第十一章 Fourier变换.doc

第十一章 Fourier变换(13)一、内容摘要1积分变换法：积分变换方法的基本思想是把某函数类中的函数经过某种可逆的积分手续变成另一函数类中的. 称为的象函数或象, 称为的原象。在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以到原问题的解。2Fourier变换： 称为函数的Fourier变换, 称为的Fourier逆变换(也称作函数的Fourier积分表达式)。Fourier变换和逆变换还可以表示为如下对称形式： 3Fourier变换的性质（1）线性性质 若为任意常数，则对任意两个函数有（2）延迟性质 设为任意常数，则 （3）位移性质 设为任意常数，则 （4）相似性质 设为不为零的常数，则 （5）微分性质 若时，则有 （6）积分性质 （7）卷积性质 ，其中卷积定义为：（8）像函数的卷积定理 4Fourier 积分定理设在上有定义且： （1）在任意有限区间上满足Dirichlet条件； （2）在整个实轴上绝对可积。则Fourier积分公式： 在的连续点成立，且在第一类间断点，积分收敛于5函数的Fourier变换：6高维Fourier变换：设 ，则7微分方程的基本解：线性微分方程的解称为线性微分方程的基本解。根据叠加原理，如果是的基本解，则有：二、习题1填空题（1）设函数的Fourier变换，则的Fourier变换为_（2）(其中为常数)=_ ；_；=_（3）设为实常数，且的傅里叶变换存在，则_2证明：（1） （2）3求的傅里叶变换式。4求下列函数的傅里叶变换：（1） （2）5用傅里叶变换解无界弦的振动问题： 6求解质量为，具有阻尼的（经典）谐振子的受迫振动方程，其中是已知函数是常数。7无限长梁在初始位移和初始速度下的自由振动可归结为求解下列定解问题： ，试求解该定解问题。8求解无限长细杆的热传导问题9求解弦振动的Cauchy问题：三、参考答案1填空题（1）（2），（3），2证明：（1）因为的正弦傅里叶变换为，再用得： 于是，证毕。（2）因为，利用得：，于是：，证毕。3解：（1）（2）（3）4解：（1）（2）注意到在中是偶函数，于是由Fourier变换公式有：5解：令的傅里叶换式为，。附加上自然边界条件，则有：，所以，原来的偏微分方程，经傅里叶变换后，变为常微分方程。初始条件也作相应的变换。因为，故满足的初始条件为： 代入反演公式，就求得：6解：记；对方程中各项施行傅氏变换，则由线性性质和微分性质有：，所以，由查表和位移性质可知：，其中，称为Heaviside单位函数或阶梯函数。故：对上式两边取傅氏逆变换并用卷积定理，立即可得所求受迫振动方程的特接记为，以示区别为：，从而解得原问题的解为：，其中：是原问题所对应的齐次方程的线性独立解，是任意常数。7解：（1）记，则定解问题变为： （2）解定解问题得：（3）求得逆变换得：8解: 对方程作Fourier变换，并设 , ,原问题变为：这个常微分方程的初值问题的解是：对U进行Fo