2012高考数学解题技巧【专题3】转化与化归思想

【专题三】转化与化归思想 【考情分析】 数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法 的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。 预测 2011 年高考对本讲的考查为： （1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。 （2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 （4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】 所谓转化与化归思想就是把待解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的 方法将实际问题数学化、陌生问题熟悉化、抽象问题具体化、复杂问题简单化，最后归结到某个或某些 已经解决或比较容易解决的问题上来解决原问题的数学思想。从某种意义上说，数学题的求解都是应用 已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。 1转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后 的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程 化有理方程要求验根） ，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化 的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合 A，而把包含该问 题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U 及补集获得原问题的解决。ACU 3化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解 决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目 的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式， 或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求， 使问题获解。 【思想方法】 题型 1：集合问题 例 1 （2007 年湖南文 14）设集合 ，的取值范围是 ；,|2|,0 ,|,Ax yyxxBx yyxbAB b 若且的最大值为 9，则,x yAB2xy 的值是 。b （2）已知函数 12)2(24)( 22 ppxpxxf ,在区间 1 , 1 上至少存在一个实数c使 0)(cf ,求实 数 p的取值范围. 解析：（1）；由图象可知2)， 9 2 的取值范围是；若b2)， 则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所 0+2b=9，所以 b=,x yAB2xy 9 2 （2）分析:运用补集概念求解 解答：设所求 p的范围为 A,则 ACI 22 2)2(24)( 1 , 1pxpxxfp上函数在 01 p 注意到函数的图象开口向上 2 3 3 012) 1( 0932) 1 ( 2 2 ppp ppf ppf pACI或 2 3 3PPA 点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽 象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。 题型 2：函数问题 例 2 （1）已知函数 , 满足 , 153 23 553 23 ，求 a 的值； （2） （2010 年高考山东卷理科，22 题）已知函数.)( 1 1 1)(Ra x a axnxxf （）当时，讨论的单调性；（）设时，若对任意 2 1 a)(xf 4 1 . 4 2)( 2 abxxxg当 ，存在，使，求实数的取值范围.)2 , 0( 1 x2 , 1 2 x)()( 21 xgxfb 解析：（1）构造函数 , 3) 1(2) 1(53)( 323 xxxxxxf 2 2 b 则有 . 5 )(, 1)(ff 又 tttg2)( 3 在 R 上是单调递增的奇函数，且 . 2 3)() 1(fg , 23)() 1(fg 故 211)1 () 1() 1(ggg 。 （2）解：（）因为 1 ( )ln1 a f xxax x 所以 2 22 111 ( )(0,) aaxxa fxax xxx 令 2 ( )1,(0,)h xaxxa x （1）当0, ( )1,(0,)ah xxx 时 所以，当，函数单调递减；(0,1), ( )0,( )0 xh xfx时此时( )f x 当时，此时单调递(1,)x( )0h x ( )0,fx函数f (x) （2）当0a 时, 由f (x)=0 即，解得 2 10axxa 12 1 1,1xx a 当时，恒成立， 1 2 a 12, ( ) 0 xx h x 此时，函数在（0，+）上单调递减；( )0fx( )f x 当 11 0,110 2 a a 时 时，单调递减；(0,1)x( )0,( )0,( )h xfxf x此时函数 时，单调递增； 1 (1,1)x a ( )0,( )0,( )h xfxf x此时函数 ，此时( )0fx，函数( )f x单调递减； 1 (1,), ( )0 xh x a 时 当时，由于0a 1 10 a 时，此时，函数单调递减；(0,1)x( )0h x ( )0fx( )f x 时，此时，函数单调递增。(1,)x( )0h x ( )0fx( )f x 综上所述： 当时，函数在（，）上单调递减；0a ( )f x 函数在（，）上单调递增；( )f x 当时，函数在（0，+）上单调递减； 1 2 a ( )f x 当时，函数在（0，1）上单调递减； 1 0 2 a( )f x 函数在上单调递增；( )f x 1 (1,1) a 函数上单调递减， 1 ( )(1,)f x a 在 （）因为，由（）知， 11 (0, ) 22 a ，当， 12 1,3(0,2)xx(0,1)x时, f (x)0 函数单调递减；当时，( )f x(1,2)x( )0fx 函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为( )f x( )f x 1 (1) 2 f 由于“对任意，存在，使”等价于 1 (0,2)x 2 1,2x 12 ()()f xg x “在1，2上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）( )g x( )f x 1 2 又，所以 22 ( )()4,1,2g xxbbx 当时，因为，此时与（*）矛盾；1b min ( )(1)520g xgb 当时，因为，同样与（*）矛盾；1,2b 2 min ( )40,g xb 当时，因为(2,)b min ( )(2)84g xgb 解不等式，可得 1 84 2 b 17 . 8 b 综上，的取值范围是b 17 ,). 8 点评：通常函数的最值要转化为导数处理，要理解不等式恒成立与函数的最值的等价变换关系，提 高自己综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 题型 3：不等式问题 例 3 （1） （2010 全国卷 2 文数，5)若变量 x,y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（ 1 325 x yx xy ） （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 （2） （2010 天津理数 16）设函数 2 ( )1f xx，对任意 2 , 3 x ， 2 4( )(1)4 ( ) x fm f xf xf m m 恒成立，则实数m的取值范围是 . 解析：（1）C：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，即为 yx325xy （1，1） ，当时，。 1,1xy max 3z 评析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本题主要 考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。 （2） 【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。 依据题意得 2 2222 2 1 4(1)(1)14(1) x mxxm m 在 3 ,) 2 x上恒定成立，即 2 22 132 41m mxx 在 3 ,) 2 x上恒成立。 当 3 2 x 时函数 2 32 1y xx 取得最小值 5 3 ，所以 2 2 15 4 3 m m ，即 22 (31)(43)0mm，解 得 3 2 m 或 3 2 m 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的 方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅 助函数的性质，从而达到解题目的。 题型 4：三角问题 例 4 （1）（2010 年全国 I 理， 2）记,那么cos( 80 )k tan100 A. B. - C. D. - 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 解答：，所以 222 sin801 cos 801 cos ( 80 )1 k tan100tan80 故本题选 B. 2 sin801 . cos80 k k 点评：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切 互化这一转化思想的应用。 （2）若，则（ ）0 4 ，sincossincosab ABabab CDab 1ab 2 解析：若直接比较 a 与 b 的大小比较困难，若将 a 与 b 大小比较转化为的大小比较就容易多ab 22 与 了。 因为ab 22 1212sinsin， 又因为022 2 所以，所以sinsin22ab 22 又因为，所以ab， 0ab 故选（A） 。 点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域） 、最值、 比较大小等问题。 题型 5：数列问题 例 5 （2010 辽宁理数，16）已知数列 n a满足 11 33,2 , nn aaan 则 n a n 的最小值为_. 【答案】 21 2 【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考 查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n 所以 33 1 n a n nn 设( )f n 33 1n n ，令( )f n 2 33 10 n ，则( )f n在( 33,)上是单调递增，在 (0, 33)上是递减的，因为 nN+,所以当 n=5 或 6 时( )f n有最小值。 又因为 5 53 55 a ， 6 6321 662 a ，所以， n a n 的最小值为 6 21 62 a . 点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义 在正整数集（或它的有限子集）上的函数。 如等差数列的通项公式，前 n 项的和公式 anaa n 1 ()()nddnad1 1 。当时，可以看作自变量 n 的一次和二次函数。因此利Sna n n d d na d n n 1 2 1 1 222 () ()d 0 用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强 应用函数思想解题的意识。 题型 6：立体几何问题 例 6 （1）如果，三棱锥 PABC 中，已知 PABC，PA=BC=l，PA，BC 的公垂线 ED=h求证三 棱锥 PABC 的体积。 2 1 6 Vl h 分析：如视 P 为顶点，ABC 为底面，则无论是 SABC以及高 h 都不好 求如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可 走出困境 解析：如图，连结 EB，EC，由 PABC，PAED，EDBC=E，可得 PA面 ECD这样， 截面 ECD 将原三 棱锥切割成两个分别以 ECD 为底面，以 PE、AE 为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于 PE+AE=PA=l，所以 VPABC=VPECD+VAECD=SECDAE+SECDPE=SECD PA 1 3 1 3 1 3 =BCEDPA=。 1 3 1 2 2 1 6 Vl h 点评：辅助截面 ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。 （2）如图，在三棱锥 S-ABC 中，S 在底面上的射影 N 位于底面的高 CD 上，M 是侧棱 SC 上的一点，使 截面 MAB 与底面所成角等于NSC。求证：SC 垂直于截面 MAB。 （83 年全国高考） 分析：由三垂线定理容易证明 SCAB，再在平面 SDNC 中利用平面几何知识证明 SCDM。 证明：由已知可得：SN底面 ABC，ABCD，CD 是斜线 SC 在底面 AB 的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面 SDNC MDC 就是截面 MAB 与底面所成的二面角 由已知得MDCNSC 又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt 即 SCDM 所以 SC截面 MAB。 点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时 运用平面几何知识。 题型 7：解析几何问题 例 7 （1）设 x、yR 且 3x 2y 6x，求 x y 的范围。 2222 分析：设 kx y ，再代入消去 y，转化为关于 x 的方程有实数解时求参数 k 范围的问题。其中要 22 注意隐含条件，即 x 的范围。 解析：由 6x3x 2y 0 得 0x2。 22 设 kx y ，则 y kx ，代入已知等式得：x 6x2k0 ， 22222 即 kx 3x，其对称轴为 x3。 1 2 2 由 0x2 得 k0,4。 所以 x y 的范围是：0x y 4。 2222 另解：数形结合法（转化为解析几何问题）： 由 3x 2y 6x 得(x1) 1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x y 的范 222 y 2 3 2 22 围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是 0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与 椭圆相切的切点。设圆方程为 x y k，代入椭圆中消 y 得 x 6x2k0。由判别式368k0 222 得 k4,所以 x y 的范围是：0x y 4。 2222 再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）： 由 3x 2y 6x 得(x1) 1，设，则 222 y 2 3 2 x y 1 6 2 cos sin x y 12coscos sin 12coscos 222 3 2 2 3 2 1 2 2 cos 2cos0,4 1 2 2 5 2 所以 x y 的范围是：0x y 4。 2222 点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思 维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题， 属于问题转换题型。 （2） （2005 全国卷（理）第 15 题）：ABC 的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为 H，O m（） ，则实数 mOHOAOBOC 分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设ABC 是以A 为直角的直角三角形，则为斜O 边 BC 上的中点，H 与 A 重合，于是得出 m1。OAOBOCOAOH 点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题， 定值问题也可以用这样的思路。 题型 8：具体、抽象问题 例 8 （2004 浙江卷（理）第 12 题）：若 f（x）和 g（x）都是定义在实数集 R 上的函数，且方程 xfg（x） 0 有实数解，则 gf（x） 不可能是（ ） （A）x2x （B） x2x （C）x2 （D）x2 5 1 5 1 5 1 5 1 分析：本题直接解不容易，不妨令 f（x）x，则 fg（x） g（x） ，gf（x） g（x） ， xfg（x） 0 有实数解即 xg（x）0 有实数解。这样很明显得出结论，B 使 xg（x）0 没有 实数解，选 B 这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数 型 f（xy）f（x）f（y）m，对数函数型 f（xy）f（x）f（y） ，幂函数型 f（xy）f（x） f（y） 。 点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽 象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。 题型 9：正难则反转化问题 例 9 （2005 全国卷第 15 题）：在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中， 不能被 5 整除的数共有个。 分析：不能被 5 整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注 意到不能被 5 整除实质上是末位数字不是 0，也不是 5。用间接法。 所有四位数有300 个， 1 5 A 3 5 A 末位为 0 时有60 个， 3 5 A 末位为 5 时有48 个， 1 4 A 2 4 A 满足题意的数共有 3006048192 个。 点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入 手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。 “正难则反” 是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。 题型 10：实际应用问题 例 10把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是 P，怎样设计才能使冲成的零 件面积最大？并求出它的最大面积。 分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。 解析：如图，设矩形的一边长为 x,则半圆的周长为 2 x 矩形的另一边长为=) 2 ( 2 1x xPAB 4 )2(2xP 设零件的面积为 S，则 S= 2 1 xx2 4 4 )2(2xP x P x 28 4 2 a0 当时，S 有最大值，这时 AB=。 4 2 2 P a b x 4 P 当矩形的两邻边 AB 与 BC 之比为 12 时，Smax=。 28 2 P 点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。 【思维总结思维总结】 1熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、 比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上 的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。 “抓基础，重 转化”是学好中学数学的金钥匙。 2为了