的j,转3;若toutTk, 检查j是否在R中编号最大,若是,安排时段Tk+1,转2;若不是,令R中大于j的最小编号为新的j,转3。5. 按2,3,4执行直至R为空,结束。三结果应用上述算法4个时段可将全部测试安排完毕,每个时段全部项目结束后的剩余时间约为760秒(即使将一.2 tij的计算再加5秒也可以排下);全体学生的等待时间约为7106秒(包括测试时间),平均每个学生的等待时间约1小时。要求用清晰、直观的图表形式给出(注意要便于使用):1)为学校工作人员使用,提供按照时段和测试项目划分的各班测试的开始和结束时刻,除表格数据外,下面的图(称甘特图)是一种直观的表达形式。2)为学生使用,提供各班各项测试的开始和结束时刻,特别是进入及退出测试场所的时刻。四对学校的建议属于进一步的发挥,如:引进测量仪器的数量使一个学生各项测试的时间尽量均衡;测试场所的人员容量加大对计划的影响(如计算取消容量限制可增加多少学生测试);一个班集体测试会导致某些仪器(如台阶试验)能力的浪
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