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数学运算之行程问题专题行程问题的“三原色”路程、速度、时间。问题千变万化，归根结底就是这三者之间的变化。行测问题细分来看有四大类：一是相遇问题；二是追及问题；三是流水问题；四是相关问题。老蔡：行程问题，是行测中最难的，希望各位亲们通过下面的学习，对行程问题能达到游刃有余的地步。在此特意感谢原作者！1、相遇问题：相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路,行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量-路程、速度、时间。相遇问题的核心就是速度和。路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以表示成:路程= 速度时间,还可以变形成下两个关系式:速度= 路程时间, 时间= 路程速度.一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起了AB这段路程,如果两人同时出发,那有:(1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程(2) 全程= (甲的速度+乙的速度) 相遇时间= 速度和相遇时间例1:甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。【解】142（5-4）5=40（千米）这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。但在实际问题中、两人可能在不同的时间出发,或因题目的其他条件使一般的相遇问题变得非常复杂,要小心审题,耐心推敲. 对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。老蔡：此题虽然简单，但是，老蔡要乘机解释下老蔡对于行程问题的解题思路。如前面专题所讲，老蔡是方程派，因此，行程问题也喜欢用代数解法。行程问题同样，第一步是找出代数式，第二步是根据等量关系列方程。本题，相关的量有甲乙的速度，时间，路程，等量关系为两次所行路程相等。那么，根据题意，设甲乙速度和为X，有：X*4=(X-2)*5，得X=10,10*4=40千米。例2:上午9时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动,小宇骑自行车,每分钟行300米;弟弟步行、每分钟行70米.小宇到达学校后,呆了30分钟后立即返回家中、途中遇到正前往学校的弟弟时是10时10分.你知道从家到学校有多远吗?虽然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去,直到两人相遇.我们可以用图示法将二人的行走路线表示出来,以便於理解.从图中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的2倍.那只需求出两人共走了多少路程,则从家到学校这段路程可求.两人共走的路程,即小宇骑自行车的速度所走的时间加上弟弟的步行速度所走的时间解2从9点到10点10分,共有70分钟,因为小宇呆了30分钟所以小宇走了分钟,弟弟一直没停,则弟弟走了70分钟.答:从家到学校距离8450米.老蔡：相关数量有：两人速度，时间；等量关系为两人所走路程为两个全程。设全程为X，有2X=70*70+40*300，X=8450米例3有甲,乙两列火车,甲车长96米,每秒钟行驶26米,乙车长104米,每秒钟行驶24米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、需要多少秒钟?解析：假设乙列车停止不动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长200米.而实际上乙列车没有停,它的速度是24米秒,也就相当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为0.相当於甲车速度为50米秒,那从相遇到离开的时间=列车长度和/速度和.老蔡：数量有总路程96+104，总速度有26+24，等量关系是总速度*时间=总路程例4:田田坐在行驶的列车上,发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他窗口,后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒.已知货车车长180米,求货车的速度?田田坐在列车上,货车用6秒通过他的窗口,这是一个相遇问题,是田田与货车相遇,因此与列车车长无关.假设田田不动,则货车行驶了一个货车车长,用时6秒.由速度和=全程/相遇时间,可求田田与货车的速度和,田田的速度即列车的速度.那只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度,此问题可解.老蔡：本题重点是要弄清楚代数式的意义：第一次，两车相遇，路程是货车车长，速度是两车速度和，时间是6秒。第二次，过隧道，路程是234米，时间是13秒，速度是列车速度。据此，列车速度为234/13=18两车速度和为180/6=30故货车速度为30-18=12例5（用比例关系）学校田径场的环形跑道周长为400米，甲、乙两人同时从跑道上的A点出发背向跑步，两人第一次相遇后，继续往前跑，甲在跑26又2/3秒第一次回到A点，乙再跑1分钟也第一次回到A点，求甲乙两人的速度。 设甲乙二人相遇的时间是X 由题意得知，乙开始X秒所行的距离甲行了：26又2/3秒 那么甲乙的速度比是：X：80/3=3X：80 甲开始X秒所行的距离乙行了60秒， 即甲乙的速度比也是：60：X 所以有：3X：80=60：X X=40秒 那么甲乙的速度比是：60：40=3：2 又甲乙的速度和是：400/40=10米/秒 所以甲的速度是：10*3/3+2=6米/秒，乙的速度是：10*2/5=4米/秒。老蔡：各位亲们可以看到，行程问题的基本等量关系就是S=VT,其变式亦不多，就是V=S/T,T=S/V，根据这三个等量关系，把各项代数式代入即可。因此，行程问题的核心就是找准切入点，然后找准适用哪个等量关系。本题解析：本题切入点是相遇点的分析，画个圈圈就可以知道，相遇时刻，乙走的路程甲只要用26又2/3秒时间，同样甲到相遇时刻走的路程，乙需要走1分钟。据此，我们不妨设两人相遇需用时X秒（本题显然设为秒计算起来比较简单）。根据前面分析，可得“乙相遇时走的路程=甲相遇后走的路程”和“乙相遇后走的路程=甲相遇时走的路程”这2个等量关系，用代数式列为方程即为：V乙*X=V甲*80/3V乙*60= V甲*X两式相除，得到：X/60=80/3X,求得X=40代入V=S/T,分别求得甲速度=400/（200/3）=6米/秒，乙速度=400/100=4米/秒本题关键是速度比相等。我刻意用较正规、较啰嗦的语言来分析，是为了阐明速度比相等是通过“相同时间内行程相等”来得到的，速度比也好，时间比也好，其实只是两个等量关系式，相除，约去相关量后就可以得到。实际本题在解决的时候，第一步判断出“乙相遇时走的路程=甲相遇后走的路程”和“乙相遇后走的路程=甲相遇时走的路程”，第二步根据速度比相等，就可以求得时间。2:追及问题：两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差时间=追及（或领先的）路程。老蔡：追及问题，等量关系就是“路程差=速度差*时间”追及问题的核心就是速度差。例1：甲、乙两人练习跑步，若让乙先跑12米，则甲经6秒追上乙，若乙比甲先跑2秒，则甲要5秒追上乙，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距多少米？A.15 B.20 C.25 D.30【答案】C。解析：甲乙的速度差为126=2米/秒，则乙的速度为252=5米/秒，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距59210=25米。老蔡：本题关键是把前两句话，转换等量关系式。设甲乙速度分别为X和Y第一句，“路程差=速度差*时间”12=（X-Y）*6第二句，2Y=5(X-Y)由上二式可以求出，X=7，Y=5代入第三句，乙共跑了5*19=95，甲跑了7*10=70，相距95-70=25米熟练了之后，我们就可以用原作者的方法了：第一句，甲乙速度差为12/6=2米/秒第二句，甲乙速度比为7/5所以甲的速度为7，乙为5例2 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间? 分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在 顺水中的速度是船速+水速水壶飘流的速度只等于水速。 解：路程差船速=追及时间 24=05（小时） 答：他们二人追回水壶需用05小时。 老蔡：设需要X小时。1、常规的顺水逆水解法： 根据“路程差=速度差*时间”，2千米=（4+2-2）*X，求得X=0.52、把船和水流，转换成甲和乙，则变成追及问题：根据“路程差=速度差*时间”，2千米=（4+2-2）*X，求得X=0.53、把水流作为参照物：根据S=VT，T=2/4=0.5把船和水转换成甲和乙，把顺水和逆水转换成甲和乙，把水流作为参照物，这三种思路，可以很好的解决流水问题，在下文我还会涉及。3、流水问题。船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）2。例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。解：顺水速度：2088=26（千米/小时）逆水速度：20813=16（千米/小时）船速：（26+16）2=21（千米/小时）水速：（2616）2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。老蔡：我发现我是在给自己下套，前文为嘛要说“下文还要涉及”啊！言归正传：1、顺水设为甲，速度X，逆水设为乙，速度Y很简单，X=208/8=26，Y=208/13=16，求得船速21，水速52、以流水为参照物，设船速X，水速Y也很简单，X+Y=208/8，X-Y=208/13，求得船速21，水速53、把船设为甲X,水设为乙Y这就把原来的题，转换为一个相遇和一个追及。X+Y=208/8，X-Y=208/13, 求得船速21，水速5太给自己下套了！在实际解题中，对于本题这种难度系数为0.00001的题，上文原作者的解法，才是正解，但是老蔡只是通过这种简单的题，来举例说明前文所讲的三种思路。例2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时），甲乙两地路程：188=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小时），返回时逆行用的时间：1441212（小时）。答：从乙地返回甲地需要12小时。老蔡：经过前文的解析，像这种简单的题，老蔡不再赘述用那种思路去解。路程=18*8=144逆水返回需要时间=144/12=12小时例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。解：轮船逆流航行的时间：（35+5）2=20（小时），顺流航行的时间：（355）2=15（小时），轮船逆流速度：36020=18（千米/小时），顺流速度：36015=24（千米/小时），水速：（2418）2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：12315（千米/小时），帆船的逆水速度：123=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间：36015360924+40=64（小时）。老蔡：本题，要求帆船时间，需要知道水流速度。设轮船速度X， 水流速度为Y。X+Y=360/15X-Y=360/20两式相减求得Y=3帆船往返需要时间=360/（12+3）+360/（12-3）=64小时 例4 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是： A2.5：1 B3：1 C3.5：1 D4：1 （2005年中央真题） 解析1：典型流水问题。如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程： 21/KV+4 =12/KV+7 将V约掉，解得K=3 解析2，推荐。注意一个关系量，两次时间相等，也就是说，第二天虽然顺流少行了9km而节约的时间与逆流多行的3km所花的时间抵消了。两者时间相等。时间一定，速度比等于路程比，故顺逆比为 21-12/7-4=3:1 老蔡：1、显然，跳出顺水逆水，用宏观的角度来看待这个题：顺行9千米时间=逆行3千米时间。速度比为3:1。2、如果要用常规思路解题，则设顺水X，逆水Y，21/X+4/Y=12/X+7/Y,9/X=3/Y，X/Y=34、相关问题 例3 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A80级 B100级 C120级 D140级 （2005年中央真题） 解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下， （X+2）40=（X+3/2）50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）40=100 所以，答案为B。 老蔡：本题可以从多种角度去解，老蔡在此放肆一次：1、以电梯为参照物，设电梯速度为X，则有：40*(2+X)=50(1.5+X),X=0.5，全程40*（2+0.5）=1002、转换为相遇问题，三个人物，男、女、电梯。设电梯速度为X。40*(2+X)=50(1.5+X),X=0.5，全程40*（2+0.5）=1003、典型的顺水问题。同上。4、牛吃草同志们，其实牛吃草真的是一个行程问题啊！参考我前面专题的牛吃草公式。设原有草量（即电梯级数）为S，每秒“新长”草量（其实为“腐烂”草量）为X，则有：40*2=S-40X50*1.5=S-50X5、水池问题其实水池问题也是牛吃草，但是说到底，他还是一个行程问题。水池，男注水每秒2，女注水每秒1.5，甲注水每秒X，水池总量需要SS=40*(2+X)=50(1.5+X)6、亲们，开动你的脑筋，还有什么解法？您猜不出了吧？哈哈哈，老蔡狂笑，工程问题！设总工作量S，甲帮男40秒，甲帮女50秒。现在，老蔡的最终总结，出来了：其实每一种应用问题，都适用于一个等量关系：路程=速度*时间我们要做的，就是找到代数式，构架等量关系。五、特殊的思维方法。整体的思维方法例1C、D两地间的公路长96千米，小张骑自行车自C往D，小王骑摩托车自D往C，他们同时出发，经过80分两人相遇，小王到C地后马上折回，在第一次相遇后40分追上小张，小王到D地后马上折回，问再过多少时间小张与小王再相遇？分析与解：依题意小张、小王三次相遇情况可画示意图（2）。这道题如果从常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的。但可根据题中小张、小兰三次相遇各自的车速不变和在相距96千米两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维。从图（2）可以看到：第三次相遇时，小王小张和走了3个全程，所花的时间是803=240（分）。可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：803-80-40=120（分）。老蔡：这个问题，有很多人总结过了，老蔡不妨赘述一次。此题最要紧的是看懂题意：一次相遇，一次追及，二次相遇。本题有很多陷阱，包括全程96千米，追及40分钟，很容易让人陷入去求速度的泥淖。实际上我们只需从两次相遇着手就可以了。根据前人总结的公示，一次相遇两人走1个全程，二次相遇两人走3个全程。根据S=VT，那么3S=V*3T。也就是一次相遇用时80分钟，二次相遇用时80*3=240分钟。那么再经过240-80-40=120分钟，即为所问。所作者所画图，可以很清晰的看出这一点。六、精选例题及解答 例1. 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地每小时步行4千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，甲、乙两地间的距离是多少？ 分析：用公式路程差速度差=时间。 解：12（5-4）=2小时。 甲乙两地间的距离为：（5+4）2=18（千米） 老蔡：原文作者的思路很棒，他是通过两人所用时间相等，再根据“路程差=速度差*时间”来求时间，再根据“路程和=速度和*时间”求总路程。（事实上，这是用了工程问题的思路：甲每小时做5个，乙做4个，N个小时后，甲比乙多做2个，甲乙总共做了多少个？）但是，有时候脑子会转不过这个弯了，想不到这一点，那么我们先念一遍“路程=速度*时间”。设半程为S，用时为T。那么有：S+1=5TS-1=4T相减，T=2，总路程为9*2=18千米。老蔡在此处如此啰嗦，是为了两点：一是，行程问题，一定可以用“路程=速度*时间”这个等量关系解决。二是，作为方程派，老蔡表态，不要藐视方程，方程比应用题解法更直观更直接，虽然有时候不免更繁杂但不失为没有想到简便方法时候的最佳选择。 例 2. 小张从甲地到乙地步行需要36分，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分。他们同时出发，几分后两人相遇？ 解：小张速度：小王速度=1:3. 两人相遇所需时间36（1+3）=9（分） 老蔡：本题又是特殊值大显身手的机会了。设小张每分钟走1米，那么全程为36*1=36米，则小王速度为3米/秒。（不许笑，这是两只蜗牛！）36/4=9分钟。例 3. 一列火车长152米，它的速度是每小时63.36千米。一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过要8秒，这个人的步行速度是每秒多少米？ 分析：相向而行的计算公式 ： 路程=速度和相遇时间。注意单位换算成同一单位。 解：63.36千米/小时=17.6米/秒 这个人的步行速度是：1528-17.6=1.4米/秒老蔡：本题破题，从63.36入手。设步行速度X63.36千米/小时=17.6米/秒，其实看到17.6，有选项的话，我们可以大胆的估计，选项里含0.4的就是正解。言归正传：152=(17.6+X)*8 例 4. 兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 解：他们第10次相遇时所用时间30（1.2+1.3）10=120秒 由1.212030=424此时妹妹已跑了4圈零24米。妹妹还需走6米才能回到出发点。老蔡：环形相遇来了，亲们，环形相遇更两岸相遇的不同点在于，每次环形相遇都增加一个全程，而两岸相遇则是增加两个全程。本题不赘述。 例 5. 甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙。若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。那么甲、乙两人的速度是多少？ 解：甲乙两人速度差105=2（米/秒） 乙的速度242=4（米/秒） 甲的速度4+2=6（米/秒）老蔡：前面已有例题，不赘述。例6. 一只狗追赶一只野兔，狗跳5次的时间兔子能跳6次，狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等。兔子跳出550米后狗才开始追赶，那么狗跳多少米才能追上兔子呢？ 解: 狗跳5次的时间兔子能跳6次， 则狗跳20次的时间兔子能跳24次；又因为狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等，所以兔子跳24次的距离与狗跳57次的距离相等，狗与野兔的速度比为57：46=35：24。狗比兔子多35-24=11。 由速度比等于路程比（时间一定）得550=1750(米) 老蔡：本题关键是不要被跳啊、次数啊、距离啊绕进去了。先求出相同时间内，狗和野兔的速度比，先转换下：设野兔每跳一次距离为1。则：狗跳20次用时4，距离35，而4的时间野兔跳24次，距离24。故速度比为35:24。好了，特殊值又派用场了，设狗和野兔速度为35米/秒和24米每秒，再次不许笑，他们是火星狗和火星兔。(35-24)*T=550，得T=50,得50*35=1750米。例7. 如图，甲在南北路上，由北向南行进，乙在东西路上，由东向西行进。甲出发点在两条路交叉点北1120米，乙出发点在交叉点上。两人同时出发，4分钟后，甲、乙两人所在的位置距交叉点的路程相等（这时甲仍在交叉点北）。再经过52分钟后，两人所在的位置又距交叉点路程相等（这时甲在交叉点南）。求甲、乙两人的速度。 分析：要认真挖掘题中的隐含条件：（1）4分钟后两人所在位置距交叉点相等，说明甲离交叉点的距离等于乙走过的路程，即两人共走了1120米。(2)由于甲在交叉口北1120米处出发，乙在交叉口处出发，经过（4+52）分钟后两人距交叉口等距，说明乙比甲多走了1120米。（此处原作有误，应该是甲比乙多走1120米） 解:甲、乙两人每分钟走的距离和11204=280（米） 甲、乙两人每分钟走的距离差1120（4+52）=20（米） 甲每分钟走的距离（28020）2= 130（米） 乙每分钟走的距离（280 +20）2= 150（米）老蔡：原文作者已经分析得很详细，虽然有瑕疵。老蔡勉强用自己的方法解一下，设甲速度X，乙速度Y.1120-4X=4Y56X-1120=56Y解得，X=150，Y=130.OK，证明原作者错了。例8、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。A、B两地相距多远？分析：我们先画出示意图 1（图1中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）设：AB两地的距离为“1”.由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时内, 乙车所行的路程是甲行路程的=4/5,从而甲、乙两车所行的路程分别占他们共同行完路程的和5/9和4/9.解： 第二次相遇两车共行了全程的3倍，甲行了全程的3=1，乙行了全程的3=1，此时AM=全程的=。第二次相遇两车共行了全程的5倍，乙行了全程的5=2，NB=全程的，此时AN=全程的,MN=全程的()=40千米，所以A、B两地相距 40=90千米注意：为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。老蔡：原作者的文章，经过复制粘贴，已经看不清楚了，但是其思路还是很清晰的。这是典型的两岸相遇问题（在此祝愿两岸早日复婚）。二次相遇，三次相遇，共走了3个全程和5个全程。解析1：设每个全程用时为T，则全程为（45+36）T=81T3个全程甲走了135T，乙走了108T，此点距离A:162T-135T=27T5个全程甲走了225T，乙走了180T，此点距离A地225T-162T=63T两点相距63T-27T=36T=40，T=10/9全程=81*10/9=90千米。解析2：亲们，解析1是不是太复杂？因为我们没用特殊值嘛，老蔡的偏好就是特殊值，特殊值就是少妇，就是饭妞！根据甲乙速度，可知甲乙速度比为5:4。把全程设为9份。可知：1个全程甲走5份，乙走4份。3个全程甲走15份，乙走12份。此时甲距离A点3份。5个全程甲走25份，乙走20份。此时甲距离A点7份。两个点相距7-3=4份，4份距离为40千米，因此，全程9份=90千米。例9、甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？分析：要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（30010=3000米）。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，乙、甲的速度比为8：7 ，由于在相同的时间内，走过的路程比也是8：7。所以这段时间内甲共行1400米。由此得解。解：他们第十次相遇时，共跑了30010=3000米。此时甲跑了 3000=1400米由1400300=4（圈）200（米）300-200=100（米）。因此甲还需跑 100米才能回到出发点老蔡：上题是两岸三通问题，本题算是本部矛盾了。本部矛盾都是小矛盾，所以每相遇一次只增加一个全程。本题不赘述。十次相遇的路程3000米其中甲跑了7/15*3000=1400米1400/300=4圈余200米300-200=100米。例 10、有甲、乙、丙三人，甲每小时行3千米，乙每小时行4千米，丙每小时行5千米。甲从A地，乙、丙从B地同时相向出发。丙遇到甲后立即返回，再遇到乙，这时恰好从出发时间开始算经过了10小时。求A、B两地之间的距离。分析：画出示意图 2：图 2由相同时间内甲、乙、丙所走路程之比等于他们速度之比，则图 2中，AC：CB：DB=3:5:4 则 CD:DB=1:4 所以 CD= DB 由丙、乙速度比为5：4。得 CP：PD：=5：4PD=CD=DB。PB=10PD。PB 即为乙10小时走的距离 PB=410=40千米PD=4千米 DB=404=36千米 ，得甲、丙相遇时间为364=9小时，所以 AB=（4+5+3）9 =72千米。解法（二） 丙10小时比乙多走的路程：2CP=510-410=10（千米），则CP=5（千米）丙走路程CP所用时间：55=1（小时）所以甲、丙二人的相遇时间：10- 1=9（小时）。A、B两地间的距离：（3+5）9=72（千米）。答：A、B两地间的距离为72千米。老蔡：本题较复杂，但是理一理，其实还是蛮简单的，关键还是一句话，找到等量关系。本题两个相遇，就是破题点。设“甲丙相遇”用时X小时，从这个时刻到“乙丙相遇”用时Y小时。1式：X+Y=10，（根据时间和为10小时）；2式：5X-4X=(5+4)Y，（“5X-4X”为甲乙相遇时，乙丙距离=丙走的路程-乙走的路程；“(5+4)Y”为乙丙相遇路程=乙丙速度和*时间）解得，X=9，Y=1，全程=(3+5)*9=72千米。 例11.张老师从北京乘坐飞机回沈阳，原计划八点到机场，结果提前于七点到达。他的儿子接他的车尚未到达。张老师就边散步边往家走，走了一段路后，车到了，此时张老师乘车回家，结果提前10分钟到家，请问张老师散步走了多少时间？解：因为汽车提前10分钟到家，这节省的时间正好是车接到张老师的地点到机场距离,车所行时间的2倍，所以这个距离车应走5分钟。所以车接到张老师时是七点五十五分，因此张老师走了55分钟。老蔡：好吧，我承认，这种题是最没头绪的题了。既然什么提示都没有，我们就大胆地假设，原计划9点到家。车子原计划是8点到机场，9点到家，那么回去就要开1个小时，那么就是7点出发去接。现在提前了10分钟，也就是说，去接的时候车开了55分钟，回家又开了55分钟，分别节约了5分钟，一共节约了10分钟。因此，接到张老师的时候是7点55分。老张这家伙晨练了55分钟。例12 .甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。画图如下：分析 结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（4060）15=1500（米）。又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为每分钟 50-4010（米），这样就可求出乙从B到C的时间为150010150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。解：甲和丙15分钟的相遇路程：（4060）15=1500（米）。乙和丙的速度差：每分钟50-40=10（米）。甲和乙的相遇时间：150010=150（分钟）。A、B两地间的距离：（5060）15016500（米）16.5千米。答：A、B两地间的距离是16.5千米.老蔡：本题是两个相遇，比前面那个甲乙丙要简单多了。设甲乙相遇用时X分钟。则全程为110X，此时甲走了60X，乙走了50X,丙走了40X，丙距离甲乙相遇点:50X-40X=10X10X=15*(60+40)，得X=150全程为110*150=16500米例13 . 甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？先画图如下：分析与解： 结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：设甲乙两地距离为a第一阶段从出发到二人相遇：小强走的路程=a+100米，小明走的路程=a-100米。第二阶段从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2a-100米+300米=2a+200米，小明走的路程=100+300=400（米）。从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走4002200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为200100=300（米）。老蔡：设甲乙两站距离为X，则乙丙距离也是X。根据甲乙速度比相等：(X+100)/(X-100)=(3X+300)/(X+300)把100和300换成1和3，解方程很容易：X=300米例14一只船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头间距离。 解： 顺水速度与逆水速度之比为（20+4）（204）=2416=32 因为路程一定时,速度与时间成反比，所以顺水时间逆水时间=23 甲乙两码头距离为 =120（千米） 老蔡：上文正解。例15.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。先画图如下：分析 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50（266）=1600（米）.所以，甲的速度为16002080（米/分），由此可求出A、B间的距离。解：50（26+6）（26-6）=50322080（米/分）（80+50）61306=780（米）答：A、B间的距离为780米老蔡：作为方程派，直接设全程S，甲速度V吧。S=（V-50）*26=(V+50)*6=780米。例16.上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明、再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？解法（一）.从爸爸第一次追上小明到第二次追上这一段时间内，小明走的路程是8-4=4（千米），而爸爸行了4+8=12（千米），因此，摩托车与自行车的速度比是124=31.小明全程骑车行8千米，爸爸来回总共行4+12=16（千米），还因晚出发而少用8分钟，从上面算出的速度比得知，小明骑车行8千米，爸爸如同时出发应该骑24千米.现在少用8分钟，少骑24-16=8（千米），因此推算出摩托车的速度是每分钟1千米.爸爸总共骑了16千米追上小明，需16分钟，此时小明走了 8+16=24（分钟），所以此时是8点32分.解法(二) 这从爸爸第一次追上小明到第二追上小明，小明走了4千米，爸爸 走了三个4千米，所以小明的速度是时是爸爸速度的倍。爸爸从家到第一次追上小明，比小明多走了4（11/3）=8/3千米，共用了8分钟，所以小明的速度是 8/38=1/3米，从爸爸从家出发到第二次追上小明，小明 共走了8千米，所用时间为8=24 分 所以现在是8点32分解法(三)同上,先得出小明的速度是时是爸爸速度的倍. 爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米,若爸爸与小明同时出发,则爸爸应走出12千米,但是由于爸爸晚出发8分钟,所以只走了4千米,所以爸爸8分钟应走8千米. 由于爸爸从出发 到第二次追上小明共走了16千米, 所以爸爸用了16分钟,此时离小明出发共用了8+16=24分钟, 所以爸爸第二次追上小明时是8点32分老蔡：上文所述正解。先吐槽：作者终于用了很多种方法来解题了！好多8啊，出题者肯定是个暴发户！小明的爸爸好无聊啊！吐槽完毕，言归正传。老蔡也做一下本题：无聊爸爸第一次追及走4千米，此时刻到第二次追及共走4+8=12千米。 憋屈小明第二次共走了8-4=4千米。无聊爸爸和憋屈小明速度比为12/4=3:1设无聊爸爸共骑车T分钟速度为X，小明速度为X/3。XT=16父亲全程X/3*(T+8)=8儿子全程相除，T=16，故为8+8+16=32,8点32分。例17甲乙两地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回。去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分。已知自行车的上坡速度是每小时10千米，求自行车下坡的速度。解：设自行车下坡的速度为x，因为某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回。去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分，共用了8小时，由于是往返一次 ，所以上坡行了48公里，下坡也行了48公里。上坡所需是间是 ：4810=4.8下坡所需是间是:8-4.8=3.2.所以 x=483.2=15(千米小时)老蔡：上下坡是行程问题中比较经典的问题。原文正解。对于上下坡问题和某些顺水逆水，用整体的角度去切题，可收奇效，比张悟本的绿豆汤和各路神医厉害多了。例18某人从家到单位时,1/3的路程骑车，2/3的路程乘车；从单位回家时，前3/8时间骑车，后5/8时间乘车结果去单位的时间比回家所用时间多小时。已知他骑车每小时行8千米，乘车每小时行16千米，则此人从家到单位的距离是多少千米？解:设从家到单位的距离是s千米.则从家到单位用的时间为: S38+ S3216=S/12设从单位回家所用时间为t, 则 t 8+ t16= S.得t=S/13因为S/12S/13=0.5,解得S=78千米老蔡：上文正解。吐槽，这家伙一天买两辆车，真尼玛有钱，就是自行车也算相当有钱了！解法1：设全程为3*8=24S，全程分为24份。则，去单位时间为：8S/8+16S/16=2S，得：从单位回家时间为2S-0.5从单位回家全程=24S=(2S-0.5)*3/8*8+(2S-0.5)*5/8*16=26S-6.5S=6.5/2,全程24S=24*6.5/2=78千米。解法2：设单位回家时间为T，则去单位的时间为T+0.5回家过程中，全程为：3T/8*8+5T/8*16=13T上班过程中，用时为：13T/3/8+26T/3/16=13/12T=T+0.5，得T=6则全程为13*6=78千米。例19甲、乙二人分别以每小时3千米和5千米的速度从A、B两地相向而行相遇后二人继续往前走，如果甲从相遇点到达B地共行4小时，那么A、B两地相距多少千米？解:因为甲、乙二人速度分别为3千米和5千米.则在相同的时间内所走路程比为3:5,两人相遇时,乙从B地到相遇点已走了全程的,由于甲从相遇点到达B地共行4小时, 应走全程的,所以甲走全程的时间为:45/8=小时.所以A、B两地相距 332/5=19.2千米.老蔡：终于迎来了最后一个例题了！舔一下手指，抹一下头发，胜利就在眼前了！这是一个简单的相遇问题。解法1：小学奥数解法。相遇后，甲走了4小时，那么这段距离，乙需要走3*4/5=2.4小时，即第一次相遇用时2.4小时，则全程为2.4*（3+5）=19.2千米。解法2：直接设相距X千米，根据T=S/V。甲乙相遇用时=X/8甲走全程时间=X/3两个时间差=X/3-X/8=4，解得X=19.2解法3：设甲乙相遇用时T。则全程=8T=3*（T+4）,T=2.4，全程=8T=19.2亲们，做练习吧，不懂的咱群里讨论。练习：1. 一列客车从甲站开往乙站，每小时行65千米，一列货车从乙站开往甲站，每小时行60千米，已知货车比客车早开出5分，两车相遇的地点距甲乙两站中点10千米，甲乙两站之间的距离是多少千米？2汽车往返于甲、乙两地之间，上行速度为每小时30千米，下行速度为每小时60千米，求往返的平均速度3甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差80米时俩人第二次相遇，求跑道的长是多少米？4快慢两列火车的长分别是200米、300米，它们相向而行坐在慢车上的人见快车通过此人窗口的时间是8秒，则坐在快车上的人见慢车通过此人窗口所用的时间是多少秒？5甲、乙二人步行的速度相等，骑自行车的速度也相等，他们都要由A处到B处甲计划骑自行车和步行所经过的路程相等；乙计划骑自行车和步行的时间相等谁先到达目的地？ 6甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人