利息理论(第二版)-(第2章).ppt

第2章等额年金（LevelAnnuity）,内容提要：年金是指按相等的时间间隔支付的一系列款项。在相同的时间间隔上支付相同金额的款项叫等额年金；在相同的时间间隔上支付等额款项，但在不同的计息期利率不同或者虽然利率相同但计息频率与付款频率不同的年金称为一般等额年金；在相同的时间间隔上支付不同金额的款项叫变额年金。本章主要讨论各种等额年金的现值与终值的计算方法，以及等额年金的现值与终值之间的关系。关键词：年金；标准年金；等（定）额年金；期初付年金；期末付年金；延期年金；永续年金；可变利率年金；利息结转周期（频率）；支付周期（频率）；连续年金。本章着重解决以下若干问题：标准年金的现值与终值计算以及两者之间的关系；标准年金在任意时刻的值；可变利率年金的现值与终值计算；付款频率与计息频率不同的年金的终值与现值计算；连续年金的终值与现值计算。,1,第2章等额年金（LevelAnnuity）,教学要求：本章主要介绍有关等额年金的一些内容。通过本章的学习，要求理解年金的含义，熟悉年金的分类，掌握有关基本年金（标准年金）的计算。要求重点掌握年金的现值和终值的计算及其相互关系、期初付年金与期末付年金的相互关系，熟悉每个利息结转周期内支付m次的年金。对有关年金的利率问题和时间问题的求解要求一般程度的了解，对连续年金有一定程度的理解。教学内容：2.1年金的含义2.2年金的现值2.3年金的终值2.4年金现值与终值的关系2.5年金在任意时点上的值2.6可变利率年金的现值和终值2.7每年支付m次的年金2.8连续支付的等额年金2.9价值方程,2,2.1年金的含义,2.1.1年金的基本概念经济生活中有一大类的支付款项，如：零存整取、住房的按揭还款、购物的分期付款、保险中的养老保险金给付、分期交付保费，等等，该类支付款项的共同特点是支付的时间间隔相等。利息理论中把支付时间间隔相等的一系列款项称为年金（annuity）。年金任意时刻的价值，与支付时点（期初，期末）、计息期的实际利率（有效利率）、支付期与计息期的关系、支付金额有关。年金是金融保险业务中十分常见的支付款项。2.1.2年金的含义及其延伸年金最原始的含义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。年金含义的延伸1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时；2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定；支付期和计息期可以相同也可以不同。,3,2.1年金的含义,2.1.3年金的分类1按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(Contingentannuity)。2按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金（Period-certainannuity)和永续年金（Perpetuity）。3按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金(每年(季、月、)支付一次)和连续年金。4按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金）。5按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年金和延期年金。6按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年金(Levelannuity)和变额年金(Variableannuity)。,4,2.2年金的现值,2.2.1期末付定期年金（annuity-immediate）的现值单位货币期末付n年定期年金的现值(2-1)每期末支付k元的n年定期年金的现值的性质：当n时,；当i时,；。计算公式的变形及其意义(2-2),5,6,2.2年金的现值,2.2.2期初付定期年金（annuity-due）的现值单位货币期初付n年定期年金的现值(2-3)每期初支付k元的n年定期年金的现值的性质：当n时,；当i时,；。计算公式的变形及其意义与的关系：1)(2-4)2)(2-5),7,2.2年金的现值,【例22】某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该是多少？【解】设每年初的租金为A，则根据题意，可以建立下述方程：因此每年初的租金为即,8,2.2年金的现值,【例22】思考题：在仓库租赁市场上，实际的年租金一定是7596元吗？如果实际的年租金不是7596元,会出现什么情况？此时仓库租赁市场处于非均衡状态。,9,2.2年金的现值,当资产出现两种价值不等同的定价时，市场就处于非均衡状态，价格偏离了由供需关系所决定的价值，此时就出现了套利机会。无风险套利机会的出现，说明市场处于非均衡状态。每一位市场参与者都会抓住机会尽可能大地构筑套利头寸，去套取无风险利润。套利力量将会推动市场重建均衡。一旦恢复市场均衡，套利机会就消失了，在市场均衡时没有套利机会。这就是无套利均衡分析。现代金融学研究的基本方法是无套利均衡分析方法。这一方法最早体现在公司金融理论中的MM定理(研究企业资本结构和企业价值之间的关系)。它标志着现代金融学在方法论上从传统经济学的研究中独立出来。它已成为金融工程中进行金融产品设计、开发和实施的基本分析技术。,10,2.2年金的现值,【例22】思考题：如果每年初支付租金7000元可以租下这间仓库，试设计无风险套利方案。【解】A7000元7596元，则套利方案：1）签订租赁合同1，每年初支付7000元租金租下这间仓库，租期8年；2）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方一次性支付50000元租金；（？）3）用50000元进行投资或贷放款，在年实际利率6之下，8年内每年初连本带息可获取7596元，每年可获利75967000596（元）5000075967596759601234567870007000700050000,11,2.2年金的现值,【例22】思考题：如果每年初支付租金8000元才能租下这间仓库，试设计无风险套利方案。【解】A8000元7596元，则套利方案：1）向银行借款50000元，期限8年，在年实际利率6之下，每年初分期还款7596元；2）签订租赁合同1，一次性支付50000元租金租下这间仓库，租期8年；3）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方每年初支付8000元租金，其中7596元还银行，每年可获利80007596404（元）。5000080008000800001234567875967596759650000,12,2.2年金的现值,2.2.3期末付永续年金的现值永续年金（perpetuity）及其现值的概念永续年金是指可以无限期地支付下去的年金（付款次数是无穷大，付款期限是无穷长）。永续年金的现值等于定期年金的现值当支付期限n时的极限。单位货币期末付永续年金的现值(2-6)每期末支付k元的永续年金的现值,13,2.2年金的现值,2.2.4期初付永续年金的现值单位货币期初付永续年金的现值(2-7)每期初支付k元的永续年金的现值与的关系：(2-8),14,2.3年金的终值,2.3.1期末付定期年金的终值单位货币期末付n年定期年金的终值每期末支付k元的n年定期年金的终值的性质：当n时,；当i时,；。计算公式的变形及其意义(2-9),15,2.3年金的终值,2.3.2期初付定期年金的终值单位货币期初付n年定期年金的终值每期初支付k元的n年定期年金的终值的性质：当n时,；当i时,；。计算公式的变形及其意义与的关系：1)2)(注)：永续年金不存在终值。,16,【思考题】某人在10年后需要为其子女支付上大学的学费，预计大学4年间每年初支付10000元学费，为此他打算从现在开始每年初往一种基金存入一笔钱。如果该基金的年实际利率为6，那么他每年应该存入多少钱，才能保证可以支付子女的学费？【解】假设每年初需要存入A元，则根据题意可以建立下述方程：因此有1000010000012891011121314AAAAA,17,18,2.4年金现值与终值的关系,2.4.1年金现值与终值之间的换算关系与的关系：(2-11)与的关系：(2-12)2.4.2年金现值与终值之间的倒数关系与之间的倒数关系：(2-13)与之间的倒数关系：(2-14),19,2.5年金在任意时点上的值,2.5.1年金在支付期限开始前任意时点上的值延期年金（deferredannuity）：推迟若干时期后才开始付款的年金。年金在支付期限开始前任意时点上的值，可以看做为一个延期年金的现值。推迟m个时期，且随后有n个时期的定期年金可看作一个mn期定期年金扣除一个m期的定期年金。延期m个时期的期末付n年定期年金的现值(1)(2-15)(2)(2-16)延期m个时期的期初付n年定期年金的现值(1)(2-17)(2),20,21,2.5年金在任意时点上的值,2.5.1年金在支付期限开始前任意时点上的值延期m个时期的期末付永续年金的现值(1)(2)延期m个时期的期初付永续年金的现值(1)(2)（注）：延期年金终值的计算方法与一般年金终值的计算方法相似，其终值的大小与延期期限无关。,22,【例】某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7，确定三个受益者的相对受益比例。【解】10万元每年产生的利息是7000元。A所占的份额是B所占的份额是C所占的份额是注：请用Excel计算上述年金的值。从现值的角度看，A、B、C三个受益者的受益比例近似为49，25和26。注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于,23,2.5年金在任意时点上的值,2.5.2年金在支付期限内任意时点上的值计算原理(1)将原来的年金分解成两个新的年金：一个由该时点之前的付款组成；另一个由该时点之后的付款组成。(2)原来的年金在该时点上的值=第一个年金在该时点上的终值+第二个年金在该时点上的现值。计算模型期末付年金的模型：期初付年金的模型：,24,2.5年金在任意时点上的值,2.5.3年金在支付期限结束后任意时点上的值计算原理(1)计算该年金的终值；(2)按年金支付期限末到该时点的时间长度，计算此年金终值的复利累积值。计算模型期末付年金的模型：期初付年金的模型：,25,2.6可变利率年金的现值和终值,本节讨论的主题：利率在各个时期不完全相同的情况下，年金现值和终值的计算问题。2.6.1每笔款项都以其支付时的利率计算的可变利率年金现值和终值问题（固定利率计算利息）单位货币期末付年金的现值单位货币期初付年金的现值单位货币期末付年金的终值单位货币期初付年金的终值,26,2.6可变利率年金的现值和终值,2.6.2每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算的可变利率年金现值和终值问题(浮动利率计算利息)单位货币期末付年金的现值单位货币期初付年金的现值单位货币期末付年金的终值单位货币期初付年金的终值,27,2.7每年支付m次的年金,两个概念利息结转周期：结转一次利息所需间隔的时间长度。年金支付周期：支付一次年金所需间隔的时间长度。一般意义上的年金：年金支付周期未必等于利息结转周期。当支付周期和利息结转周期不同时，有两种情况：（1）每个年金支付周期内结转k次利息（年金支付周期比利息结转周期长,年金支付频率小于利息结转频率）；（2）每个利息结转周期内支付m次年金（年金支付周期比利息结转周期短，年金支付频率大于利息结转频率）。,28,2.7每年支付m次的年金,基本思路：对于每年支付m次的年金，计算其现值和终值可以采取两种方法。方法一：进行利率转换，将年利率转换成月、季度等小时间区间上的实际利率(i(m)ii(k)i(k)/k)，然后应用基本年金的公式计算年金的现值和终值及其他重要变量。方法二：不进行利率转换，直接建立新的计算公式。符号体系：n总的利息结转次数；m每个利息结转周期中的年金支付次数；nm年金的总支付次数；(nmn)i每个利息结转周期的实际利率。,29,【解】利率转换：i(2)=6%，年实际利率i=(1+i(2)/2)2-1，i(12)=12(1+i)1/12-1，月实际利率为i(12)/12=(1+i)1/12-1=(1+i(2)/2)1/6-1=(1+3%)1/6-1=0.49386%；计算每月末的付款金额：设每月末的付款金额为X，则有所以,【例】一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果每年结转两次利息的年名义利率为6%，试计算每月末的付款金额。（应用基本公式）,30,2.7每年支付m次的年金,2.7.1每年支付m次的期末付定期年金每个支付周期末付款1/m元的年金现值每个支付周期末付款1/m元的年金终值(注)：1)实际每次付款1/m元，每个利息结转周期中付款m次，因此每个利息结转周期的付款1元。在应用上述公式时，一定要注意它是以每个利息结转周期的付款为单位计算的。(后面的公式与此类似)2)如果m=1，则i(m)=i,所以,。,31,2.7每年支付m次的年金,2.7.2每年支付m次的期初付定期年金每个支付周期初付款1/m元的年金现值每个支付周期初付款1/m元的年金终值(注)：1)如果m=1，则d(m)=d,所以,。2)期初付定期年金与期末付定期年金的关系：,。,32,2.7每年支付m次的年金,2.7.3每年支付m次的永续年金每个支付周期末付款1/m元的永续年金的现值每个支付周期初付款1/m元的永续年金的现值期初付永续年金现值与期末付永续年金现值的关系：,33,【例2-17】投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领取100元，并无限期地领下去，年实际利率应该为多少？,【解】假设年实际利率为i，则年名义利率为i(12)=12(1+i)1/12-1，月实际利率为i月=i(12)/12。根据题意，有价值等式所以，。,34,35,2.8连续支付的等额年金,连续支付年金（continuouslypayableannuity）：在一个利息结转周期内支付次数趋于无穷时的年金，即连续不断进行支付的年金。2.8.1连续支付年金的现值年金：总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元。该年金的现值:(2-26)注：由于是对连续求和，因此，得到式（2-26）。,36,37,2.8连续支付的等额年金,2.8.2连续支付年金的终值年金：总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元。该年金的终值：连续年金的终值连续年金的终值与现值的关系连续年金的终值与基本年金的终值的关系连续结转利息、连续支付的年金终值,38,等额年金公式小结,39,等额年金公式小结,40,等额年金公式小结,41,2.9价值方程,年金问题的基本变量(1)年金的现值a或终值s；(2)年金的支付次数n；(3)利率i；(4)每期付款额PMT。需要求解的相关问题：(1)年金现值问题或年金累积值问题；(2)投资时期问题(时间问题)；(3)利率问题；(4)每期付款额问题。价值方程：（equationofvalue）是连接年金问题的4类基本变量的重要关系式。是求解以上4类相关问题的基本工具。在价值方程中，要求现金流入的现值=现金流出的