第1章信号与系统的基本概念

.,信号与系统课程的性质，内容及特点：,1.性质:,这是电子类专业一门重要的必修技术基础课程。,2.内容:,包括信号分析与系统分析。,前言,输入信号,（激励）,输出信号,（响应）,.,图1.0-2无线电广播系统的组成,.,前言,信号的表示，运算和变换。系统的模型，描述和响应计算。信号分析为系统分析服务，重点关注系统分析的理论与方法。,3.特点：与电路分析基础课程比较而言,分析观点，方法不同（白箱/黑箱法）。采用众多的数字工具：线性代数、矩阵理论、微积分（差分，迭分）运算、傅里叶级数和变换、拉普拉斯变换、Z变换等。,.,第一章信号与系统,1.1信号的概念一、信号的概念二、信号的分类1.2信号的运算一、相加和相乘二、时间变换1.3阶跃信号与冲激信号一、序列函数定义二、广义函数定义三、冲激函数的性质四、序列和1.4系统及其描述一、系统定义及模型二、系统的输入输出描述三、系统的状态空间描述,1.5系统的性质及分类一、线性非线性系统二、时变时不变系统1.6系统分析的基本思路一、连续系统二、离散系统1.7系统分析概述,.,1.1信号的概念,1.消息（message）人们常常把来自外界的报道统称为消息。,2.信息（information）它是信息论中的一个术语。通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词未加严格区分。,一、消息，信息与信号,3.信号（signal）信号是消息的载体，常表现为某种变化的物理量。例如：,第一章信号与系统的基本概念,.,1.1信号的概念,对于信号我们并不陌生，如刚才铃声声信号，表示该上课了；十字路口红绿灯光信号，指挥交通；电视机天线接收的声音，图像信息电信号；信号按物理属性分为：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程仅讨论电信号简称“信号”。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法：（1）表示为时间的函数（2）信号的图形表示-波形“信号”与“函数”两词常相互通用。,.,1.1信号的概念,二、信号的分类,1.确定信号和随机信号2.连续信号和离散信号3.周期信号和非周期信号4.能量信号和功率信号5.一维信号和多维信号6.因果信号和反因果信号,.,1.确定信号与随机信号任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。,.,图1.1-1噪声和干扰信号,.,2.连续信号与离散信号,一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。这里“连续”一词是指在定义域内(除有限个间断点外)信号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。图1.1-2(a)是正弦信号，其表达式为,式中，A是常数。其自变量t在定义域(-,)内连续变化，信号在值域-A,A上连续取值。为了简便起见，若信号表达式中的定义域为(-,)时，则可省去不写。也就是说，凡没有标明时间区间时，均默认其定义域为(-，)。,.,图1.1-2连续信号,.,图1.1-2(b)是单位阶跃信号，通常记为(t)，其表达式为,图1.1-2(c)表示一个延时的单边指数信号，其表达式为,式中，A是常数，0。信号变量t在定义域(-,)内连续变化，信号f3(t)在值域0，A)上连续取值。注意，f3(t)在t=t0处有间断点。,.,对于间断点处的信号值一般不作定义，这样做不会影响分析结果。如有必要，也可按高等数学规定，定义信号f(t)在间断点t0处的信号值等于其左极限f(t0-)与右极限f(t0+)的算术平均值，即,.,这样，图1.1-2中的信号f2(t)和f3(t)也可表示为,.,仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的，也可以是不连续的。定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列，通常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为信号的第m个样值。序列f(k)的数学表示式可以写成闭式，也可以直接列出序列值或者写成序列值的集合。例如，图1.1-3(a)所示的正弦序列可表示为,.,图1.1-3离散信号,.,随k的变化，序列值在值域-A,A上连续取值。对于图1.1-3(b)所示的序列则可表示为,.,在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为模拟信号(如图1.1-2(a)；把幅值可连续取值的离散信号称为抽样信号(如图1.1-3(a)；而把幅值只能取某些规定数值的离散信号称为数字信号(如图1.1-3(c)。为方便起见，有时将信号f(t)或f(k)的自变量省略，简记为f()，表示信号变量允许取连续变量或者离散变量，即用f()统一表示连续信号和离散信号。,.,3.周期信号与非周期信号一个连续信号f(t)，若对所有t均有f(t)=f(t+mT)m=0,1,2,则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。一个离散信号f(k)，若对所有k均有f(k)=f(k+mN)m=0,1,2,(1.1-7)就称f(k)为离散周期信号或周期序列。满足式(1.1-7)的最小N值称为f(k)的周期。,.,图1.1-4周期信号,.,例1.1-1试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。(1)f1(t)=sin2t+cos3t(2)f2(t)=cos2t+sint解我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公倍数，则它们的和信号f(t)=x(t)+y(t)仍然是一个周期信号，其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。,.,(1)因为sin2t是一个周期信号，其角频率1和周期T1为,(2)同理，可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和sint的周期分别为,.,.,4.能量信号与功率信号若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区间内会消耗一定的能量。把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率P。现在将时间区间无限扩展，定义信号f(t)的能量E和平均功率P为,.,如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值(此时平均功率P=0)，就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如果在无限大时间区间内，信号的平均功率为有限值(此时信号能量E=)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号,离散信号f(k)的能量定义为,.,1.2信号的基本特性,1.2、信号的基本特性,1.确定信号的时间特性反映信号幅值大小，变化速率及整体形态随t变化呈现出来的变化规律。2.确定信号的频率特性包括信号带宽和各正弦分量振幅，相位随频率的分布情况。3.随机信号的统计特性用均值，方差，相关函数和协方差函数等表征信号的统计特性。4.信号的信息特性,.,1.3信号的运算,1.3信号的运算一、相加和相乘,两个信号相加（或相乘），其和（或积）信号等于同一时刻两信号值相加（或相乘）即,相加：y(t)=f1(t)+f2(t)y(k)=f1(k)+f2(k)相乘：y(t)=f1(t)f2(t)y(k)=f1(k)f2(k),.,图1.3-1连续信号的相加和相乘,.,图1.3-2离散信号的相加和相乘,.,1.3信号的运算,1.翻转,将f(t)f(t)，f(k)f(k)称为对信号f()的翻转或反折。从图形上看是将f()以纵坐标为轴翻转180o。如：,二、时间变换,包括翻转，平移和展缩运算。,.,1.3信号的运算,2.平移,将f(t)f(tt0)，f(k)f(tk0)称为对信号f()的平移或移位。若t0(或k0)0，则将f()右移；否则左移。如：,.,1.3信号的运算,平移与翻转相结合,法一：先平移f(t)f(t+2),再反转f(t+2)f(t+2),法二：先反转f(t)f(t),画出f(2t)。,再平移f(t)f(t+2)=f(t2),左移,右移,注意：是对t的变换！,.,1.3信号的基本运算,3.展缩（尺度变换）,将f(t)f(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a1，则波形沿横坐标压缩；若0a1，则展开：,对于离散信号，由于f(ak)仅在ak为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。,.,1.3信号的运算,平移、翻转、尺度变换相结合,已知f(t)，画出f(42t)。,三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t进行。,.,1.3信号的运算,注意：（1）信号的时间变换运算都是对自变量t（或k）进行；（2）组合运用变换可由画出的波形。,.,方法二：翻转、尺度变换、平移相结合,已知f(t)，画出f(42t)。,.,.,.,1.3信号的运算,三、连续信号的导数与积分,导数：,积分：,导数,积分,.,连续时间信号f(t)的积分,产生另一个连续时间信号，其任意时刻t的信号值为f(t)波形在(-,t)区间上所包含的净面积。,.,1.3.4离散信号的差分和迭分,1.差分运算按照连续时间信号的导数定义,就离散信号而言，可用两个相邻序列值的差值代替f(t)，用相应离散时间之差代替t，并称这两个差值之比为离散信号的变化率。根据相邻离散时间选取方式的不同，离散信号变化率有如下两种表示形式：,.,考虑到上面两式中(k+1)-k=k-(k-1)=1，因此，相邻两个序列值的变化率也就是这两个序列值之差，故称该操作为差分运算,.,(1)前向差分：,(2)后向差分：,.,图1.3-11信号的差分,.,如果对差分运算得到的离散信号继续进行差分操作，可以定义高阶差分运算。对于前向差分有,.,同理，对于各阶后向差分可表示为,.,2.迭分运算仿照连续时间信号积分运算的定义,在离散信号中，最小间隔就是一个单位时间，即=1，可定义离散积分的运算为,.,图1.3-12离散信号的迭分,.,1.4阶跃信号与冲激信号,1.4.1连续时间阶跃信号,图1.4-1单位阶跃信号,.,设图1.4-1(a)所示函数,该函数在t时为常数1。在区间(0，)内直线上升，其斜率为1/。,.,随减小，区间(0，)变窄，在此范围内直线上升斜率变大。当0时，函数(t)在t=0处由零立即跃变到1，其斜率为无限大，定义此函数为连续时间单位阶跃信号，简称单位阶跃信号，用(t)表示，即,.,单位阶跃信号时移t0后可表示为,注意：信号(t)在t=0处和(t-t0)在t=t0处都是不连续的。,.,图1.4-2单边信号和区间分段信号,.,图1.4-2(a)和(b)所示的单边信号f1(t)和f2(t)：,.,而图1.4-2(c)所示的区间分段信号f3(t)为,可应用几个不同时移的单位阶跃信号把f3(t)表示为,.,1.4.2连续时间冲激信号,当0时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大，而其面积仍等于1。我们将此信号定义为连续时间单位冲激信号，简称单位冲激信号或函数，用(t)表示，即,.,图1.4-3单位冲激信号,.,函数的另一种定义是：,定义表明函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。,.,(高斯函数序列）,(取样函数序列),(双边指数函数序列),.,1.4阶跃信号与冲激信号,二、广义函数定义,1.广义函数概念普通函数：在定义域中，对每个自变量t，按照一定规则f，指定一个函数值f(t).,一个普通函数，对于定义域中的变量t，都有对应的函数值f(t)；间断点处的导数不存在。与此不同，(t)在t=0处的导数是(t);(t)在唯一不为零的t=0处的函数值为。这类函数不能按常规函数定义理解，称为奇异（或广义）函数。,广义函数：为避开变量点上没有确定函数值的情况，广义函数采用它与另一个函数相互作用（如相乘后积分）后的效果来定义：,.,1.4阶跃信号与冲激信号,可理解为：在试验函数集(t)中，对每一函数(t)，按一定规则Ng，分配一个函数值Ng(t).,注意：(t)是普通函数，满足连续、有任意阶导数。且(t)及各阶导数在|t|时要比|t|的任意次幂更快的趋于零；,2.广义函数运算相等、相加、尺度变换、微分（见教材P19）,.,1.4阶跃信号与冲激信号,3.(t)的广义函数定义,表明(t)是一种具有能从(t)中筛选出t=0时刻值(0)作用效果（称为筛选性质）的函数。,.,3.函数的性质,性质1函数的微分和积分,式中，(0)是(t)的一阶导数在t=0时的值。通常称(t)为单位冲激偶，用图1.4-4所示的图形符号表示。,.,图1.4-4单位冲激偶(t),.,同理，由广义函数的微分运算定义，并考虑到()=0，单位阶跃信号(t)的导数可表示为,.,.,性质2函数与普通函数f(t)相乘若将普通函数f(t)与广义函数(t)的乘积看成是新的广义函数，则按广义函数定义和函数的筛选性质，有,.,根据广义函数相等的定义，得到,.,例1.41试化简下列各信号的表达式。,.,性质3(t)函数与普通函数f(t)相乘,.,根据广义函数相等的定义，有,对上式两边在(-,)区间取积分,同理，将(t)换成(t-t0)，重复上述推导过程,.,性质4尺度变换设常数a0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可将(n)(at)表示为,.,根据广义函数相等的定义，可得到,当n=0和1时，分别有,(1.4-36),.,性质5奇偶性,式(1.4-36)中，若取a=-1，则可得,显然，当n为偶数时，有,当n为奇数时，有,.,例1.42计算下列各式：,.,.,1.4阶跃信号与冲激信号,例1.,.,1.4阶跃信号与冲激信号,例2.,证明：,.,1.4阶跃信号与冲激信号,例3.,.,练习,求下列函数值,本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。,.,方法一：,方法二：,方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过程较繁。另外，对冲激偶信号的性质,往往被错误写成,从而得出错误结论,.,.,1.4阶跃信号与冲激信号,四、阶跃序列与脉冲序列,1.单位阶跃序列,2.单位脉冲序列,.,1.4阶跃信号与冲激信号,筛选性：,迭分：,3.(k)与(k)的关系,.,1.5系统及其描述,1.5系统及其描述一.系统及模型,1.系统的定义若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。按组成事物性质不同，系统可分为物理系统和非物理系统。电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统理论侧重于整体。,2.系统模型（或描述）,.,所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。根据不同需要，系统模型往往具有不同形式。以电系统为例，它可以是由理想元器件互联组成的电路图，由基本运算单元(如加法器、乘法器、积分器等)构成的模拟框图，或者由节点、传输支路组成的信号流图；也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的数学方程。这种数学方程也称为系统的数学模型。,.,如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如图1.5-1所示。如果含有多个输入、输出信号，就称为多输入多输出系统.,图1.5-1单输入单输出系统,.,图1.5-2多输入多输出系统,.,对于一个给定系统，如果在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与其它时刻的输入信号无关，就称之为即时系统或无记忆系统；否则，就称为动态系统或记忆系统。例如，只有电阻元件组成的系统是即时系统，包含有动态元件(如电容、电感、寄存器等)的系统是动态系统。通常，把着眼于建立系统输入输出关系的系统模型称为输入输出模型或输入输出描述，相应的数学模型(描述方程)称为系统的输入输出方程。把着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量之间关系的系统模型称为状态空间模型或状态空间描述，相应的数学模型称为系统的状态空间方程。,.,1.5.2系统的输入输出描述如果系统的输入、输出信号都是连续时间信号，则称之为连续时间系统，简称为连续系统。如果系统的输入、输出信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散系统。由两者混合组成的系统称为混合系统。,.,1.系统的初始观察时刻在系统分析中，将经常用到“初始观察时刻t0”或“初始时刻t0”一词，它包括两个含义。含义之一是以t0时刻为界，可将系统输入信号f(t)区分为f1(t)和f2(t)两部分，即,.,1.5系统及其描述,含义2：从,开始观察系统响应。,2.连续系统输入输出描述,图示RLC电路，初始观察时刻t=0,以uS(t)作激励,uC(t)作为响应，由KVL和VCR列方程，并整理得,(1)解析描述(数学模型)建立微分方程,.,1.5系统及其描述,二阶常系数线性微分方程。,抽去具有的物理含义，微分方程写成,这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。,.,1.5系统及其描述,其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为,能用相同方程描述的系统称相似系统。,.,1.5系统及其描述,(2)框图描述,上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有：,积分器：,加法器：,数乘器：,积分器的抗干扰性比微分器好。,.,1.5系统及其描述,系统模拟：,实际系统方程模拟框图实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计,例1：已知y”(t)+ay(t)+by(t)=f(t)，画框图。,解：将方程写为y”(t)=f(t)ay(t)by(t),.,1.5系统及其描述,例2：已知y”(t)+3y(t)+2y(t)=4f(t)+f(t)，画框图。,解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足x”(t)+3x(t)+2x(t)=f(t)可推导出y(t)=4x(t)+x(t)，它满足原方程。,.,y”(t)+3y(t)+2y(t)=4f(t)+f(t),x”(t)+3x(t)+2x(t)=f(t)y(t)=4x(t)+x(t),.,例3：已知框图，写出系统的微分方程。,1.5系统及其描述,设辅助变量x(t)如图,x(t),x(t),x”(t),x”(t)=f(t)2x(t)3x(t),即x”(t)+2x(t)+3x(t)=f(t),y(t)=4x(t)+3x(t),根据前面，逆过程，得,y”(t)+2y(t)+3y(t)=4f(t)+3f(t),.,1.5系统及其描述,3.离散系统输入输出描述,(1)解析描述建立差分方程,例：某人每月定期在银行存入一定数量的款，月息为元/月，求k个月后存折上的款数。解：设k个月后的款数为y(k),这个月的存入款为f(k),上个月的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)即y(k)-(1+)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。输出序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。,.,1.5系统及其描述,由n阶差分方程描述的系统称为n阶离散系统。描述LTI离散系统的输入输出方程是线性常系数差分方程。,(2)框图描述,基本部件单元有：数乘器，加法器，迟延单元（移位器）,.,1.5系统及其描述,例：已知框图，写出系统的差分方程。,解：设辅助变量x(k)如图,x(k),x(k-1),x(k-2),即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2),x(k)=f(k)2x(k-1)3x(k-2),方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。,.,1.5系统及其描述,三、系统的状态空间描述,系统的状态空间描述除与外部变量f()和y()有关外还涉及内部变量x()状态变量。描述方程由状态方程和输出方程组成。,系统响应：,完全响应零输入响应零状态响应,.,设初始观察时刻t0=0时，系统的响应y(t)是由历史输入和当前输入共同决定的，而0-初始状态x(0-)反映了历史输入对系统的全部作用效果，因此，也可将响应y(t)看成是由当前输入f(t)和0-初始状态x(0-)共同决定的，可以表示为,式中T表示系统对f(t)和x(0-)的传输和变换作用。,.,如果当前输入信号接入时，系统的0-初始状态为零(xi(0-)=0，i=1,2,n)，即系统在0-时刻没有储能(有时称这种系统为松弛系统)，则系统的响应仅由当前输入信号确定。我们定义这时的响应为系统的零状态响应，记为yf(t)。即,反之，如果系统没有接入当前输入信号，输出响应完全由0-初始状态所引起，这时的响应称为系统的零输入响应HT5SS，记为yx(t)。即,.,1.5.4系统的框图表示,表1.2常用的系统基本运算单元,.,1.6系统的性质及分类,1.6系统的性质及分类,可以从多种角度来观察、分析研究系统的特性，提出对系统进行分类的方法。,.,1.6.1线性特性系统的基本作用是将输入信号(激励)经过传输、变换或处理后，在系统的输出端得到满足要求的输出信号(响应)。这一过程可表示为,f()y(),式中，y()表示系统在激励f()单独作用时产生的响应。信号变量用圆点标记，代表连续时间变量t或离散序号变量k。,.,如果系统的激励f()数乘(为任意常数)，其响应y()也数乘，就称该系统具有齐次性或均匀性。这一特性也可表述为,则系统具有齐次性。,.,如果任意两个激励共同作用时，系统的响应均等于每个激励单独作用时所产生的响应之和，就称系统具有叠加性。或表述为,则系统具有叠加性。式中，f1()，f2()表示两个激励f1()、f2()共同作用于系统。,.,如果系统同时具有齐次性和叠加性，就称系统具有线性特性。或表述为,式中，1、2为任意常数，则系统具有线性特性，表示系统响应与激励之间满足线性关系。若系统既有齐次性又有叠加性，就称该系统具有线性性质，即Taf1(),bf2()=aTf1()+bTf2()一个系统，如果它满足如下三个条件，则称之为线性系统，否则称为非线性系统。,.,条件1响应y()可以分解为零输入响应yx()和零状态响应yf()之和，即y()=yx()+yf(),这一结论称为系统响应的可分解性，简称分解性。通常也称满足分解性条件的响应y()为完全响应。条件2零输入线性,即零输入响应yx()与初始状态x(0-)或x(0)之间满足线性特性。条件3零状态线性，即零状态响应yf()与激励f()之间满足线性特性。,.,例1.6-1在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为初始状态，试判定它们是否为线性系统。(1)y(t)=x(0-)f(t)(2)y(t)=x(0-)2+f(t)(3)y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4)y(t)=af(t)+b,.,解由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。对于系统(4)，如果直接观察y(t)f(t)关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令f(t)=0时，系统响应为常数b,若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的，故系统(4)是线性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是非线性系统。,.,1.5系统的性质及分类,例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t),解：（1）yf(t)=2f(t)+1，yx(t)=3x(0)+1，显然y(t)yf(t)yx(t)不满足可分解性，故为非线性。（2）yf(t)=|f(t)|，yx(t)=2x(0)，由于y(t)=yf(t)+yx(t)满足可分解性；但是Taf(t),0=|af(t)|ayf(t)不满足零状态线性，故为非线性系统。（3）yf(t)=2f(t),yx(t)=x2(0)，满足可分解性；由于T0,ax(0)=ax(0)2ayx(t)不满足零输入线性，故为非线性系统。,.,1.5系统的性质及分类,例2：判断下列系统是否为线性系统？,解：,y(t)=yf(t)+yx(t)，满足可分解性；,Taf1(t)+bf2(t),0,=aTf1(t),0+bTf2(t),0，满足零状态线性；,T0,ax1(0)+bx2(0)=e-tax1(0)+bx2(0)=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),满足零输入线性；,所以，该系统为线性系统。,.,判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?,分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明：,系统不满足均匀性,系统不具有叠加性,课堂练习题：,.,证明均匀性,设信号e(t)作用系统，响应为r(t),原方程两端乘A：,(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性,当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则,.,证明叠加性,(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性,假设有两个输入信号分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：,当同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有,(3)+(4)得,.,1.6.2时不变特性,参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。,一个时不变系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入输出关系也不会随时间变化。如果激励f()作用于系统产生的零状态响应为yf()，那么，当激励延迟td(或kd)接入时，其零状态响应也延迟相同的时间，且响应的波形形状保持相同。也就是说，一个时不变系统，若,.,则对连续系统有,对离散系统有,系统的这种性质称为时不变特性。,.,图1.6-1系统的时不变特性,即若T0，f(t)=yf(t)则有T0，f(t-td)=yf(t-td),.,例1.6-2试判断以下系统是否为时不变系统。(1)yf(t)=acosf(t)t0(2)yf(t)=f(2t)t0输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和零状态响应，a为常数。,即若T0，f(t)=yf(t)则有T0，f(t-td)=yf(t-td),.,解(1)已知设,则其零状态响应,故该系统是时不变系统。,.,(2)这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。所以，这样的系统是时变的。设,相应的零状态响应为,.,1.5系统的性质及分类,例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yf(k)=f(k)f(k1)（2）yf(t)=tf(t)（3）yf(t)=f(t),解：(1)令g(k)=f(kkd)T0，g(k)=g(k)g(k1)=f(kkd)f(kkd1)而yf(kkd)=f(kkd)f(kkd1)显然T0，f(kkd)=yf(kkd)故该系统是时不变的。(2)令g(t)=f(ttd)T0，g(t)=tg(t)=tf(ttd)而yf(ttd)=(ttd)f(ttd)显然T0，f(ttd)yf(ttd)故该系统为时变系统。,.,(3)令g(t)=f(ttd),T0，g(t)=g(t)=f(ttd)而yf(ttd)=f(ttd)，显然T0，f(ttd)yf(ttd)故该系统为时变系统。,直观判断方法：若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,1.5系统的性质及分类,.,例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？并写出方程的阶数。（1）y(k)+(k1)y(k1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k1)=f(1k)+1,解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性系统。输入输出序列前的系数为常数，且无翻转、展缩变换，则为时不变系统。,线性、时变，一阶,非线性、时不变，二阶,非线性、时变，一阶,本课程重点讨论线性时不变系统(LinearTime-Invariant)，简称LTI系统。