分式与分式方程.doc

分式与分式方程（一）考试要求1、了解分式的概念，掌握分式的基本性质会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算。2、会解可化为一元一次方程的分式方程。（二）内容分析一、要点剖析1、分式的有关概念（1）分母中含有字母的式子叫做分式。准确理解分式概念要把握好分式的两个特征：分式是两个整式的商，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线则可理解为除号，这是分式的形式特征；分式的分子可含分母，也可不含分母，但分母必须含有字母，这是区分整式和分式的根本特征。这两个特征是判断一个有理式是否是分式的标准，要认真掌握。 注意：对于任意一个分式，分母都不能为零 (1)分式有意义的条件：分母的值不为零 (2)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零（2）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变即，(M为不等于0的整式) 注意：要理解分式性质的实质是恒等变形，即“形”变而“分式的值”不变，不能等同于等式的性质； 明确性质中的“都”与“同”的含义，否则容易漏乘2、 约分 约分是根据分式的基本性质把一个分式的分子与分母的公因式约去，其步骤是：找出分式的分子与分母的公因式(当分子、分母是多项式时，要先将分子分母分解因式)；约去分子与分母的公因式 注意：约分的结果应是最简分式或整式3、分式的运算 （1）分式的乘除 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘即 理解这两个法则，要注意以下几点： 分式的乘除运算归根到底是乘法运算，其实质是分式的约分； 除式或被除式是整式时，可将其看做是分母是 1的分式，然后依照除法法则进行计算； 对于分式的乘除运算，如果没有其他条件(如括号等)，应按照由左到右的顺序进行计算，以免出现类似mn=m1m这样的错误为了避免类似错误的发生，可先将除法转化为乘法后再计算； 分式的运算结果一定要化为最简分式或整式 （2）分式的乘方 分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方用式子表示为：（ 为正整数，）理解这两个法则，要注意如下几点： 分式乘方时，一定要给分式加上括号，如； 分式本身的符号也要同时乘方； 分式的分子或分母是多项式时，要避免出现类似这样的错误（3）分式的加减 分式的加减法法则： A：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； B：异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再加减 用式子表示为：； 注意以下几点： “把分子相加减”是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，特别是相减时，要避免出现符号错误； 异分母分式相加减首先将其转化为同分母分式相加减，然后按照同分母分式加减法法则进行计算转化的关键是通分； 异分母分式加减运算的一般步骤是：(i)通分：将异分母分式转化为同分母分式；(il)写成“分母不变，把分子相加减”的形式；(iii)分子化简：分子去括号、合并同类项；(iV)约分：将结果化为最简分式或整式 C：求最简公分母的方法：将各分母分解因式；找各分母系数的最小公倍数；找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的满足的因式之积即为各分式的最简公分母(求最简公分母在分式的加减运算和解分式方程中起着非常重要的作用)D：分式的混合运算 分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的在进行分式的混合运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等特别是分式的加减运算与加法的交换律、结合律相结合，会使运算过程变的简捷4、零指数幂与负指数幂 掌握两个法则且会用科学计数法表示绝对值较小的数5、分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程 关键点：分母中含未知数；还有一个隐含的要点：有理方程，即方程的左右两端都是有理式(即整式或分式)，是否需要说明，要因学情而定（1）分式方程的解的意义 使分式方程左右两边相等的值叫做分式方程的解 注意：由于分式方程都可化为一元一次的整式方程，故它的解至多一个，也可能无 解；可用代入法检验一个数是否是分式方程的解，或进一步确定待定常数（2）分式方程的解法A：基本思想：分式方程整式方程B：基本方法：方程两边乘以最简公分母 C：基本步骤： 在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程(一元一次方程)； 解这个整式方程； 检验：有两种方法，一是将整式方程的解直接代入原分式方程(等同于一元一次方程的检验)；二是将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为0，整式方程的解即为原分式方程的解，否则不是原分式方程的解，此时称其为“增根” 说明：检验是解分式方程不可或缺的一个关键环节，它不等同于一般的检验； 随着可化为一元二次方程的分式方程的撤出，换元法解分式方程也基本上退出了初中数学的历史舞台，若抛开中考，对后续地学习而言，是否考虑适当设计有关问题? 注意解分式方程与解一元一次方程的关系：它比解一元一次方程多了一步至关重要的转化化去分母，并且需要明示检验，其他一概相同（3）增根 就学习时段而言，它是解分式方程衍生出来的概念，北师大版教材、华东师大版教材中仍保留了它，而在人教版教材中已将其隐去，已被淡化，以此命题的可能性不大产生增根的原因是我们去分母时，在方程的两边同乘以了一个可能使分母为零的整式（4）列方程解应用题 列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤基本一样，即“审、设、列、解、验、答”，在此不再赘述 注意：此处的“验”有双重含义：一验所得解是否是所列方程的解，二验方程的解能否保证实际问题有意义； 虽然与列一元一次方程解应用题的程序基本一致，但解题的历程变得复杂了，需要学生更加认真地分析题意，努力寻求数量关系，是对学生分析问题水平的检验二、疑难突破 1、分式单元主要有两处疑难问题：一个是分式的有关概念容易混淆，另一个是分式的运算容易出错 分式有意义与分式的值为零：分式有意义是指一个分式在什么条件下才成立，是指分式中分母所含字母不能取哪些值；分式的值为零，只有当分子为零时才能实现，其前提是该分式有意义，即分母不等于零而分子为零时，其值才等于零若分式中字母的取值使分子为零，同时也使分母为零，此时该字母的取值不是分式值为零的条件 分式的运算由于运算步骤较多，变形很容易混淆，因此，运算中除了要熟悉通分、约分等基本方法和运算法则外，还需要特别注意以下“关口”： (1)“符号关”：防止符号出错 例1(2007北京)计算： 错解：原式 剖析：分式的分数线具有除号和括号双重作用，在将分子相减时，应将各分子用括号括起来。 正解：原式 (2)“顺序关”：把好运算顺序关 分式运算也要遵循先乘方后乘除再加减的顺序。特别注意：乘除运算是同级运算，若无特殊说明(有括号)应按从左到右的顺序进行计算例2计算：错解：原式剖析：错误的原因是违反了运算顺序。正解：原式 (3)“性质关”：慎重应用运算律、运算性质 例3计算： 错解：原式 剖析：错误的原因是使用了实际不成立的等式，正确的解法应先进行括号里的分式加减运算，再进行除法运算，答案为 2、 分式方程的重点是它的解法及其应用；难点是从实际问题的数量关系中寻求等量关系，从而抽象出方程模型学生往往在以下几个方面存在疑惑，因而是出问题的多发区（1）解分式方程为什么必须验根? 我们在去分母的变形过程中，需要乘以一个含未知数的整式(最简公分母)，从而将分式方程转化为整式方程如此一来，分式方程中分母不为0的限制被无形地取消了，使得未知数的范围扩大了，若不进行“质检”，假冒伪劣产品就会混入方程解的行列，导致解题的错误（2）漏掉检验环节 本来检验是解方程的一个关键环节，由于长期解整式方程时判断解的对错往往是通过检查解题过程完成的，形成了“惯性”，致使分式方程出现的时候，已难以刹车而出现忘掉检验的现象，使得解方程的环节不完备，使“增根”混入原方程的根 措施：溯源明理，规范格式帮助学生认清增根的渊源以及检验的意义所在，并通过师、生的板演进一步规范；反面衬托，强化危害善于创设或捕捉不检验形成危害的例子，警示和鞭策学生（3）找等量关系列出方程仍是学生的软肋 建立方程模型解决实际问题的实质就是“数学化”，可就这轻巧的一“化”不知难倒了多少学生，很多学生因此“落马”方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，分式方程同一元一次方程、二元一次方程组一样，都是解决现实问题的有效手段，并且分式方程的应用更加繁杂，我们的学生处在了“两难”的夹缝之中在解决现实问题的过程中，列出分式方程是第一位的，但由于实际问题背景的多变性，其数量关系也动态多变、难以把握。做遍所有的问题类型是不现实的，也是没有必要的，怎么办?我们只能以不变应万变，紧紧抓住“找准等量关系”这一关键，用数学的眼光审视多变的语言，学会用图示、列表等手段分析问题中的各类数量间的关系，并用代数式清晰地表达出来，使等量关系自然析出（三）中考试题一、选择1、（2008无锡）计算的结果为（）B2、（2008黄冈市）计算的结果为（ ）A B C D3、( 2008年杭州市)化简的结果是( ) (A) (B) (C) (D) 4、（2008年宜宾市）若分式的值为0，则x的值为（ ）A. 1B. -1C. 1D.25、（2008年泰安市）分式方程的解是（ ）ABCD 6、(2008年安徽省)分式方程的解是【 】 A x=1 Bx=1 Cx=2 Dx=27、(2008年西宁市) 16“512”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车问原计划每天修多少米？某原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）BABCD二、填空题8、（2008年南京市）12函数中，自变量的取值范围是 9、（2008年巴中市）当 时，分式无意义10、(2008年西宁市) 2写出一个含有字母的分式（要求：不论取任何实数，该分式都有意义） 11、(08年宁夏)某市对一段全长1500米的道路进行改造原计划每天修米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天。12、（2008襄樊市）当 时，关于的分式方程无解13、（2008年南宁市）方程的解是 14、（2008年湖北省鞥仙桃市潜江市江汉油田）化简的结果是 . 15、（2008年芜湖市）已知，则代数式的值为 三、解答题16、（2008年宜宾市）请先将下式化简,再选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值.17、（2008年武汉市）先化简，再求值：，其中18、（2008盐城）先化简，再求值：，其中x419、（2008年义乌市）解方程：20、（2008年南京市）解方程21、（2008枣庄市）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由22、（2008年江西省）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过点P跑回到起跑线Pl30米(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”，根据图文信息，请问哪位同学获胜？23、(2008年东莞市)在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度。24、用你发现的规律解答下列问题 (1) 计算 （2）探究 （用含有的式子表示）（3）若 的值为，求的值（四）一份练习 数学分式综合练习吴航中学：江秀英时间90分钟 满分100分学校 班级_姓名_座号_成绩 一、选择题:（每题3分，共30分）1下列各式：，中，是分式的共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2 分式 和 的最简公分母是（）A12 x y z B12 x 2 y z C24 x y z D24 x 2 y z3分式可变形为（）ABCD4函数中自变量x的取值范围是（）Ax且x0 Bx且x0 Cx0 Dx且x05若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A B C D6 如果分式的值为零，则x的值为（ ）A2 B2 C0 D27下列等式成立的是（）AB CD8 下列运算中正确的是（ ） A B C D9如果为整数，那么使分式的值为整数的的值有（ ）A 2个 B . 3个 C. 4个 D. 5个10某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）A B C D=5二、填空题：（每题3分，共分） 11计算：