不定积分概念与性质

,第五章不定积分本章的教学基本要求是：1、理解原函数和不定积分的定义，掌握原函数和不定积分的性质；2、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微分法；3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。,一、原函数与不定积分的概念,四、不定积分的性质,三、基本积分表,五、小结,第一节不定积分的概念与性质,二、不定积分的几何意义,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,(primitivefunction),定义,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,定理,关于原函数的说明：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若和都是的原函数,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,不定积分(indefiniteintegral)的定义：,定义,原函数,例1求,解:,解:,例2求,例3某商品的边际成本为,求总成,解:,其中为任意常数,本函数.,二、不定积分的几何意义,显然，求不定积分得到一积分曲线族,在同一横坐标,处,任一曲线的切线有相同的斜率.,0,x,y,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,三、基本积分表,基本积分表,是常数);,说明：,基本积分表导数基本公式0dx=cC=0（C为常数）xndx=xn+1/(n+1)+c(xn)=nxn-11/xdx=ln|x|+c(lnx)=1/xaxdx=ax/lna+c(ax)=axlnaexdx=ex+c(ex)=excosxdx=sinx+c(sinx)=cosxsinxdx=-cosx+c(cosx)=-sinx,sec2xdx=tanx+c(tanx)=sec2xcsc2xdx=-cotx+c(cotx)=-csc2xsecx.tanxdx=secx+c(secx)=secx.tanxcscx.cotxdx=-cscx+c(cscx)=-cscx.cotx1/(1-x2)1/2dx=arcsinx+c(arcsinx)=1/(1-x2)1/21/(1+x2)dx=arctanx+c(arctanx)=1/(1+x2),例4求积分,解：,证：,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,四、不定积分的性质,例5求积分,解：,求不定积分的方法(1)直接积分法(2)第一类换元法(3)第二类换元法(4)分部积分法,直接积分法根据不定积分的性质和基本积分公式，对于一些比较简单的函数的不定积分可以直接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换，再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法。该方法主要把被积函数变换成基本积分公式中的被积函数的形式。,例6求积分,解：,例7求积分,解：,例8求积分,解：,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,化积分为代数和的积分,解:,所求曲线方程为,3.基本积分表（1）（13）,5.不定积分的性质,1.原函数的概念：,2.不定积分的概念：,4.求微分与求积分的互逆关系,五、小结,基本积分表,是常数);,不定积分的性