北京理工大学-数学分析-微分中值定理- 函数的单调性与凹凸性的判别法3.4（本科课件）

Nove. 7 Fri. Review,1. 局部Taylor展开式：,2. 带Lagrange余项的Taylor公式：,带Lagrange余项的Maclaurin公式：,Nove. 4 Fri. 4 函数单调性与凸性的判别法,函数单调性判别法函数的凸性及其判别法,一. 函数单调性的判别法,定义,定理1,证明：,定理2,证明：,例,证明：,证明：,解：,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,二. 函数的凸性及其判别法,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于弦的上方,图形上任意弧段位于弦的下方,定义1,若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。,凸函数,凹函数,定义1,凸函数,凹函数,定义2,定理,证明：,几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。,例,求拐点的步骤：,解：,导数不存在，二阶导数也不存在。,凹,凸,凸,证明：,证明：,Hw：p151 3(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)， 8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。,更进一步有不等式：,Nove. 9 Wed. Review,函数单调性判别法,函数凸性及其判别法,若函数可微：,凸函数,凹函数,函数凸性判别法：,求拐点的步骤：,3.考察在这些点的左、右的凹凸性。,函数的极值：极大值与极小值,5 函数极值、函数作图,函数的极值与求法；渐近线；函数作图。,一. 函数的极值与求法,定义：,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定理1(必要条件),注意:,例如,极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,例,定理3（第二充分条件）,证明：,极大值,极小值,定理3(第二充分条件),例 1. 若直角三角形的一只角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；,小 结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为极值可疑点.,函数的极值必在极值可疑点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),Hw：p160 1(双),2,3,4(2,3),6,7,9,10,12,13,15.,二. 渐近线,定义:,1.垂直渐近线,例如,有垂直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例,三. 函数作图,1.函数基本性质：,1). 定义域，值域，连续范围；,2). 函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶 函数关于y轴对称；,3). 周期性。,2. 利用导数研究函数性质：,3. 渐近线,1). 垂直渐近线；,2). 水平与斜渐近线。,4. 描点作图,例,hw：p166 3,4.,列表,.,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 x =0,0(拐点),+,+,因,0,0,+,+,3极小值,+,例1.,0,.,间断点,3,.,列表,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 y =0，,因,+,+,+,+,0,因 y(x) = y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0(拐点),间断点,间断点,+,及 x =1，x = 1,x =