数学建模之微分方程方法ppt课件

28.04.2020,.,数学建模及其应用微分方程模型,28.04.2020,.,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求解微分方程。【高崖估算问题】假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢?请分析一下这一问题。,28.04.2020,.,一问题分析与假设,假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算.例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h78.5米。但实际上空气阻力却是不得不考虑的因素。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数k为常数。,28.04.2020,.,二模型建立与求解,由牛顿第二定律可得方程：方程的解为初始条件v(0)=0，代入可得C=-mg/k，于是求解得,28.04.2020,.,又根据问题可知，初始条件h(0)=0，代入可得，于是,三模型讨论,28.04.2020,.,内容纲要,一微分方程的平衡点及稳定性二案例分析：传染病模型三案例分析：捕鱼业的持续收获模型,28.04.2020,.,一微分方程的平衡点及稳定性,平衡点的概念,7,282020.,28.04.2020,.,问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？,8,28.04.2020,.,2.一阶方程的平衡点及稳定性,9,282020.,28.04.2020,.,10,282020.,28.04.2020,.,3.平面方程的平衡点及稳定性,11,28.04.2020,.,12,则方程组(3)的特征方程为,28.04.2020,.,方程(3)的一般解具有形式或c1,c2为任意常数.则,28.04.2020,.,二案例分析：传染病模型,28.04.2020,.,15,282020.,28.04.2020,.,16,282020.,28.04.2020,.,17,282020.,28.04.2020,.,18,282020.,28.04.2020,.,19,282020.,28.04.2020,.,20,282020.,28.04.2020,.,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,21,282020.,28.04.2020,.,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,SI模型,22,282020.,28.04.2020,.,模型2,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt最大,23,282020.,28.04.2020,.,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS模型,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,24,282020.,28.04.2020,.,模型3,接触数=1阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,25,282020.,28.04.2020,.,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立的两个方程,26,282020.,28.04.2020,.,模型4,SIR模型,27,282020.,28.04.2020,.,模型4,SIR模型,相轨线的定义域,在D内作相轨线的图形，进行分析,28,282020.,28.04.2020,.,模型4,SIR模型,相轨线及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s01/i(t)单调降至0,1/阈值,29,282020.,28.04.2020,.,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率)卫生水平,(日治愈率)医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/,的估计,降低s0,提高r0,提高阈值1/,30,282020.,28.04.2020,.,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,小,s01,提高阈值1/降低被传染人数比例x,s0-1/=,31,282020.,28.04.2020,.,建立微分方程模型的方法,（1）根据规律列方程,利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。,（2）微元分析法,利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,西北大学数学系,-,28.04.2020,.,（3）模拟近似法,在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,西北大学数学系,-,28.04.2020,.,求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论