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污水排放模型 第三次作业 张峰华 材料学院 材料成型及控制工程 04 班 20123631 刘泽 材料学院 材料成型及控制工程 04 班 20123627 杨海鹏 材料学院 冶金工程 03 班 20123203 1 一、问题重述一、问题重述 如下图，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站，处理 站对面是居民点。工厂 1 上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染 程度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水 处理前后的浓度差和污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位 需要的处理费用（称处理系数）为已知。处理后的污水与江水混合，流到下一 个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度下降一个比例系数（称自净 系数） ，该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓度，使在符合国家 标准规定的条件下总的处理费用最少。 先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题： 设上游江水流量为 12 1000 10/minL ，污水浓度为0.8 /mg L，3 个工厂 的污水流量均为 12 5 10/minL ，污水浓度（从上游到下游排列）分别为 100,60,50(/ )mg L ，处理系数均为1万元 / 12 (/min) (/ ) 10 Lmg L ，3 个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游 到下游）分别为 0.9，0.6。国家标准规定水的污染浓度不能超过1 /mg L 。 （1）为了使江水上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？ （2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费 多 少费用？ 工厂 1 工厂 3 工厂 2 处理站 1 处理站 2 处理站 3 江水 居民点 1 居民点 2 居民点 3 2 二、问题分析 问题（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，求最少需要的花 费。此问题属于在约束条件下求最优解的问题，我们只需要将满足经处理站处 理后的污水达到国家规定的污水浓度，并且以工厂处理费用为目标函数，求其 最小值即可。 问题（2）若只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，求最少需要的 花费。考虑到江水有自净的功能，这样处理厂就不必将污水处理成符合国家规 定的污水浓度，只要使每个居民点上游的江水再其自净作用过后能达到国家规 定的污水浓度就可以。那么此题的约束条件就变成了在处理厂和江水自净功能 的共同作用下使得工厂江水的浓度达到国家规定的污水浓度。目标函数依然是 工厂处理费用。 又因为题目中没有明确的说明居民点的具体位置，只是说在处理站的对面， 那么根据居民点位置的不同再利用上述思路进行分析和求解。 三、 模型的假设和符号说明 1.假设长江的水流速固定，不会因为加入污水或改变污水浓度而改变。 2.假设污水之间无反应，不会因为污水反应而改变污水量或污水浓度。 3.假设居民区不产生污水。 4.假设江水的自净作用对所有污水都有效。 5.假设污水在进入长江之后是分布均匀的。 6.假设污水在进入长江之后不会流入上游。 7.假设江水进行自净作用时，不改变江水本身流量。 8.假设在对进行污水处理时，不改变污水流量，只改变污水浓度。 9.假设 3 个工厂之间的两段江面，各自单位距离的自净能力相同。 0c ：上游江水的污染浓度 11c ：工厂 1 产生的污水浓度 12c ：工厂 1 经处理后的污水浓度 21c ：工厂 2 产生的污水浓度 22c ：工厂 2 经处理后的污水浓度 31c ：工厂 3 产生的污水浓度 32c ：工厂 3 经处理后的污水浓度 1c ：从处理站 1 流出的污水与江水混合之后的污水浓度 2c ：从处理站 2 流出的污水与江水混合之后的污水浓度 3c ：从处理站 3 流出的污水与江水混合之后的污水浓度 0v ：江水上游水流量 1v ：工厂 1 产生的污水流量 1b ：工厂 1 的处理系数 3 2v ：工厂 2 产生的污水流量 2b ：工厂 2 的处理系数 3v ：工厂 3 产生的污水流量 3b ：工厂 3 的处理系数 12a ：工厂 1、2 之间江面的自净系数 23a ：工厂 2、3 之间江面的自净系数 1z ：工厂 1 的污水处理费 2z ：工厂 2 的污水处理费 3z ：工厂 3 的污水处理费 Z ：3 个工厂总费用 i=1,2,3 分别代表工厂 1，工厂 2，工厂 3 五、模型的建立与求解 题目中已知的条件有： 0c =0.8mg/L 11c =100mg/L 21c =60mg/L 31c =50mg/L 0v = 12 1000 10 L/min 1v = 2v = 3v = 12 5 10 L/min 12a =0.9 23a =0.6 江水本有的污水量=江水流量（ 1v ）江水污水浓度（ 0c ） 工厂 i 处理后的污水量=工厂 i 的污水量（ iv ）处理后污水浓度（ 2ic ） ic =（江水本有的污水量+工厂 i 处理后的污水量）/（江水流量+工厂 i 的污水 量） 污水下降浓度=原污水浓度（ 1 ic ）-处理后的污水浓度（ 2ic ） 工厂 i 处理污水的费用（ iz ）=污水下降浓度工厂 i 的污水量（ iv ）工厂 i 的污水处理系数（ ib ） 按照上述条件即可列出以下： 问题（1）的约束条件为： 00112 01 11 v cvc vv c 12 1 1000 0.85 1 10005 c c 4 12101222 012 21 a c vvv c vv v c 122 2 (10005) 0.95 1 100055 cc c 232012332 0123 31 a c vv vv c vv vv c 232 3 (100055) 0.65 1 1000555 cc c 0iz （i=1,2,3） 目标函数为： 12 3 1 3 1 miniii i i i ccZzb 122232 3 ()()() 1 5100560550min i i cccZz 用 lingo9.0 求解后得： Local optimal solution found. Objective value: 489.5000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 13 Variable Value Reduced Cost Z1 295.0000 0.000000 Z2 194.5000 0.000000 Z3 0.2555717E-07 0.000000 C12 41.00000 0.000000 C1 1.000000 0.000000 C22 21.10000 0.000000 C2 1.000000 0.000000 C32 50.00000 0.000000 C3 0.8433498 0.000000 污水处理厂 1、处理厂 2 和处理厂 3 出口的浓度依次为 41.00 mg/l、21.10 mg/l 和 50.00 mg/l 时，工厂 1 花费 295 万元，工厂 2 花费 194.5 万元，工厂 3 不用处理污水。所以为了使江水上所有地段的水污染达到国家标准，最少需 要花费 489.5 万元。 对于问题（2）题目没有明确指明居民点的位置，只是说明在处理站对面是 居民点，所以居民区可以有多种排法，它们可以在对应处理站前，也可在对应 处理站后，或正对面，因此我们这里只假设对应居民区与处理站前后相距不远。 （1）当居民点在对应处理站前时如下图所示： 5 工厂 1工厂 3 居民区 1居民区 3 江 水 开 始 自 净 江 水 完 成 自 净 自 净 区 域 1 工厂 2 居民区 2 自 净 区 域 2 江 水 开 始 自 净 江 水 完 成 自 净 则约束条件变为： 00112 112 01 1 v cvc ca vv 12 1 1000 0.85 0.91 10005 c c 011222 223 012 () 1 vv c v c ca vv v 122 2 (10005)5 0.61 100055 cc c 0iz （i=1,2） 目标函数为： 22 12 11 miniiii ii b ccZz 2 1222 1 5100560mini i ccZz 用 lingo9.0 求解后得： Linearization components added: Constraints: 38 Variables: 28 Integers: 14 Local optimal solution found. Objective value: 183.3333 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 11 6 Variable Value Reduced Cost Z1 183.3333 0.000000 Z2 0.000000 0.000000 C1 1.000000 0.000000 C12 63.33333 0.000000 C2 0.7752475 0.000000 C22 60.00000 0.000000 处理厂 1、处理厂 2 和处理厂 3 出口的浓度依次为 63.33 mg/l、60 mg/l 和 50 mg/l 时，工厂 1 花费 183.3333 万元，工厂 2 不用处理污水，工厂 3 也不用处 理污水。 所以如果只要求三个居民点上游（居民点在对应处理站前不远处）的水污染达 到国家标准，最少需要花费为 183.333 万元。 （2）当居民点在对应处理站后时如图所示： 这样为使居民点上游（居民点在对应处理站后不远处）的水污染达到国家标准， 则工厂就要在污水流到江水以前把污水处理得符合国家标准，那么就与问题 （1）相同。同理居民点在对应处理站的正对面的情况下，也是与问题（1）相 同。 六、结果分析 问题（2）与问题（1）比较，由于水质控制的范围缩小了，从全面水质污 染控制到居民点上游的水质控制，因此治理费用也随之减小，这是充分利用了 江水自净的功能。 从问题（1）到问题（2） ，都是由于控制范围的缩小而使得总费用降低，当 然，我们这里的数据是设定的，不一定合乎实际，但是计算结果反映了对江水 污染控制的规律，是符合人们的认识的，当然，在实际中可以根据实际数据， 用此模型算出各污染点的治理系数，这些数据可以作为控制污染的参考数据。 当这个数据越大，说明这个污染点越需要加强治理；这个数据越小，说明治理 的要求可以降低，这样也可以分得出治理的轻重缓急。 七、模型的局限性和推广 在问题（2）中，我们可以先增加 3 个变量来分别表示居民点的位置，再增 加 2 个变量来表示 3 个工厂间的距离。因为假设 3 个工厂之间的两段江面，各 自单位距离的自净能力相同，那么只要知道水平方向居民点到工厂的距离与对 应 2 个工厂的距离之比，就可以算出这段距离中江水的自净系数，那么当居民 工厂 1 自净区域 1 工厂 3 工厂 2 自净区域 2 居民点 1居民点 2 居民点 3 7 点在任何位置时，我们都可以进行求解。 当然，我们也可以将题目中的 3 个工厂，3 个居民点，推广到 m 个工厂， n 个居民点等等，但是求解问题的思路和方法都是与上述相同的。 模型缺点： （1）模型中只是考虑了一个污染控制标准，与实际生活中多个污染控制标准不 符。 （2）题目为了降低难度将自净系数作为一个常数引入计算的，但实际上，要根 据不同水质、污水中含有的化学物质等等因素经计算过后得出。 （3）对于江水的流速、流量等等不可能是不变的，而且也没有考虑到自然环境 和天气等的变化，以及污水中不同化学物质之间的相互反应。这样就理想化了 许多影响因素，在实际生活中许多因素是不能忽略的，因为在不同地区具有不 同的外界环境和影响因素。所以此模型具有一定的局限性，得到的最优方案可 能与实际有一定的出入。 模型优点： （1）建立的线性规划模型简单易懂，对于不是很复杂的问题可以比较准确的计 算。 （2）模型的求解过程是通过编写程序让计算机自动完成的，省去了大量复杂的 中间计算过程。 8 附录 问题（1）的程序： min=z1+z2+z3; c12*5-1005*c1+800=0; c1*904.5+5*c22-1010*c2=0; c2*606+5*c32-1015*c3=0; c1=1; c2=0; z3=0; end Linearization components added: Constraints: 57 Variables: 42 Integers: 21 Local optimal solution found. Objective value: 489.5000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 13 Variable Value Reduced Cost Z1 295.0000 0.000000 Z2 194.5000 0.000000 Z3 0.2555717E-07 0.000000 C12 41.00000 0.000000 C1 1.000000 0.000000 C22 21.10000 0.000000 C2 1.000000 0.000000 C32 50.00000 0.000000 C3 0.8433498 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 489.5000 -1.000000 2 0.000000 0.9600000 3 0.000000 0.9600000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 96.48000 9 6 0.000000 969.6000 7 0.1566502 0.000000 8 0.000000 -1.000000 9 0.000000 -1.000000 10 -0.2555717E-07 -1.000000 11 295.0000 0.000000 12 194.5000 0.000000 13 0.2555717E-07 0.000000 问题（2）的程序及结果： min=z1+z2; 1005*c1-(800+5*c12)*0.9=0; 1010*c2-(1005*c1+5