2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A版.docx

2.2.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.(难点)基础初探教材整理1双曲线的定义阅读教材P45，完成下列问题.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.()(2)点A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，则点C的轨迹是双曲线.()(3)到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是两条射线.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2双曲线的标准方程阅读教材P46P47例1以上部分，完成下列问题.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()(2)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.()(3)双曲线x21的焦点在y轴上.()【答案】(1)(2)(3)小组合作型双曲线定义的应用(1)双曲线1上一点A到点(5,0)的距离为15，则点A到点(5,0)的距离为()A.7B.23C.7或23D.5或25(2)如图221，双曲线1(a0，b0)的焦点为F1，F2，过点F1作直线交双曲线的左支于点A，B，且|AB|m，则ABF2的周长为_.图221【自主解答】(1)易知双曲线的焦点坐标分别为F1(5,0)，F2(5,0)，|AF1|AF2|8，所以|AF1|7或23.(2)因为所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4a.又因为|AF1|BF1|AB|m，所以|AF2|BF2|4am.所以ABF2的周长为|AF2|BF2|AB|4a2m.【答案】(1)C(2)4a2m双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的.定义中|PF1|PF2|2a|F1F2|，包含|PF1|PF2|2a和|PF1|PF2|2a，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”.涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解.再练一题1.已知圆M1：(x4)2y225，圆M2：x2(y3)21，一动圆P与这两个圆都外切，试求动圆圆心P的轨迹.【解】设动圆的半径是R，则由题意知两式相减得|PM1|PM2|4|M1M2|5，所以动圆圆心P的轨迹是以点M1(4,0)、M2(0，3)为焦点的双曲线中靠近焦点M2(0,3)的一支.求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)经过点P，Q；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上；(3)a4，c5. 【导学号：97792021】【精彩点拨】本题主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程，求解时注意先定位再定量.【自主解答】(1)法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得(舍去).若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得解之得所以双曲线的标准方程为1.法二设双曲线方程为1(mn0，b0).依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21.法二焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06).双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去).所求双曲线的标准方程是y21.(3)a4，c5，b2c2a225169，所求双曲线的标准方程为1或1.1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型并设出标准方程.(2)求出a2，b2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2By21(AB0)来求解.再练一题2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4；(3)求经过点(3,0)，(6，3)的双曲线的标准方程.【解】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0).由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得a220，b216.故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(，4).设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，解得故所求双曲线的标准方程为1.探究共研型双曲线中的焦点三角形问题探究在解决双曲线的焦点三角形问题时，常与哪些知识点结论？【提示】双曲线的定义，正余弦定理，勾股定理等.若F1，F2是双曲线1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积.【精彩点拨】【自主解答】由双曲线方程1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，将此式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如图所示，在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF20，F1PF290，S|PF1|PF2|3216.1.本题在解题过程中运用了方程的思想，在解方程时，又运用了整体代换的思想.2.在解焦点三角形的有关问题时，一般利用两个关系式：(1)利用双曲线的定义可得|PF1|PF2|的关系式.(2)利用正余弦定理可得|PF1|，|PF2|的关系式，然后可以求解出|PF1|，|PF2|.但是，一般我们不直接求出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，|PF1|PF2|等看成一个整体来处理.再练一题3.设双曲线1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上.(1)若F1MF290，求F1MF2的面积；(2)若F1MF260，求F1MF2的面积. 【导学号：97792022】【解】(1)由双曲线方程知a2，b3，c，设|MF1|r1，|MF2|r2(r1r2).由双曲线定义得r1r22a4，两边平方得rr2r1r216，即|F1F2|24S16，即4S5216，S9.(2)若F1MF260，在MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2rr2r1r2cos 60，r1r236，则Sr1r2sin 609.1.双曲线1的焦点坐标为()A.(，0)，(，0)B.(0，)，(0，)C.(5,0)，(5,0)D.(0，5)，(0,5)【解析】由双曲线的标准方程，知a4，b3，所以c5.又由于焦点在x轴上，故选C.【答案】C2.已知方程1表示双曲线，则k的取值范围是()A.1k1B.k0C.k0D.k1或k1【解析】方程1表示双曲线，则(1k)(1k)0，(k1)(k1)0，1k1.故选A.【答案】A3.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.【解析】由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.【答案】164.若点P到点(0，3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为_.【解析】由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c3,2a2，则a1，b2918，所以点P的轨迹方程为y21(y1).【答案】y2