第4课时函数的反函数

第二章函数,第4课时函数的反函数,1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.如果用y表示x，得到x=(y)，且对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有惟一确定的值和它对应.那么就称函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数.记作x=f-1(y)一般改写为y=f-1(x),2.反函数的性质反函数y=f-1(x)的定义域和值域分别是原函数y=f(x)的值域和定义域,互为反函数的两个函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,3.函数存在反函数的条件(1)从值域到定义域按照原函数所确定的对应法则是一个映射,这是函数存在反函数的一个充要条件;(2)严格单调函数是函数存在反函数的一个充分不必要条件.,4.一些注意点(1)奇函数不一定存在反函数,如f(x)=0(xR);(2)偶函数可能存在反函数,如f(x)=1(x0);(3)ff-1(a)=f-1f(a),例题,1.函数y=3-x-1(x0)的反函数是_2.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=x-1(x0)，那么函数y=f(x)的定义域是_,y=-log3(x+1)(x0),-1，+）,3.函数f(x)=-x2(x(-,-2的反函数是_4.已知函数f(x)的图象关于直线y=x对称,则实数m的值是_,-1,5.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1，则f(1)等于()(A)0(B)1(C)-1(D)4,C,6.求下列函数的反函数：(1)y=1/2ln(x-5)+1(x5)；(2)y=x2+2x(x0),解题分析:本题只需将它看成关于x的方程,并解出这个方程即可.,【解题回顾】由函数y=f(x)求它的反函数y=f-1(x)的一般步骤是：(1)判断y=f(x)是否存在反函数(但书写时，此步骤可以省略)；(2)若存在反函数，由y=f(x)解出x=f-1(y);(3)根据习惯，对换x、y，改写为y=f-(x)；(4)根据y=f(x)的值域确定反函数的定义域,6.求下列函数的反函数：(1)y=1/2ln(x-5)+1(x5)；(2)y=x2+2x(x0),7.已知函数f(x)=2x/(1+2x)(xR)，求f-1(1/3)的值,解题分析:,7.已知函数f(x)=2x/(1+2x)(xR)，求f-1(1/3)的值,解题分析:,【解题回顾】求f-1(a)的值，解一是先求函数f(x)的反函数f-1(x)，再求f-1(a)的值；解二是根据原函数f(x)与它的反函数f-1(x)的定义域与值域间的关系，转化为求方程f(x)=a解的问题,解一是常规解法，解二较简便.,7.已知函数f(x)=2x/(1+2x)(xR)，求f-1(1/3)的值,8.若函数f(x)=ax+k的图象过点A(1，3)，且它的反函数y=f-1(x)的图象过点B(2，0)，求f(x)的表达式.,返回,解题分析：y=f-1(x)的图象过点B(2,0)y=f(x)的图象过点B(0,2),【解题回顾】若函数f(x)存在反函数f-1(x)，则f(a)=b,f-1(b)=a.,9已知函数，求它的反函数，并作出反函数的图象,延伸拓展,返回,解题分析:分段函数,要求它的反函数,只需在区间0,1与-1,0)上分别求出x即可.,所求函数的反函数是,9已知函数，求它的反函数，并作出反函数的图象,返回,所求函数的反函数是,x,y,O,在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间