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专题讲座5-一维问题1. 自由粒子问题自由粒子（处处）。 在经典理论中它意味着等速运动，但是在量子力学中这个问题相当微妙。定态薛定谔方程为: 或者 其中 用指数形式来表示其一般解： 对自由粒子没有边界条件去限制的取值（的取值）；自由粒子可以具有任何（正的）能量值。加上标准的时间因子， 我们知道，任何函数以特定的组合依赖变量和（对某个常数）都代表一个具有固定波形的在方向传播的波。波形上一个固定点（例如，最高点或最低点）对应着宗变量的一个固定值，使得变量和满足 ，或者 既然波形上的每一点都以同样的速度运动，波形的形状在转播的过程中是不改变的。这样2.93式右边的第一项代表一个向右转播的波，而第二项代表一个向左的波(能量相同)。既然这两个波的区别仅在于前面的正负号，我们也可以写作 并让可以取负值以包括向左传播的波： 显然，自由粒子的“定态”是传播着的波；它们的波长是，按照德布罗意公式（1.39式）它们具有动量 这些波的速度(前面的系数除以前面的系数)是 另一方面，一个具有能量（纯动能，既然势能）的经典自由粒子的速度是 表面看来量子力学波的传播速度只有它所代表的粒子经典速度的一半！我们马上会回到这个佯谬这里还有一个更严重的问题需要我们首先面对：这个波函数是不可归一化的。因为 对自由粒子来讲，分离变量解并不代表物理上可实现的态。一个自由粒子不能存在于一个定态；或者，换句话说，不存在一个自由粒子具有确定能量这样的事情。但是这个并不意味着分离变量解对我们没有用途，因为它们的数学地位是完全不依赖于它们的物理解释的。含时薛定鄂方程的一般解仍旧是分离变量解的线性迭加（此时对连续变量的一个积分取代了对分立指标的求和）： (引入因子是为了方便)现在这个波函数是可以归一化的（对适当的）。但是必须是对的一个范围，因此能量和速度也有一个范围。我们称这样的波为波包。 在一般的量子力学问题中，是给出，求。对自由粒子的解，仅有的问题是如何确定匹配初始波函数的： 由傅立叶变换 例题1 一个自由粒子初始时刻是局域在区间，然后在释放： 式中和是正的实数。求。解：首先我们需要归一化： 其次计算： 最后把代回2.100式中： 探讨极限情况很有启发。如果非常小，初始波函数为很窄的针状。在这种情况下，有，因此有 这是不确定原理的一个例子：如果坐标的弥散很小，动量的弥散（因此的）必须很大。在另一种极限下（很大），坐标的弥散很大，而 现在，的最大值在，并当时为零（这对应）。所以对较大的，是以为中心的一个窄峰。此种情况下，有一个较确定的动量，但是坐标不再很好确定。现在我们回到前面提到的佯谬：表示一个粒子的分离变量解以一个”错误”的速度传播。严格来讲，这样的问题是不存在的，因为我们发现不代表一个物理上可实现的态。不过，发现自由粒子的波函数包含有速度的什么信息是令人感兴趣的。基本的思想是：一个波包是正弦函数的迭加，其振幅由调制； 在一个“包络线”内含有“波纹”。对应粒子速度的不是一个个别波纹的速度（所谓的相速度），而是包络线的速度（群速度）这个速度，取决于波包的本质，可以比组成波包的波纹的速度大或小。对一个弦波，群速度等于相速度。对水波，当你向水塘扔进一块石头，也许曾注意到，群速度是相速度的一半（如果你注意一个个别波纹，你会发现它在后部生成，向前运动越过群体，在前面衰减，而群体则以个别波纹的一半速度传播）。我们现在要证明的是在量子力学中自由粒子波函数的群速度是相速度的两倍正好代表经典粒子的速度。现在的问题是确定一般形式波包 的群速度。（对我们的情况，但是现在讲的对所有种类的波包都适用，无论它的色散关系对的依赖关系如何。）让我们假定是在某个处的一个狭窄分布。（一个宽的分布也是允许的，但是这样的波包波形变化很快因为不同的组分有不同的速度所以具有一个很好定义的速度的“群” 的整体概念就会失去意义。）既然除了附近外积分可以被忽略，我们可以在这一点对做泰勒展开，并仅保留到一次项： 式中是对的导数在的值。 做变量变换从到（使积分区间的中心在），我们有 在时， 在以后时刻 除了变换到外，这个积分同的积分是一样的。所以 除了前面的一个相因子(它在任何方面都不影响)外，这个波包显然以速度运动： （在取值）。这和普通的相速度 是不一样的。在我们情况中，所以，而，正好是相速度的2倍。这证实了与经典粒子速度相匹配的是波包的群速度而不是定态的相速度： 2 -函数势阱狄拉克(Dirak)函数是原点处一个无限高，无限窄的峰尖，其面积是1： 技术上讲，它根本就不是一个函数，因为它在不是有限的（数学家称它为推广函数，或广义函数）。不过，它在理论物理中非常有用。（例如，在电动力学中一个点电荷的电荷密度就是一个函数。）注意到是在点面积为1的一个尖峰。如果你把乘以一个普通函数，这与乘以是一样的， 因为除了点外乘积处处为零。特别有， 这是函数最重要的性质：在积分号下它“挑选出”在点的值。（当然，积分不必从到；重要的是积分要包含点，所以对任何，从积到就行。）让我们考虑下列形式的势 其中为某个正的常数。固然，这是一个模拟势（同无限深方势阱一样），但是它十分简单便于处理，可以以最少的数学来阐明基本理论。函数势阱的薛定鄂方程为 由它可以得到束缚态（）和散射态（）。首先来看束缚态。在区域，所以 式中 （由假设为负值，所以是正的实数。）方程的一般解是 但是当时第一项趋于无限大，所以我们必须令： 在区域，同样为零，一般解的形式时；不过此时当时第二项趋于无限大，所以 现在仅需利用在的适当边界条件把两个函数接合在一起。用应满足的标准边界条件： 在现在的情况下，第一个边界条件告诉我们，所以 第二个边界条件不告诉我们任何事情；这是由于在结合处为无穷大的例外情况，从图中可以清楚看出函数在处有一个弯折。另外，除了点外，函数对我们的问题没有任何影响。显然的导数在的不连续是由函数决定的。现在来看函数的作用，作为一个副产物我们将明白为什么通常情况下是连续的。 基本思想是对薛定鄂方程从到积分，然后取的极限： 第一个积分是，并在两个端点处取值；最后一个积分在0极限下为零，因为它是一个高度有限宽度为零的长条的面积。这样 一般情况下，右边的极限也是零，这就是为什么在通常情况下是连续的。但是，当在边界上是无穷大时，这个结论不再成立。具体有，如果，2.113式给出 对现在的情况 因此。代入，给出 允许的能量值(2.117式)是 最后,我们归一化： 所以（方便起见，选择正的实根）： 显然对函数势阱，无论它的“强度”如何，仅有一个束缚态： 2.129的散射态如何？当薛定鄂方程为 其中 是实的和正的。一般解是 这一次两项都不能丢掉，因为它们都不趋于无穷大。类似的，对， 在处的连续性要求 导数为 所以。另外，所以，第二个边界条件为 或者，更紧凑些， 考虑边界条件后，我们得到关于4个未知数（和）如果也计入是5个的两个方程。归一化不会有任何帮助这不是可归一化的态。我们莱考察一下这些常数的物理意义。我们已经知道是（和含时因子结合在一起时）一个向右传播的波，是向左传播的波。这样是从左边过来的波的振幅，是返回左边的波的振幅，是向右离开的波的振幅，是从右边过来的波的振幅。在通常的散射实验中，粒子是由一个方向入射的比如说，从左边。在这种情况下，从右边来的波的振幅将为零： 是入射波的振幅，是反射波的振幅，是透射波的振幅。对和解方程2.133和2.135,我们有 现在，在一个特定区域发现粒子的几率是，所以入射粒子将被反射回的相对几率是 被成为反射系数。（如果有一束粒子，它告诉你入射粒子中被反射回的比例。）同样，透射几率由透射系数给出 当然，这两个几率之和应当为1也就是： 注意到和是的函数，从而是（2.130和2.135式）的函数：2.141可以看出，能量越高，透射几率就越大（这当然是合理的）。 这些结果非常不错，但是还有一个原则上的棘手问题我们不能忽略：这些散射波函数是不可归一化的，所以它们实际上不代表可能的粒子态。但是我们知道如何解决这个问题：我们必须构造定态解的可归一化的线性迭加，正如我们对自由粒子做的那样真实的物理粒子是由迭加成的波包所表示的。尽管原理上直截了当，但是在实际中做起来却不太容易，此时使用计算机也许是最好的方法. 另外，如果不涉及能量的一个范围，构造可归一化的自由粒子波函数是不可能的，和应当被理解为粒子的能量在附近时的近似的反射和透射系数。 顺便提及，你们可能感到奇怪，我们怎么能够用定态去分析一个本质上是含时的问题（粒子入射过来，被势散射，然后又回到无限远处）。首先，（只是一个复的、不依赖时间的正弦函数，在两个方向上都扩展（有着常数振幅）到无限远。其次，对这个波函数加上适当的边界条件，我们能够决定一个粒子（由一个局域化的波包表示）被势反射或透射的几率。隐藏在背后的数学秘密是，事实上，由分布在整个空间态的线性迭加以及通常的行波时间依赖关系，我们可以构造局域在一（运动着的）点有相当完善的时间行为的波函数。 只要我们已经理解了相关问题，让我们来简短讨论一下函数势垒情况。形式上,我们只需要改变前的号为+号。当然，这样一来束缚态就不存在了。另一方面，由于反射和透射系数仅依赖于,它们是不改变的。说也奇怪，粒子越过势垒就像它通过势阱一样！当然，经典上，一个粒子无论其能量如何是不能越过一个无限高势垒的。事实上，经典的散射问题相当单调：如果则粒子越过势垒；如果则它爬上山坡动能耗尽，然后按原路返回。而量子散射现象却非常丰富：即使是在情况下，粒子也有越过势垒的几率。我们称这种现象为隧道效应；这是许多现代电子学技术成为可能的基础更不用说在电子显微镜方面的进展。反过来也一样，即使，也存在粒子被反射的几率.3. 谐振子问题的代数解法让我们把谐振子定态薛定鄂方程写作 引入算苻 可以计算出积 利用上面式子，方程2.49可写为 注意和次序非常重要，如果在左边，则有 特别有 所以哈密顿量还可以等价的写成： 利用，谐振子的薛定谔方程可写为如下形式： 现在，下面是关键步骤：如果能够满足能量为的薛定谔方程（即），则满足能量为（）的薛定谔方程：。证明： 同样可证，是能量为的解： 所以这是一种生成新解的极好方法，如果我们得到了一个解，通过升降能量就可以得到其它的解。我们把叫作阶梯算符，因为它们能使我们升降能级；是升阶算符，是降阶算符. 如果反复应用降阶算符，那又会怎样呢？最终，我们会到达一个低于零的能量状态，而（根据一般定理）这根本是不存在！在某个地方这个机制必定是失效的。为什么会出现这种情况？我们知道是薛定谔方程的一个新解，但这并不能保证它是归一化的它可能是零或者它的平方积分可能是无限大的。事实上它是前者：有一个最低的阶梯（称为）使得 我们可以利用这个确定： 或 这个微分方程很容易解： 所以 我们现在对它进行归一化： 所以，因此 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量（以方程2.57的形式），利用，有： 现在我们安全地站在梯子的最底部（量子谐振子的基态），从而我们可以反复应用升阶算符生成激发态, 每一步增加能量： 这里是归一化常数。通过将升阶算符（反复）作用于，我们能够（原则上）得出谐振子所有的定态。同时，不用另外计算，就可以确定所允许的能量. 例题 求出谐振子的第一激发态。 解：利用方程 我们可以直接“手算”对它进行归一化： 恰好，。 我们甚至可以用代数的方法得到归一化常数，不过需要一些精巧的步骤，请留意。我们知道是正比于的. 但是比例因子和是什么？首先注意到是的厄密共轭。 所以有： 但是： 所以： 但是由于和已是归一化的，可知，因此： 这样 依此类推。显然有 2.67 例题求出谐振子第态势能的期待值。 解： 计算这类积分有非常简洁的办法（有关和的幂次的）：根据定义（方程2.47）利用升降阶算符来表示和： 在目前这个例子中，我们对感兴趣： 所以 但是（除了归一化常数外）等于，它和是正交的，同样正比于是。所以这些项被去除，我们可以利用方程2.65计算余下的两项： 可以看出，势能的期待值正好是总能量的一半（另一半当然是动能），这是线性谐振子的一个特征，后面我们还会看到。 4. 有限深方势阱 考虑有限深方势阱： 其中是(正的)常数。和函数势阱一样，这个势允许有束缚态（）以及散射态（）。我们首先来看束缚态。在区域，势为零，所以薛定谔方程为： 或 其中 是正的实数。一般解是，但是，当时，解的第一项趋于无穷大，所以物理所许可的解是 在区域，薛定谔方程为： 或 其中 尽管是负的，但对于束缚态，它必定大于；因此，是一个正的实数。一般解是 其中和是任意常数。最后，在区域，势仍然为零；其一般解是，但是当，第二项趋于无穷大，所以解为 下一步是加上边界条件：和在和处连续。但是注意到势能是一个偶函数，不失一般性，我们可以假设解要么是奇函数要么是偶函数来简化问题。这样做的优点是我们仅需要考虑一侧的边界条件（比如说在处）即可；由于，另一侧自动满足边界条件。这里我们仅讨论偶函数解，你们可自己讨论奇函数解。由于余弦是偶函数（正弦是奇函数），所以我们要求的解可以写为： 由波函数在处的连续性可得， 由连续性可得， 两式相除，我们得到 由于和都是的函数，这是一个关于所允许能量的公式。要求出，我们首先采用一些简洁的记号：令 及 有，所以 ，而2.154式可写为 这是一个（因此）的作为函数的一个超越方程（描述势阱“大小”）。它可以用计算机求出数值解，或者也可以用作图法求解，在同一坐标系中画出和曲线，找到它们的交汇点。下面讨论两种极限情况：1、 宽深势阱。如果非常大，交汇点在略小于（为奇数）处；所以有 但是是比势阱底部能量高的一个值，在上式右边正好是阱宽为的一维无限深势阱能级或者它们中的一半，因为现在仅为奇数。（当然另一半来自于奇函数。）因此，当时，有限深势阱转化为无限深势阱；但是，对任何有限的，仅有限多个束缚态。 2、浅窄势阱。 当降低时，束缚态越来越少，直到最后（当时，最低奇态消失）仅存在一个束缚态。尽管如此，值得注意的是无论势阱多么“浅小”，总是至少存在一个束缚态。现在要讨论散射态（）。在势阱左边，我们有 （） 其中（和通常一样） 在势阱内， （） 其中，和前面一样 在势阱右边，假设在此区域没有入射波。我们有， 这里是入射波振幅，反射波振幅，是透射波振幅。有四个边界条件： 在连续应满足 在处连续应满足， 在处连续应满足， 在处连续应满足 我们可以用其中的的两个方程消去和，然后用剩余的两个解出和（见习题2.32）： 透射系数（），用最初的变量可表示为： 注意当上式中的正弦函数为零时，即 时，其中为任意整数， （势阱成为“透明”的）。完全透射时的能量为： 这恰好是一维无限深方势阱所允许的能量。例题1 证明下列三个定理（a）定态波函数总可以取作实数的，（不像一定是复数的）。这里并不是说任何定态薛定谔方程的解一定都是