一元二次方程知识点总结及例题解析

精品文档一元二次方程一） 一元二次方程的定义是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。这三个方程都是一元二次方程。求根公式为二）。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、当0时方程有2个不相等的实数根；2、当0时方程有两个相等的实数根；3、当 0时方程无实数根.4、当0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac0)0有两个不相等的实数根C0两根同号b0有两个负根不相等b0有两个正根不相等C0负根绝对值较大(正根绝对值较小)b0一根为0另一个根为负根b0有两个相等的负根b0有两个相等的正根b =0有两个相等的根都为0注：凡是题中出现了x1.x20 即a、c异号方程必有解。例题 m为何值时，方程 有两个相等的实数根；无实数根；有两个不相等的实数根；有一根为0；两根同号；有一个正根一个负根；两根互为倒数。例题 已知方程的两根一个大于1，另一个根小于1，求m的值的范围。例题已知方程ax2+bx+c 0 (a0)的实数根为m、n求下列对称式子的值；。例题已知实数a、b满足,且求的值。例题已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围。（2）化简例题 设a、b是方程的两个实数根，求的值。根据题意得a+b=-1，ab=-2009，a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a-1，又a是x2+x-2009=0的根，a2+a-2009=0，a2+a=2009，a2+2a+b=2009-1=2008六）解一元二次方程中的应用 直接开平方法：用简明图表可表示为：直接开平方法：形如（mx+n）2=p (m0,p0)两个一元一次方程。配方法：用简明图表可表示为：配方法：一元二次方程 形如（mx+n）2=p (m0,p0)的方程因式分解法：用简明图表可表示为： 因式分解法：一元二次方程两个一元一次方程 公式法：x1，x2一元二次方程应用题部分一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；3.列:列代数式,列方程；4.解:解所列的方程；5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注：列方程解应用题的关键是: 找出等量关系；所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数（字母）表示，根据题目中提供的条件列出两个代数式，这两个代数式表示同一个量（这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数），用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。二、一元二次方程，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型：求互相联系的两数(数与数字方面的应用题)：例：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。解：设其中一数为x，另一数为x+2，依题意得：x（x+2）168x2+2x-168=0（x-12）（x+14）0x1=12，x2 =14当x12时，另一数为14；当x-14时，另一数为-12.答：这两个偶数分别为12、14或-14、-12.四）银行利率应用题（含利滚利问题）：年利息本金年利率（年利率为a%）存一年的本息和：本金（1+年利率） ，即本金（1+ a%）存两年的本息和：本金（1+年利率）2， 即本金（1+a%）2存三年的本息和：本金（1+年利率）3， 即本金（1+a%）3存n年的本息和：本金（1+年利率）n， 即本金（1+a%）n例：我村2006年的人均收入为1200元，2008年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率。解：设均收入的年平均增长率，则1200（1+x）2=1452解得：X1=0.1，X2=-2.1（不合题意，舍去）人均收入的年平均增长率为10%。五）销售利润方案类题（含薄利多销问题及价格与销量问题）六）函数与方程 七）信息题 八）背景题 九）古诗题 十）象棋比赛题十一）几何类题：等积变形，动态几何问题，梯子问题，航海问题，几何与图表信息，探索存在问题，平分几何图形的周长与面积积问题，利用图形探索规律最常见的如：求直角三角形的边。例：一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm，求较长的直角边的长。解：设较短的直角边的长为x厘米，较长的直角边的长为（x3）厘米，根据三角形的面积公式，得x（x+3）=9解得：X=3或X=-6（不合题意，舍去）故X=3，X+3=6所以较长的直角的边长为6厘米。常见的还有就是：求矩形的边：例：利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？解：设靠墙的一边为x x（20-2x）=20解得：x=5设靠墙的两边为5m，另一边为10m十二）赛制循环问题：单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共 x（x-1）场；双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场；【单循环比双循环少了一半】例：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人握手10次，有多少人参加聚会？解：设一共有x人x（x-1）=10解得：x=5 或x=-4（不合题意，舍去）一共有5人销售利润方案类题（1）经济类一1、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ 解：设每件售价x元，则每件利润为x-8， 每天销售量则为所以每天利润为640元时， 则根据：（每天销售量）（每件利润）= 每天利润 故有：则有x2-28x+192=0 即（x-12)（x-16)=0 所以x1=12或x2=16。 答：当每件售价为12元或16元时，每天利润为640元。3、苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销量就将减少10件，为了实现每月8700元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？解：设涨价10x元,销量将减少10x件:(300-10X)(50+10X-30)=8700 6000+3000X-200X-100X=8700X-28X+27=0 (X-1)(X-27)=0X1=1,以每件50+101=60元售出，平均每月能售出300-101=290件,进货290件,以每件60元售出.X2=27,以每件50+1027=320元售出，平均每月能售出300-1027=30件,进货30件,以每件320元售出.因为售出价320元太高,此解舍去.（此解舍去不是太有道理的）函数与方程1.某工厂生产的某种产品质量分为10个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元。每提高一个档次，每件利润增加2元，但每天产量减少4件.(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1x10），求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次.解:1)生产数量为:76-4(X-1)利润为:10+2(X1)则函数为:Y=764(X1)10+2(X1)整理为:Y=-8X2+128X+6402）当Y=1080时，则有：1080=-8X2+128X+640 整理得：X2-16X+55=0解之得X1=5或X2=11(不合题舍) 固为第五档.例1【实际背景】预警方案确定:设如果当月W6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农” 【数据收集】 今年2月5月玉米、猪肉价格统计表 月 份2345玉米价格(元/500克)0.70.80.91猪肉价格(元/500克)7.5m6.256【问题解决】(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农” 解：（1）由题意， ， 解得： m=7.2（2）从2月5月玉米的价格变化知，后一个月总是比前一个月价格每500克增长0.1元（或：设ykx+b，将（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y=0.1x+0.5，把（4，0.9），（5，1）代入都符合，再得到（6，1.1）6月玉米的价格是：1.1元/500克;5月增长率： ，6月猪肉的价格：6(1)=5.76元/500克.W=5.246， 要采取措施（3）7月猪肉价格是：元/500克； 7月玉米价格是：元/500克；由题意，+=5.5，解得， 不合题意，舍去 7.59， ，不(或：不一定)需要采取措施几何类题（1）等积变形例1将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解：都能.（1）设小路宽为x，则1815，即x233x+1800，解这个方程，得，即（舍去）；（2）设扇形半径为r，则3.14r21815，即r257.32，所以r7.6.说明：等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.图2图4图3（2）动态几何问题例：如图4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解：因为C90，所以AB10（cm）.（1）设xs后，可使PCQ的面积为8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.则根据题意，得(6x)2x8.整理，得x26x+80，解这个方程，得x12，x24.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2.（2）设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半.则根据题意，得(6x)2x68.整理，得x26x+120.所以方程无实数解。由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明：本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据：路程速度时间；动态题的解题是思想是化动态为静态，在运动的某一时刻就是一个静态时的状态。（3）梯子问题例：一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解：依题意，梯子的顶端距墙角8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解这个方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解这个方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解这个方程，得x10（舍去），x22.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.图5说明：求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形；在滑动的过程中梯子的长度没有改变，也就是构成的直角三角形的斜边是一个常量10m。（4）、航海问题例：如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，则DFBC.因为ABBC，D为AC的中点，所以DFAB100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在RtDEF中，根据勾股定理可得方程x21002+(3002x)2，整理，得3x21200x+1000000.解这个方程，得x1200118.4，x2200+（不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明：求解这类几何运动题题型时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程；或找出相似三角形，应用相似比构造出等量关系式；或找出线段之间的倍数关系，从而找出等量关系式。探索存在问题例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20x）cm.则根据题意，得+17，整理得：解得x116，x24，当x16时，20x4；当x4时，20x16，答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20y）cm.则由题意得+12，整理，得y220y+1040，0所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b24ac来判定.若b24ac0，方程有两个实数根，若b24ac0，方程没有实数根，本题中的b24ac160即无解. 一元二次方程练习题一、 填空1一元二次方程化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。2关于x的方程,当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程。3已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。4. ； 。5直角三角形的两直角边