特征值和特征向量(集美大学)PPT课件

28.04.2020,.,1,第4章矩阵的特征值和特征向量,4.1矩阵的特征值和特征向量4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件4.3实对称矩阵的特征值和特征向量,28.04.2020,.,2,1.特征值与特征向量定义,2.相关概念,4.特征值与特征向量求法,3.两个有用公式,(特征方程根与系数的关系),5.特征值与特征向量的性质,4.1矩阵的特征值和特征向量,28.04.2020,.,3,1.特征值与特征向量定义,例：设,即,28.04.2020,.,4,2、相关概念(定义4.2),称,因为即n元齐次线性方程组有非零解，,等价于,28.04.2020,.,5,设A为n阶矩阵，则0是A的特征值，是A的属于0的特征向量的充要条件是0为特征方程det(E-A)=0的根，是齐次线性方程组(E-A)X=0的非零解。,推论1、2（P159）若1，2是A属于0的特征向量，则c11+c22也是A属于0的特征向量。,定理4.1,28.04.2020,.,6,3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系),4.求法,即为,的迹.,这里,记为tr(A),28.04.2020,.,7,解,得特征值,当,时,解方程,由,28.04.2020,.,8,得基础解系,全部特征向量为,28.04.2020,.,9,28.04.2020,.,10,注意在例1与例2中,特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数.,28.04.2020,.,11,例3,28.04.2020,.,12,练习：,28.04.2020,.,13,5.特征值与特征向量的性质,定理4.2n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。,证：要使A和AT有相同的特征值，只要|E-AT|=|E-A|成立。事实上，|E-AT|=|(E-A)T|=|E-A|,定理4.3n阶矩阵A可逆的充要条件是它的任一特征值不等于0。,证必要性：A可逆，则|A|0,所以|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|0,即0不是A的特征值。充分性(反证法)：设A不可逆，即|A|=0,从而,28.04.2020,.,14,|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0,即0是A的特征值，矛盾。,定理4.4不同特征值对应的特征向量是线性无关的.,定理4.51,2,m是A的m个不同的特征值，A的属于i的线性无关的特征向量为i1,i2,isi(i=1,2,.,m)，则向量组11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m2,msm,线性无关。,即1,2,m是A的m个不同的特征值，1,2,m分别是A的属于1,2,m的特征向量，则1,2,m线性无关。,28.04.2020,.,15,28.04.2020,.,16,练习,28.04.2020,.,17,4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件,1.相似矩阵概念,2.相似矩阵基本性质,3.方阵的对角化含义,4.矩阵可对角化的条件,28.04.2020,.,18,1.相似矩阵概念,这时,也是,的相似矩阵:,相似,等价.,定义4.3设A、B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B则称B是A的相似矩阵,或说A与B相似.记作AB称P为把A变成B的相似变换矩阵.,28.04.2020,.,19,2.相似矩阵基本性质,28.04.2020,.,20,证明,(1),设矩阵A与B相似,即有P-1AP=B,(2)显然.,(3),(4)由(3)即得.,(5)由(4)及迹的定义即得.,28.04.2020,.,21,根据特征方程根与系数的关系,28.04.2020,.,22,课堂练习,28.04.2020,.,23,3.方阵的对角化含义,4.,矩阵可对角化的条件,28.04.2020,.,24,证明,设,28.04.2020,.,25,逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征值不一定互不相等.,28.04.2020,.,26,28.04.2020,.,27,28.04.2020,.,28,28.04.2020,.,29,课堂练习,28.04.2020,.,30,1.实对称矩阵特征值的性质2.实对称矩阵对角化方法,4.3实对称矩阵的特征值和特征向量,28.04.2020,.,31,1.实对称矩阵特征值的性质,结论,28.04.2020,.,32,2.实对称矩阵的对角化,主要结论,28.04.2020,.,33,解,(1),求特征值:,特征值为,28.04.2020,.,34,28.04.2020,.,35,