2013-2014年物理奥林匹克竞赛国家集训队---热学练习题答案解析

2013-2014年物理奥林匹克竞赛国家集训队 热学练习题姓名： 所在中学： 成绩： 注意：必须写出完整步骤，否则得不到步骤分。答卷请勿涂改，无法看清的地方一律不给分。 1、（12分）一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使它形成从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？2、（12分）一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.010-3 2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 ？3、（12分）若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的厚度为H的均匀气体球壳，试证：这层球壳厚度H就是大气标高。4、（12分） 标准状态下氦气的粘度为，氩气的粘度为，他们的摩尔质量分别为M1和M2.。试问：（1）氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面和氩原子与氩原子的碰撞截面之比等于多少？（2）氦的导热系数与氩的导热系数之比等于多少？（3）氦的扩散系数与氩的扩散系数之比等于多少？（4）此时测得氦气的粘度和氩气的粘度。用这些数据近似的估算碰撞截面。5、（12分） 在热水瓶里灌进质量为m=1.00 kg的水，热水瓶胆的内表面S=700 cm2,瓶胆内外容器的间隙d=5.00 mm,间隙内气体压强p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内的水温从90降为80，取环境温度为20。6、 (12分)加热室A（1000）中蒸发出来的铍原子（相对原子质量为9）经小孔逸出，再经狭缝准直器B而形成原子束，最后进入另一真空室D中，（1）原子束将与真空室背景分子进行碰撞，若进行1m后其原子束强度（单位时间内通过的原子数）减少为1/e。真空室温度为300K，试问真空室压强多少？设铍原子与真空中分子的碰撞截面为，忽略铍原子间的碰撞。（2）铍原子束的平均速率是多少？（3）铍原子进行1m所需平均时间是多少？（4）估计铍原子束撞击容器壁所产生的压强（设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为），因真空室室温较低，所有撞击在容器壁上的铍原子均沉积在器壁上），将这一压强与真空室中气体压强进行比较。7、 (12分) 声波可在气体管中形成驻波。现用1000Hz的声波在碘蒸气管中做实验，在温度为400K时，测得管内形成的驻波的相邻波节间距为6.77cm。试问：（1）声波的波速是多少？（2）管内碘蒸气分子是单原子分子还是双原子分子？为什么？已知碘的相对原子质量为127，声波在气体中的传播速度满足关系，其中为气体密度，为气体的绝热压缩系数 ， 下标“s”表示绝热过程。8、(16分) 绝热壁包围的汽缸被以绝热活塞分割成A、B两室。活塞在汽缸内可无摩擦的自由滑动。A,B内各有1mol的双原子理想气体。初始时气体处于平衡态，它们的压强、体积、温度分别为p0,V0,T0.A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为2p0,试问：（1）最后A,B两室内气体温度分别为多少？（2）在加热过程中，A室气体对B室做了多少功？加热器传给A室气体多少热量？（4）A,B两室的总熵变是多少？1、（12分）一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使它形成从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？分析：开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为100K以后,长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为100K以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用p=nkT公式。解：因为管子是一端开口的，所以。显然，管子中气体的温度分布应该是（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑xx+dx一段气体,它的分子数密度为n(x),设管子的横截面积为S,考虑到p=nkT,则这一小段中的气体分子数为管子中气体总分子数为利用（1）式可得管中气体最后的压强是p1（）,温度是T，.则由上面两式相等,最后可以计算出即：管中气体最后的压强为。2、（12分）一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.010-3 2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 ？分析： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 来解。应该注意, 容器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 到 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 变化为 , 其中 就是在 时间内泻流流出去的分子数, 列出 和 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。解： 在 时间内在面积为 的小孔中流出的分子数为 其中 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 , 并且在 0到 之间进行积分 现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即 即：经过100 s容器内原子数减为原来的 。.3、（12分）若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的厚度为H的均匀气体球壳，试证：这层球壳厚度H就是大气标高。分析： 在离地高为 的范围内的球壳体积为 （1） 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。 当然, 我们也可以如下更清楚地求出：忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有 解： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积dV( z ) 范围内的分子数 令 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为，所有大气的总分子数为，则： （2）现在来估计 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且 （3）利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。这时 其中 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。4、（12分） 标准状态下氦气的粘度为，氩气的粘度为，他们的摩尔质量分别为M1和M2.。试问：（1）氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面和氩原子与氩原子的碰撞截面之比等于多少？（2）氦的导热系数与氩的导热系数之比等于多少？（3）氦的扩散系数与氩的扩散系数之比等于多少？（4）此时测得氦气的粘度和氩气的粘度。用这些数据近似的估算碰撞截面。【解】（1）因为 则有在温度相同情况下，原子和氦原子碰撞的碰撞截面和氩原子与氩原子的碰撞截面之比为 （2） 因为 所以 则有 （3） 应为 所以而 所以（4） 由（1）可以得到 5、（12分） 在热水瓶里灌进质量为m=1.00 kg的水，热水瓶胆的内表面S=700 cm2,瓶胆内外容器的间隙d=5.00 mm,间隙内气体压强p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内的水温从90降为80，取环境温度为20。【解】可以假定热水瓶胆夹层内气体充满及其稀薄的气体热传导条件，单位时间内在单位面积上传递的热量为 （1）其中，根式内的T为降温过程中夹层内气体的平均温度 （2）而且有 （3）由于在dt时间内漏出的热量是由水的温度降低dT所释放的热量提供的，故 （4）其中为水的比热容，将（1）（2）（3）代入（4）后积分有 【讨论】本题得到的结果与实际情况出入相当大。有这样的因素本题没有考虑：（1）即使在常温下，辐射传热仍然是比较重要的传热形式。在气体热传导及对流传热一再减小的情况下，辐射传热起了主导作用。日常用的热水瓶虽然在真空夹层内镀了银，但仍然在辐射传热。（2）瓶口的传热损失。（3）实际的热水瓶夹层中的真空度一般为13313.3Pa的数量级，它要比大45个数量级，因而保持温度时间要缩短数个量级。（4）即使在的压强下，它仍然不满足平均自由程比夹层厚度大得多的条件。气体热传导并不与夹层气体压强严格成正比。6、 (12分)加热室A（1000）中蒸发出来的铍原子（相对原子质量为9）经小孔逸出，再经狭缝准直器B而形成原子束，最后进入另一真空室D中，（1）原子束将与真空室背景分子进行碰撞，若进行1m后其原子束强度（单位时间内通过的原子数）减少为1/e。真空室温度为300K，试问真空室压强多少？设铍原子与真空中分子的碰撞截面为，忽略铍原子间的碰撞。（2）铍原子束的平均速率是多少？（3）铍原子进行1m所需平均时间是多少？（4）估计铍原子束撞击容器壁所产生的压强（设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为），因真空室室温较低，所有撞击在容器壁上的铍原子均沉积在器壁上），将这一压强与真空室中气体压强进行比较。【分析】这是泄流问题（它和气体分子碰壁数属于同一类问题），也是一个和分子束分布、自由程、气体压强等基本概念有关的综合性问题。 【解】（1）按照自由程分布，自由程分布在的概率为 （1）由题中可知原子束的自由程出现在间的概率为1/e,即 （2）由（1）（2）可以求出铍原子束与真空室空气碰撞的平均自由程为为了求出真空室压强，利用平均自由程公式 （3）由此得到 （2）铍原子束的平均速率可以由分子束的平均速率公式求得 （3） 铍原子进行1m所需平均时间 （4）铍原子束刚进入真空容器时，单位时间内透过单位截面积的平均分子数为，其中n0为该截面处铍原子束的粒子数密度，则碰到单位面积器壁上的铍原子数为 ，因为从1000 高温容器中出来的铍原子束是与300K真空容器壁相碰撞，两者温度相差非常大，可假设原子束与器壁完全非弹性碰撞，撞击粒子全部粘附在器壁上，每个分子产生的动量改变，所有这些分子撞击容器壁所产生的 压强为 7、 (12分) 声波可在气体管中形成驻波。现用1000Hz的声波在碘蒸气管中做实验，在温度为400K时，测得管内形成的驻波的相邻波节间距为6.77cm。试问：（1）声波的波速是多少？（2）管内碘蒸气分子是单原子分子还是双原子分子？为什么？已知碘的相对原子质量为127，声波在气体中的传播速度满足关系，其中为气体密度，为气体的绝热压缩系数 ， 下标“s”表示绝热过程。【分析】虽然本题没有指出碘蒸气是什么气体，但是可以假定它是理想气体，否则无法解题。这是一个有关绝热过程、能量均分定理波动中的驻波的复合题。应该明确，声波在气体中的传播是满足绝热条件的，所以要利用绝热压缩系数来着手解题。 【解】绝热过程方程为 两边微分得到 两边同时除以，并且考虑到这是一个绝热过程，一下彪“s”表示 由本题对绝热压缩系数的定义知 （1） 由理想气体物态方程以及对密度的定义知道 （2） 代入声速公式得到 （3） 所以 （4） 我们知道驻波两相邻波节之间的距离为 ，所以声波的波长为 （5） 现在声波的频率为，则声速为 （6） 先假定碘蒸气为单原子分子气体，即 ，又有T=400K，将（6）一起代入（4）得 这和单原子分子的相差较大。 再假定碘蒸气为双原子分子气体，得 它和能量均分定理得到的结果符合得很好。说明碘蒸气是双原子分子气体。8、(16分) 绝热壁包围的汽缸被以绝热活塞分割成A、B两室。活塞在汽缸内可无摩擦的自由滑动。A,B内各有1mol的双原子理想气体。初始时气体处于平衡态，它们的压强、体积、温度分别为p0,V0,T0.A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为2p0,试问：（1）最后A,B两室内气体温度分别为多少？（2）在加热过程中，A室气体对B室做了多少功？加热器传给A室气体多少热量？（4）A,B两室的总熵变是多少？【分析】这是热力学第一定律和热力学第二定律相结合的题目，在通常的热力学第一定律习题中在附加求熵变，注意汽缸和活塞都是绝热的