构造法在求数列通项公式中的应用-毕业设计.doc

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 本科生毕业论文（设计）题 目： 构造法在求数列通项公式中的应用 系 别： 数学与计算机科学系 专业班级： 数学与应用数学2009级 安 顺 学 院本科生毕业论文（设计）原创性申明本人郑重申明：所呈交的论文（设计）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到本申明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期：本科生毕业论文（设计）版权使用授权书本科生毕业论文（设计）作者完全了解学校有关保留、使用本科生毕业论文（设计）的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权安顺学院可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本本科生毕业论文（设计）。 作者签名： 日期：导师签名： 日期： 摘 要 构造法在求数列通项公式中的应用 专业：数学与应用数学 学 号：200902014065 姓名：陈斌 指导教师：刘太河摘 要所谓构造法，就是将陌生的模型转变为熟悉的模型，而不改变原题意的一种方法，其中转变的分析过程就是构造思想。构造法本身具有灵活性，应用上具有广泛性，是解决数学模型以及其他模型的一种重要方法。本文以常见的数列题型作为课题研究对象来探讨构造法在求数列通项公式中的应用，其中涉及了简易数列和复合数列两大板块，包含十一种常见模型。在内容上以“模型构造结论”为主线构建，核心是构造思想，重点是模型和结论。构造法在解题中虽然没有固定的模型可套，但是有一定的思路可循，我通过对常见数列模型的研究，可以给读者一定思维上的启发，同时，本论文所涉及到的模型也可成为解决其他模型的基础。关键词：数列模型 构造法 构造思想III ABSTRACT Application of method to find the general formula of the structure The method of construction, is the model transformation of strange familiar model, without changing the original meaning of a method, the structure is thought to analyze the transformation process method has the flexibility,extensive application,is an important method to solve the mathematical model and the other models,Based on the test sequence common application as the object of study to explore the construction method to find the general term formula,which involves the simple sequence and composite series two plate,contains eleven kinds of common model.In the content to “modelstructureconclusion”as the main line construction,the core is to construct thought,is focused on the model and conclusions.conclusion method solving the problem is there is no fixed model can be set,but the ideas to follow certain,I through the study of the common sequence model,can give readers some inspiration thinking,at the same time,this thesis involved the model can be the basis to solve the other model.Keywords: sequence model, construction method, construction idea 目 录 目 录引言.1第1章 绪论.2 1.1 构造法简介 .2 1.2 构造法的前景.3第二章 简易构造.42.1 一级构造.4 2.1.1 一级构造的数列表达式.4 2.1.2 超一级构造.52.2 二级构造 .9 2.2.1 二级构造的数列表达式1.9 2.2.2 二级构造的数列表达式2.10 2.2.3 二级构造的数列表达式3.112.3 三级构造的概念.12 2.3.1 三级构造的数列表达式1.12 2.3.2 三级构造的数列表达式2.14第三章 复合构造.17 3.1 特征方程构造法.17 3.2 关于的复合构造.18 3.3 关于的复合构造.19第四章 总结.21 4.1 知识点总结.21 4.2 课题研究总结.23结束语.25参考文献26致谢27 引 言 引 言构造法作为数学的一种重要的思想方法，它一直伴随着数学的发展而成长，构造法的内涵十分丰富，具有广泛的适用性，在数学解题尤其是在高中数列解题中具有广泛的应用。本文以“构造法在求数列通项公式中的应用”为题，是以实习过程中学生出现的相关问题为重点、以典型的例题和以构造性思维方式进行讲解、以及在相关老师的指导和帮助下完成的。内容上比较偏重于思想，偏重于方法，偏重于应用，而不是过于追求严格的数学推导。在实习期间，我主要授课内容是高一数列部分，通过与同学们的交流，我了解到学生在解决数列问题上存在的问题；通过与老师的交流，我得出了一些很好的解决方法，并形成了很多很好的结论，比如说，对于等差数列和等比数列以及它们的前n项和所成的数列都是一些最特殊、最基本的数列，它们的通项公式用演绎法套公式解决，大多数学生都能掌握，而让学生以及老师困惑的都是其他类型的数列。在不断探讨过程中，我发现构造法求通项公式是一种重要的有效方法，它比较灵活，可以通过构造一个与原数列相关的新数列，转化为具有特殊性质的数列，从而找到解题的新方法。在论文的选题上，我主要依据以下两点：一是在实习过程中对学生在数列上存在的问题有所了解，以及本人在数列求通项公式上有一定的知识积累；二是数列的实质是按照一定的规律排列成的一列数，描述这种规律的最简单的形式是通项公式，因此，求数列的通项公式就成为研究数列的一个主要课题。学习构造法，最主要的是掌握其思想（构造思想）方法，学会应用，将构造法的思维模式变成自己思考问题的模式之一。遇到问题，首先想到解决该问题需要哪些资源，从哪里可以获得这些资源；其次要考虑获得资源后，如何使这些资源得到合理利用，使其产生最大效益。如果若干年后，你即使将学过的公式忘得一干二净，最后头脑中剩下来的还是构造法的这种思维模式，则表明你抓住了构造法的精髓。下面我主要对以下几个方面对“构造法在数列求通项公式的应用”进行展开讨论。 - 1 - 第一章 绪论 第1章 绪论1.1 构造法简介 在数学的发展史上，数学家一直注重思维的缜密性、相关联的逻辑性和对新领域的创造性，从而在发展过程中不断形成种种数学模型，数学思维，数学方法以及数学结论，数学模型的构建，数学思维的多样化不仅是科学发展的力量，也使我们在解决相关问题时更加灵活。构造法作为解决数学问题的重要思维方法，它没有固定的思维方式，是以广泛的普遍性和特殊性的现实问题为基础，针对具体问题所呈现出来的特点而采取相应的解决问题的办法，应用起来比较灵活，在解决数学问题，特别是数列问题上占有重要地位。历史上不少著名的数学家，如欧几里德，高斯，欧拉，拉格朗日维尔斯特拉斯等，都曾利用构造法成功解决过数学上的难题。构造法历史进程大概可分为这样三个阶段：一是直觉数学阶段，德国的克隆尼克明确提出并强调了能行性，并主张没有能行性就不得承认它的存在性，成为直觉数学阶段的先驱者。他认为定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。另一个强有力的倡导者是彭加勒，他主张所有的定义和证明都必须是构造性的。近代构造法的系统创立者是布劳威，他从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点。二是算法数学阶段。算法数学是由马尔科夫及其合作者创立的，它以递归函数理论为基础，是一种把数学的一切概念都归约算法的构造性方法。马尔科夫用哥德尔数的办法来处理每个函数，每个实数代表一个特定的递归函数等来严格定义每一个概念。他用标准构造性的方法，采纳直觉派逻辑，他所形成的是一种即限制对象的类，又限制可容许证明方法的类的理论。接着，沙宁通过对各种古典理论在马尔科夫算法数学中的模拟物的研究，能够展述分析中象希尔伯特空间和勒贝格积分的构造性理论。马尔科夫的工作使构造性方法进入了“算法数学”阶段，但是，由于这种构造法依赖于递归函数理论的术语，使得这种算法数学外行人读起来十分困难，加之马尔科夫的后继者们似乎对于算法数学实践本身没有对于复杂理论及其在计算机科学上的应用更有兴趣，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。 三是现代构造数学阶段，自1967年比肖泊的书出版以后，构造法进入“现代构造数学”阶段。比肖泊重新建立现代分析的一个重要部分，从而激发了构造法的活力。他研究的课题包含测度论、泛函微积和对偶理论。尤其是测度理论的创立，证明了构造的连续统在一种强的意义下是不可数的，消除了人们对于在实直线上构造可数可加测度的可能性的种种忧虑。比肖泊摆脱了理论方法的不必要的依赖，跨越了直觉数学的自我禁锢，避免了对直觉派的超数学原理的使用，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。为了让一般数学家容易看懂，他采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号。比肖泊为构造法建立了一个更为广泛，更为完整的理论，他在马尔科夫的基础上解决了阅读困难和数学实践上存在的问题，体现出构造法的灵活性、广泛性和实用性，激发了人们对构造思想的认可。1.2 构造法的前景 构造法伴随数学成长，解决了数学中很多难以解决的问题，为数学的发展做出了成就，在以后数学的发展中，构造法还可以用于开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学发展的典型领域之一。因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络，程序的框图，分式的表达式等，也都是构造性很强的问题。同时，构造法还可以用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。此外，拓扑学，特别是维数理论，也是可以为构造法的洞察力提供实例的数学分支，所以也是构造数学有待开发的新领域。- 3 - 第二章 简易构造 第二章 简易构造 2.1 一级构造 所谓一级构造，就是只通过一次模型转换就得出结论的思想方法。一级构造也称为初级构造，它是构造法在数列中应用的基础，也就是说，在利用构造法解决数列题型的问题中，最终都要将题型转变成一级构造的数列表达式形式，所以说，一级构造是构造初步，也是构造法的核心。2.2.1 一级构造的数列表达式一般地，形如（，c,d为常数）的式子，我们称为一级构造的数列表达式。注意：（，c,d为常数）是其中一种一级构造的数列表达式，而不是唯一的一级构造的数列表达式。模型1：在数列中，已知，且数列满足（，c,d为常数），求通项公式。分析：不妨设 即 又 即 （验证：） 数列是以为首项，c为公比的等比数列 从而得出： 结论1（重点结论）: 一级构造的数列表达式（，c,d为常数）的通项公式为： （）。 例1：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解： 不妨设 即 又 即： 数列是以为首项，2为公比的等比数列 从而得出：当时，满足 所以数列的通项公式为2.1.2 超一级构造在一级构造表达式（，c,d为常数）中，d为常数，然而在很多数列题型中，d是一个关于n的函数，于是，我们把形如 （，c为常数，f(n)为关于n的函数）的式子，我们称为超一级构造的数列表达式。下面我们以两种常用的超一级构造的数列表达式（）和（）来讲解超一级构造思想。模型2：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造：不妨设 即 又 （验证：） 数列是以为首项，c为公比的等比数列。 从而得出： 结论2：超一级构造数列表达式（）的通项公式为： （）例2：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。 解2： 不妨设 即 又 数列是以4为首项，2为公比的等比数列。 从而得出： 当时，满足 所以数列的通项公式为模型3：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造： 不妨设 即 又 即 （验证： ） 数列是以为首项，c为公比的等比数列。 ， 从而可得： 结论3：超一级构造数列表达式（）的通项公式为： 例3：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解： 不妨设 即 又 即： 数列是以2为首项，4为公比的等比数列。 从而可得： 当时，满足 所以数列的通项公式为通过观察我们不难发现：我们将超一级构造数列表达式（）两边同时除以，就可以将其转化为一级构造数列表达式（），在引用重要结论就会很快得出答案，我们把这一类型称为二级构造（见下一节）。需要注意的是，不是所有的超一级构造都能转变成一级构造，比如说：超一级构造数列表达式（）就不能转变成一级构造。2.2 二级构造 二级构造是在一级构造的基础上进行讨论的，也就是通过一定的方法取构，能转变成一级构造数列表达式的方法，我们称为二级构造。二级构造在思维上增加了难度，但在对一级构造的理解的基础上来学习二级构造，也是比较容易理解掌握的。由于题型具有多变性，我仅以几种常见的题型来分析构造法在数列中的应用。2.2.1 二级构造的数列表达式1（除法构造）一般的，形如（，是指数函数且）的式子，我们称为二级构造数列表达式。特殊地，当p=1时，（）等差。模型4：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造：将两边同时除以，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 例4：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解：将两边同时除以，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得：（） 从而得出： （） 当时，满足 所以数列的通项公式为2.2.2 二级构造的数列表达式2 (取倒构造)一般的，形如（，c,d为常数且）的式子，我们称为二级构造数列表达式。模型5：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造：将两边取其倒数，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 例5：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解：将两边取其倒数，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 当时，满足 所以数列的通项公式为2.2.3 二级构造的数列表达式3 (取对构造)一般的，形如（，a,b为常数，且）的式子，我们称为二级构造数列表达式。模型6：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造：将两边取其对数，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 例6：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解：将两边取其对数，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 当时，满足 所以数列的通项公式为2.3 三级构造三级构造是一级构造和二级构造的叠加，思维更加缜密，难度要求更大，它结合了地推、替代 、取对等构造方法，逐步转换为最简单的一级构造。这使得构造法在数列中体现得更加完美。以下是两种典型的三级构造模型。2.3.1 三级构造的数列表达式1一般地，形如（，a,b为常数）的式子，我们称为三级构造数列表达式。模型7：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。分析： 构造假设： 则： 又由题意： 相比较得： 从而解得： 于是有：（取倒） 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 例7：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解： 构造假设： 则： 又由题意： 相比较得： 从而解得： 于是有： 设，则 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，即： 从而得出： （）当时，满足所以数列的通项公式为2.3.2 三级构造数列表达式2一般地，形如（，a,b为常数，且）的式子，我们称为三级构造数列表达式。模型8：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。分析： 构造假设： 进一步假设：， 即 ， 可得： . 由题意： . /得： 两边取对数： （取对） 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列。 于是有： 于是得出： 例8：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解： 构造假设： 假设c=2,可得： . 由题意： . /得： 两边取对数： 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列。 于是有： 于是得出： 当时，满足 所以数列的通项公式为- 39 - 第三章 复合构造 第三章 复合函数 3.1特征方程构造法 对于部分题型，我们可以引入特征方程进行构造，比如说：数列满足（，a、b、c、d为常数，且），我们引入特征方程，化解可得：，假设解得方程的两个根为、，若，则可令，则数列是以首项为，公比为c的等比数列；若，则可令，则数列是以首项为，公差为c的等差数列，让后带入，的值可求得c值，进而求出。例1：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解：由特征方程：化解得： 解得： ， 令： 由，得，进而得： 所以数列 是以首项为，公比为的等比数列 故： 解得：3.2 关于的复合构造对于形如（a,b为常数，且都不为0）的数列，我们可以引入特征方程来构造。分析：不放设特征方程的两个根为， . 当时，数列等差 . 当时，不妨设 则： 即： 两边同时除以得： 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 从而解得： . 当时， . . 由-得： 从而解得： . 当特征方程无解时，该数列无意义。例2：在数列中，已知，,且数列满足，求通项公式。解：由特征方程解得： 于是有： 即： 两边同时除以得： 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列 即有： 从而解得： 例3：在数列中，已知，,且数列满足，求通项公式。解：由特征方程解得：， 于是有： . . -得： 所以： 3.3 关于的复合构造对于这一类型的复合数列，我们需要构造一个新数列，使之等差或等比。比如说：对于复核数列求通项，我们可以构造新数列：，即，在令，即，求出的值，而构成了以为首项，为公比的等比数列，进而求出，。例4：在数列中，已知，,且数列满足，求通项公式。解：构造新数列，则有： 令，解得：或 所以数列是首项为，为公比的等比数列 即： 当时，有： . 当时，有： . 联立、得： 从而解得：， 第四章 总结 第四章 总结4.1 知识点总结通过对构造法在求数列通项公式中的应用的研究，构建了多种常用的相关模型，讲述了不同题型的构造思想的常规点和注重点，得出一系列有用的结论。同时，构造法在解题中虽没有固定的模型可套，但有一定的思路可循，我通过对简单数列模型的研究，给读者一定思维的启发，其中的模型也可成为解决其他模型的基础。下面我对本课题涉及到的相关知识点进行总结，让读者能很快的了解本课题的内容，以及能有效的抓住本课题的重点内容。知识点一：一级构造模型： ， 结论： 。它是本课题研究的核心知识点，之所以为核心，是由于它在构造法应用中具有广泛性。知识点二：二级构造模型： ，结论： ； 模型： ，结论： ；模型： ，结论： 。分别应用了除法构造，取到构造和取对构造。知识点三：三级构造模型： ，结论： 模型： ，结论： 知识点四：特征方程模型： ，特征方程：模型： ，特征方程：特征函数一般情况是根据数列表达式中项数的梯度来决定特征函数的次数，如题型的特征方程为，当然，不是说所有的特征方程都符合这一规律，比如说题型 的特征方程为。特征函数的实质是通过一定模型构造，对元的相消转换而得出的方程，我以求题型的特征方程为例来说明：假如存在，为题型的两个根，下面对，两种情况进行讨论:.当时，构造数列： 转换化简得： 由相比较得： 从而可得特征方程：.当时，构造数列： 转换化简得： 由相比较得： 从而可得特征方程：综上可知，题型的特征方程为，或者表示为。知识点五：双数列型题型： ，构造新数列：4.2 课题研究总结本课题通过对简易数列和复合数列两大环节的处理，对十一种常见数列题型的分析，以求数列通项公式为结论，以构造思想为核心，讲述了构造法在求数列通项公式中的应用。其中通过字母代替数字，将特殊性转换成一般性，也得出了许多很重要的公式和思维构造方法。本课题的重点不是对题型的讲解，而是探讨一种构造方法，贯通一种构造思想，题型是千变万化的，只有掌握了方法和思想，在解题中才能得心应手，如鱼得水。在题型设计上，我采用由易到难来布置题型，使读者在思维上层层上进，对我所讲的知识也更容易理解和接受。本课题重点在第二章简易数列和第三章复合数列，其中第二章设计了一级构造、二级构造和三级构造，都属于简单的构造题型，一级构造是构造思想的基础，其中的题型（，c,d为常数）和重点结论（）是需要读者注重记忆的，因为二级构造、三级构造以及更高级的构造都可以逐步构造最终转换成一级构造的形式，而题型（，c,d为常数）是一级构造中最常见的题型，记住该题型和结论可以减少计算量和简化思维。同时，对二级构造和三级构造中的相关题型和结论的熟练掌握，有利于提升构造思维，在面对一些陌生的数列题型时，可以有依靠，也就是有思路，因为构造法就是把陌生的题型转化为熟悉的模型，多掌握一种题型就多有一种思维方法。对于第三章复合数列，在题型的难度上有所增加，其中讲到了一种媒介物质特征函数，它是处理本章内容的重要知识点，只有真正理解特征方程的来源，才能完全理解该类题型。从内容变更上，大致经历了以下变更，论文的选题经过了一次变更，章节的设计经过了两次变更，内容的构造上经过了两次变更。第一，题目的变更。我的论文属于自主命题，刚开始我的论文题目是“构造法在数列中的应用”，内容上设计了数列求通项公式、数列求和、差次数列和高次数列四个板块，但在撰写的过程中，我发现内容太多，不利于突出重点，如果在细节上进行简化，就体现不出构造法的精髓，本论文也就失去了研究的价值，同时，在解决数列求和、差次数列和高次数列与数列求通项公式的构造方法上有异曲同工之处，所以，我决定在内容上简化，只研究数列求通项公式；在细节上加工，注重体现构造法的应用，将题目改为“构造法在求数列通项公式中的应用”。第二，章节的变更。第一次变更是将一级构造，二级构造和三级构造归纳为简易构造，第二次变更是增加了一个章节总结。通过这两次的变更，章节的结构得以完善。第三，内容的变更。内容变更的路线可以归纳为：“题型构造模型构造模型结合题型构造”，也可以归纳为：“数字研究字母研究字母结合数字研究”。经过以上变更，使得在内容上具有一般性，结论上具有特殊性，应用价值上具有广泛适用性。从价值取向看，构造法作为解决数学和生活中的一些模型的重要方法，具有很强的逻辑能力和推理能力，它没有固定思维可套，具有一定难度，但在解决问题中因构造法比较灵活，适应模型广，与其他方法相比具有一定优越性，另外，通过构造思想的学习，可以有效地提升人的思维能力，所以一直成为学术界研究的课题。我以求数列通项公式来讨论构造法，以点带面来讲述构造思想，讲解中完整的体现了题型中利用构造法解题的构造思想，能表达出构造法的精髓，例举的题型也是较简单的和较常用的，通过认真思考是可以理解和掌握的，适合大多数人阅读。 结束语 结束语 上述是我在实习实践中发现学生遇见的问题，通过与相关老师的交流和自己的构思和总结，以及查阅了相关资料，得以完成这次论文的写作。在此次论文的编写过程中，让我学习到了不少东西，无论是知识结构上，还是论文设计上；无论是知识水平上，还是人际关系上，都有很多收获。我也希望此论文能在知识结构，思维方式等各个方面上帮助到读者朋友。下面我对本文在编写过程中的几点考虑作些说明。第一，在编写过程中，力图做到“由浅入深，循序渐进”和“少而精”；注意突出重点，力求论证详细明了，便于读者自学。在模型的证明中，注重构造思想的讲解，希望读者不但了解模型及结论，同时要掌握模型构建的构造思想。第二，考虑到题型的适应范围，本人以字母代替数字，将题型转为模型研究，并形成一定结论。在计算的过程中，可以直接通过结论得出结果，简化了计算过程，同时，通过对模型的记忆，可以增强做题人的构造思维，因为构造法是需要一定的模型作为构造基础的。第三，在加强基本理论科研的同时，注意运算技能的培养和训练。文中所研究的都是比较典型的模型，并配有相关例子。此外，本文研究的内容有限，但数列求和等很多问题与文中模型的构造方法类似，读者可以对感兴趣的相关问题进行探讨。基于上述的考虑，我将内容分章编写，设计为绪论、简易构造、复合构造和总结四个章节，其中，第一章绪论是介绍构造法的历史和构造法对未来的发展，第四章总结是对本文知识点和课题研究两方面的总结，使读者对本文所涉及的内容能更快的了解，第二章简易构造和第三章复合构造是本文的重点，包含了所有构造模型、思维方法和得出的结论。在内容上，以高中数列难度来要求，所选模型均为高中经常遇到的模型，具有代表性，比如一级构造模型，作为数列构造的基础，多数模型构造都会转变为该模型，在利用结论，最终得出结果。本文设计的内容较多，很多结论需要大量题型论证，由于时间匆促，更受科学水平和教学经验的限制，一定存在不少缺点，甚至还有错误之处，恳切希望读者朋友们提出批评和指正。 参考文献 参考文献1.侯繁义，数学思维与数学方法，长春，东北师范大学出版社，1991；2.蒲怡萧，一道题的构造解法J，数学大世界.高中板，2003；3.刘运生、黄建忠，构造法解数学题，广东高等教育出版社，1911；4.黄加卫，给数学构造性解题方法提个醒J，中学数学研究，2006；5.王向群，两类求和问题的又一构造解法，数学通讯，2001；6.邵光华等，数学思维方法与中学数学，北京：北京师范大学出版社，1999；7.宋玉连，构造法在解题中的应用仪，连云港教育学院学报，1999（2）；8.陆加龙、戴志祥，数学教学研究，2002第9期；9.刘光武主编，数列方法论M，北京中华书局出版社，1977；10.叶立军，数学方法论，浙江大学出版社，2008；11.侯敏义，数学思维数学方论，东北师范大学出版社，1991；12.唐晓文、赵利彬，高等代数构造法研究，佳木斯大学学报（自然科学版）， 2002年9月第20卷第3期，352354；13.钱珮玲，数学思想方法与中学数学M，北京：北京师范大学出版社，2005；14.黄斌、杨绵伟，函数构造法在解行列式求解中的应用举例，平顶山工学院学 报，2008年5月，第17卷第3期；15.黄善德，浅谈构造法在解三角题中的应用，四川教育学院学报，2005年4 月第21卷第4期；16.杨麦秀，构造法在数学分析中的应用，太原师范专科学院学报，2001年第2 期，8486；17.沈国仓，略谈构造法在高等数学中的应用，安徽教育学院学报，1999；18.邬洪涛、何平，构造法在高等数学解题中的应用，长春理工大学学报（高教 版），2009年11月，第四卷第11期。 致 谢 致 谢 通过四年的学习，在老师的指导和朋友的帮助下，我收获了多方面的知识，积累了一定的工作经验，懂得了更多生活的哲理；在即将离校之际，我特别感谢在生活中和学习上帮助过我的人。首先，我要感谢我的班导、授课老师以及数计系的所有老师，你们让我增长了不少知识，教会了我不少生活的技巧，帮助了许多我力不能及的事情，特别是我的论文指导老师，为我的论文认真指导，细心批改。我今天所取得的成就，与老师们的辛劳汗水是分不开的。其次，我要感谢我的室友，四年的时间说快也漫长，如果没有你们的陪伴，我不仅会过得寂寞，也会很无助，你们像亲人，让我感受到了温暖，为我的生活添加了不少快乐。最后，我要感谢校内校外的朋友，你们让我学会了珍惜、学会了成长，你们的陪伴，让我在困难面前不退缩，对待生活更有信心，因为有你们，我四年的路程才会走得如此轻松，才会有更多美好的回忆。现在，我把自己多年来撰写毕业论文经验，总结如下，一并赠送给您，希望能帮到您：毕业论文注意事项前言毕业论文（学士学位论文）是本科生毕业设计成果的“固化”与“浓缩”，其规范性历来为指导教师和论文审阅人所重视，几乎系评语中不可或缺之内容。毕业论文的规范性由此可见一斑。各届学生毕业论文中出现的问题比比皆是，笔者将其加以整理，匆匆成文，姑且称之为“毕业论文注意事项”。须指出，本文全部内容乃笔者之见，难免以偏概全、挂一漏万，更无权威性可言，故不敢称之为“毕业论文写作规范”。文中不当之处在所难免，欢迎同仁批评指正，共同商榷，以飨毕业班之学生。或许一些人认为，给一篇毕业论文做“样板”，诸多问题都将迎刃而解；网站上提供论文模版供学生下载更为上策。但笔者必须指出，许多应注意的细微之处，远不是给一篇范文或给一个模版就能做到的，此乃撰本文之初衷。第一章 关于插图11 图号插图要有图号，格式为“图m-n”。其中m为该插图所在的章号，n为本章中该插图的顺序号，m与n均为阿拉伯数字。每一章的插图独立编号。例如第3章的第4个插图标记为“图3-4”。12 图名（图注）图名应确切反映该图的含义，一般为名词性短语，力图简明扼要。图名放于图号后，与图号隔两个全角空格。为便于叙述，不妨将图号与图名并称为“图题”。13 插图的形式插图一般有四种形式，即手绘图、屏幕抓图、扫描图、文件插图。来自电子版参考文献的插图，多数是模糊不清的，故建议用手绘图取而代之。131 手绘图手绘图系指在Word中直接用绘图命令绘制的图。该类插图所占磁盘空间最少，系使用最多的一种插图形式，数据流图、结构图、程序框图一般用此法绘制。绘图所用图例应注意规范。程序框图的选择框要注意标“是/否”或“Y/N”，起始框、终结框注意用圆角矩形（建议使用专门用于画框图的软件Visio画框图）；数据流图的数据线需标数据名称，数据加工与数据存储之间的箭头无数据名称。其他图形的图例参考有关文献。手绘图时必须一丝不苟，搭结欠量、过量均不合格；图中的文字放入文本框中，框内文字注意横纵居中；线框交界处注意匀称；框内文字的笔划宜完整，不得被线框遮盖；文字、线条不得交叉；图中文字尽可能使用统一的字体、字形、字号，其中字号原则上不大于正文字号（以小半号为宜）。微调线条位置、长短时，可将Alt键和箭头键配合使用。观察线条是否存在搭接问题时，可选用500%的显示比例，否则难以看出搭接问题。线条、文字等元素输入完毕后，应选中与所绘之图有关的所有线条、文本框，按鼠标右键，选“组合”，将各元素组合在一起。否则，很有可能排版后“东一只胳膊、西一条腿”，甚至“丢胳膊少腿”。132 屏幕抓图此类图系指使用PrtScreen或Alt+PrtScreen键通过剪贴板获得的图像。采用屏幕抓图制作插图时，应“量身定做”，抓图后不要缩放，以免模糊。133 扫描图如使用扫描图片，分辨率要求为300线，颜色模式为灰度，嵌入文中后不要缩放。134 文件插图文件插图系指使用“插入|图片|来自文件”命令插入的图像。采用文件插图时，尽量不要使用JPG等类型的压缩图片，以免影响打印效果。14 插图的位置尽量将插图与正文中的相关文字说明置于同一页。放入前一页或后一页，乃不得已而为之（例如图太大等）。插图一般居中放置；图题位于插图的下方，用宋体5号字，居中放置；图题与插图放于同一页中，即两者不得跨页。换言之，图题不能位于某一页的页首。一张图一般不得跨页（大的程序框图例外，但需按正规要求标清楚）。15 插图的排版插图很小时，建议使用环绕排版（四周排版），插图前、图题后均应留适当空间，切勿与正文“紧密相连”。第二章 关于表格论文中的表格一般使用Word的表格功能直接制作，使用Excel制作亦可。21 表号表格要有表号，格式为“表m-n”。其中m为该表格所在的章号，n为该章中该表格的顺序号，即每一章的表格独立编号。例如第3章的第4个表格标记为“表3-4”。22 表名表名应确切反映该表的含义，一般为名词性短语，力图简明扼要。表名放于表号后，与表号隔两个全角空格。为便于叙述，不妨将表号与表名并称为“表题”。23 表格尽量将表格与正文中的相关文字说明置于同一页，放入前一页或后一页乃不得已而为之（例如表格太大等）。表格一般居中放置；表题位于表格的上方，用宋体5号字；居中放置；表题与表格放于同一页中，即两者不得跨页。换言之，表题不能位于某一页的页尾。表格本身可以跨页，但次页的表应加一个表头（注意，不是标题，是表头，即表格的首行），或在次页首部加注“（续表）”。24 表格内文字的排版表格内文字应比正文小半号，一般居中放置，但文字量较大且长短不一时，以左对齐为宜。表格设计应美观、大方，表格风格尽量一致，推荐使用三线式表格。表格前、后均应留适当空间，切勿与正文“紧密相连”。第三章 关于摘要51 格式中英文摘要各占一页，首行写“摘要”“ABSTRACT” （“摘要”之间空两格，采用三号字、黑体、居中，与内容空一行）；第三行开始写摘要内容，首行空两格（内容采用小四号宋体）。最后单独列一行，写中英文关键词。关键词一般提供3-5个即可，写于1-2行上，以分号分隔。中文关键词前冠以“关键词：”，靠左；英文关键词前冠以“Key words:”，亦靠左。第二行首个关键字与第一行的首个关键字对齐。具体要求参见模板。52 内容课题的意义，工作方法，结果与结论，后续研发建议等。摘要中不可大段大段地引用正文中的段落。切忌使用自动翻译工具将中文摘要翻译为英文摘要。第四章 关于目录41 目录的制作目录必须由Word自动生成，不得手工输入，以免后患无穷。制作方法：先使用格式工具栏的第一个图标将各级标题“格式化”，再使用“插入|索引和目录”便可自动生成。目录生成后，在首行加上“目录”二字，采用黑体三号字，居中。目录只列到三级，一、二、三级标题依次内缩一字，分别采用四号、小四号、五号宋体。42 目录页的位置目录页位于正文第一页之前。正文首页为论文第一页。目录右端的页号应对齐。目录页超过一页时，应有页码，一般采用大写罗马数字，以区别于正文。注意：目录之前的各页均无页号、无页眉。第五章 关于正文50 关于页面 新的一章应换页。正文任何一页的尾部均不得留很多空行（一章的末页除外）。图表过大，致使本页剩余空间容纳不下时，可将其放于次页，并将其后的文字上提至前一页。编了号的图表，原则上可放于正文的任何一页，但通常与正文中的说明性文字不要相隔甚远。只有正文才有页眉。换言之，正文之前的各页无页眉；自“参考文献”起，以后各页亦无页眉。正文各页的页脚只有页码，且居中放置。51 关于体例第一章 章标题（黑体、小三号、居中）1.1节标题（黑体、四号、顶格）1.1.1小节标题（黑体、四号、顶格）一、段落标题1（宋体、小四号、空2格、用1.25倍行间距）1. 段落标题2(1)段落标题3段落标题4论文正文注意：无论哪一级标题，尾部均无标点符号。不得悬空出现一个标题，如：系统的基本原理提示：根据往届学生论文情况，各级序号尽量不用Word自动生成，以免格式难以控制。52 关于字体、字形、字号、行距、字距（按模版）正文一般用小四号宋体，行距采用1.5倍，字距采用默认值。53 关于分页新的一章开始，要换页，但不要用多个回车进行分页（否则后患无穷），而要用Enter（即Ctrl+Enter）插入换页符；标题不得位于一页的末行；图题不得位于一页的首行（前已提及，此处强调）；表题不得位于一页的末行（前已提及，此处强调）；不能因图表过大而提前换页（即将大的图表放入次页）；可将后页的部分文字提到前页来解决此问题。54 关于文献引用引用文献处，用n以上角标形式标注，其中n为参考文献序号。文献引用属正常现象，无可厚非，但忌讳大量抄录，尤其是整章整节内容大肆抄袭。软件介绍、开发工具介绍、数据库原理介绍宜少花笔墨。而且，所“写”内容出自何文献，需以此方法注明（通俗地讲，抄自何处，应让人一目了然）。55 关于图表只要出现插图或表格，在正文中必须要有相应的说明。例如：“系统的数据流图如图3-1所示”，“数据字典示于表3-1”，等等（前已提及，此处强调）。不得出现“如下图所示”、“如下表所示”之列的句子。图表中的文字应注意严肃性，严禁出现不良人名、地名，忌讳影星、歌星名字或影视作品中的人名。56 关于段落段首严格空两个汉字的位置。应使用标尺进行控制，不要使用4个半角空格或2个全角空格代之。除特殊情况外，段落一般使用“两端对齐”，以免右侧参差不齐，尤其是英文。57 关于标点1凡中文叙述之处，均使用全角标点符号；破折号“”与省略号“”必须规范（在微软拼音方式下，分别用“Shift+-”和“Shift+”输入，前者亦可用Alt+Ctrl+.输入），不得用其他符号替代。外国人名字的姓与名之间用“ ”分隔，不得以“.”或“”代替。表示区间、范围时，使用“”，不使用“”（参考文献页码范围使用“-”）。2凡英文叙述之处，均使用半角标点符号；且注意英文无顿号，代之以逗号；英文无书名号，代之以斜体排版。3凡是程序中涉及标点符号的，一律用半角符号（双引号应显示为“”，单引号应显示为“”），但程序中的注释例外。4写完文章后，要多检查几遍，注意文中标点的正确使用。58 关于错别字1多数同学使用拼音法输入汉字，同音别字非常之多，如“仪器”误输为“一起”，“及其”误输为“机器”，“登录”误输为“登陆”，“清晰”误输为“清洗” ，“指导”误输为“直到”特别注意：“登陆”二字在学生论文中大量出现，希望使用Word的查找命令检查一下是否出现之。2写完文章后，要多检查几遍，注意文中错别字问题，尤其是“的、地、得”的误用问题（本科生的论文中大量出现此类问题）。59 关于缩略语、外来语、文件名、软件名称及其版本号1缩略语正文中首次出现缩略语时应给出原文。形式如下：MIS（Management Information System，管理信息系统）顺便说明一下，重点术语，即使非缩写，亦应给出原文。2外来语外来语大小写应统一。例如：Internet，INTERNET，internet应统一为Internet，不可混用。3文件名文件名（特别是扩展名）一般应大写。4软件名称以及版本号介绍软件名称以及版本号时，要注意在软件名和版本号之间加一个半角的空格，如：Windows2000（错误）、Windows 2000（正确）。Windows不可写为Window。软件名称中，字母的大小写应前后一致。常用软件名称的写法如下：PowerBuilder 9.0, FoxPro 2.5, VFP 6.0, VB 6.0, VC+ 6.0, C+Builder, C#, Delphi, ASP, SQL Server 2000，Oracle 9i，Sybase SQL Anywhere等。510 关于句子1要做到语法正确、句子通顺，注意语义连贯性，杜绝病句。一般句子要求有主语、谓语，及物动词还应带宾语（本不该在此提及此类“小儿科”之事，但毕业论文中的的确确存在着大量病句，尤以无主句为盛。要反反复复、认认真真地读每一个句子，复读数十遍，毛病必自现）。以祈使句描述某一过程时可以使用无主句，特殊情况下也可以使用无主句。例如：“为了提高CPU超频的成功率，可把其核心电压提高0.1-0.2伏”。2要用书面语，忌用口头语，忌用“网络语言”，忌用非专业术语。“这个问题前面已经说过了，所以这里就不多说了。” （不好）“该问题前已提及，此处不复赘述。”（好）“运行了N多遍。”（极差）“文件的后缀”应改为“文件的扩展名”。3用语简明扼要，切忌啰嗦。“由于毕业设计只有三四个月的时间，比较短，所以该系统免不了还有许多不尽如人意的地方，这些都有待于在下一个版本中进行进一步的完善。”（不好）“因时间所限，系统不尽人意之处在所难免，尚有待进一步完善。”（好）4中文句、英文句应严格区分，不要土洋结合，不伦不类。“使用起来非常easy，只需点一下mouse就OK了。” （不好）511 关于称谓每篇论文均系一人所作，故不要张口闭口地用“我们”。“我”字在科技论文中显得过于乏味，可代之以“笔者”、“本人”。512关于程序大量的程序不宜出现于正文中，但少量程序、核心代码或脚本可以穿插于正文之中；量大时建议放于附录中，不要给人以充字数之嫌。513 关于计量单位介绍内存、外存容量以及软件的大小时，注意将单位写清楚、写规范。如：353K（错误）、353KB（正确）、256M（错误）、256MB（正确）。514 关于下载地址介绍软件下载地址时，一定要有最终地址，不要写成之类的，而要写成/downloads/cfan.exe之类。正文中尽量避免出现下载地址，最好放于参考文献中。515 关于表达式（含方程等）公式、表达式一般应居中排版。若带有编号，编号应加圆括号，并靠右对齐。例如：a2+b2=c2 (2-1)公式如有上、下角标，应正确使用。变量应使用斜体排版，常量用正体排版。建议使用word的公式编辑器进行排版。第六章 关于封面“毕业论文”一行的下面直接写论文题目，不必画蛇添足，多写“题目：”二字。你见过哪本书的封面上写着“书名：XXXXXX”吗？姓名为两个字时，中间应加两个空格。班级名应规范化。本校计算机专业全称为“计算机科学与技术”。第七章 关于参考文献工大学报几乎每篇文章最后均附有参考文献，其格式十分正规，分为著作、论文、网文、学位论文等几类，格式各异。参考文献以正文中引用的先后次序排列。以下分别是著作、学位论文和期刊的例子：1 王兴业，唐羽章复合材料力学性能M长沙：国防科技大学出版社，1988：3663822 李玉彬环氧树脂电子束固化机制与应用基础研究D北京：北京航空航天大学，20053 武德珍，宋勇志，金日光PVC/弹性体/纳米CaCO3 复合体系的加工和组成对力学性能的影响J复合材料学报，2004，21(1)：119124第八章 关于结束语写毕业设计的收获、感想、不足，以及哪些地方尚可改进。忌讳大段引用正文中的句子。第九章 关于翻译最好写明所译材料的出处，最好提供原书的影印件（建议使用扫描仪扫描）。所译之材料在内容上最好有一定的相对独立性，且应有标题，内容尽量与所做课题接近。第十章 关于谢辞91 称谓问题谢辞中，“感谢指导教师XXX”显得不够礼貌，“XXX”后应有个称谓（博士、教授、老师、先生、女士、同志）。92 病句与错别字问题921 病句的典型例子及其改法（1）“感谢单位领导的大力支持，使我在繁忙的工