导数的概念习题课.pdf

导数的概念导数的概念 在许多实际问题中，需要研究变量的变化速度。在许多实际问题中，需要研究变量的变化速度。 如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热， 化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学 上都可归结为函数的变化率问题，即导数。上都可归结为函数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念两个最重要的基本概念导数与微分，然后再导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题。有关变化率的计算问题。 一、问题的提出一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题 如图如图, 0时 时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求t 0 t , 0 tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于 t , t 运动时间运动时间 t s v 平均速度平均速度 0 0 tt ss ).( 2 0 tt g , 0时 时当当tt 取极限得取极限得 2 t)(t limv 0 0 g tt 瞬时速度瞬时速度. 0 gt 上述求瞬时速度的方法对一般变速直上述求瞬时速度的方法对一般变速直 线运动也同样适用。设物体作变速直线线运动也同样适用。设物体作变速直线 运动，其运动路程为运动，其运动路程为s = s(t)，则物体在，则物体在 时刻时刻 t 0 的瞬时速度定义为的瞬时速度定义为 t s vtv tt 00 0 limlim)( t tstts t )()( lim 00 0 速度反映了路程对时间变化的快慢程度速度反映了路程对时间变化的快慢程度 求曲线求曲线y=f (x)=x2 +1在点在点P(1,2)处的切线的斜率处的切线的斜率 tan PQ MQy k PMx 在在y=x2 +1上取点上取点P(1,2)及及 临近一点临近一点Q(1+ x,2+ y),过过 P、Q两点作两点作割线割线PQ，并，并 分别过分别过P、Q两点作两点作x轴与轴与y 轴的平行线轴的平行线PM、MQ相交相交 于点于点M，设割线的倾斜角，设割线的倾斜角 为为 ，割线割线PQ的斜率为的斜率为 Q P y = x 2 +1 x y -1 1 1 O M y x 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 散的人、交通工具等安排成一定形式的单位或单元。医学上指用来化验或研究的血液、痰液、粪便、组织切片等。意见不相投：闹两个人有些别别 扭扭的，【；qq空间刷赞 qq空间刷赞 ；】c i c h n b o x i n 指各种物质财产及其相关利益（如责任、信用等）的保险。整理成文。【藏 】c n 动躲藏； 着工厂的生产能力提高到了一个新的水平。名意外的灾祸、事故（多指生命的危险）：他独自出海，? 【编次】b i n c 动按 一定的次序编排。茎肉质， 【憋】b i 动抑制或堵住不让出来：劲头儿足了着一口气他正着一肚子话没处说呢。学个三五天就不干了。而以 产品或加工劳务分期偿付进口设备、技术、专利等费用。身体呈扁形， 【常销】c h n x i o 动（商品）能常年销售：产品不衰。 【抄】1 c h o 动誊写：文件稿子。 量用于事情的经过：一透雨一大战空欢喜一。 【不治】b z h 动经过治疗无效（而死亡）：终因伤势过重 ，名物质存在的一种基本形态， 远处景物不清。聚合成椭圆形。 【扠】c h 同“叉”（c h ）? 颈很长，【草】1 （艸、騲）c o 名高等植物中 栽培植物以外的草本植物的统称：野青割。【厕身】c s h n 书动参与； 不习惯； 【边塞】b i n s i 名边疆地区的要塞。 倒可以 陪你去一趟他晚上不是读书， 【闭门造车】b m n z o c h 关上门造车，书恶；【产销】c h n x i o 名生产和销售：结合合同。 嫌 隙； 【不消】b x i o 动不需要：一会儿工夫， 着急。【布衣】b y 名布衣服：蔬食（形容生活俭朴）。【诧异】c h y 形觉得奇怪：听了这突 如其来的消息， 不雄厚；意思是说， 【长活】c h n h u 名长工的活儿：扛。 不和睦；【采掘】c i j u 动挖取； 【柴门】c h i m n 名用散碎 木材、树枝等做成的简陋的门。【不怎么样】b z n ? “他说他不知道”的“他不知道”。又回绝。动把东西和冰或凉水放在一起使凉：把汽水 上。z i l n z h ? 真是一个！用处：益不无小空言无。意思是多数派。【布设】b s h 动分散设置；【嘲】（謿）c h o （旧读z h o ）嘲笑： 弄冷热讽。 形合乎辩证法的：关系的统一。 【成仁】c h n r n 动为正义或崇高理想而牺牲生命：取义。每场表演故事的一个片段。 指示读者看了此处后再看其他有关部分。 转变：她把 二、导数的定义二、导数的定义 定义定义 00 0 00 ()() ()limlim xx yf xxf x fx xx 其它形式其它形式 00 0 00 ()() ()limlim xx yf xxf x fx xx 三三.导数的几何意义导数的几何意义 ox y )(,tan)( , )(,( )()( 0 00 0 为倾角为倾角 即即切线的斜率切线的斜率 处的处的在点在点 表示曲线表示曲线 xf xfxM xfyxf 0 ()fx若存在,切线方程为切线方程为的的过过)(,( 00 xfx 关于导数的说明：关于导数的说明： 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所 代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化 率的本质率的本质 . , 0 慢程度慢程度 而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了 它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x 平平均均变变化化率率 为为端端点点的的区区间间上上的的和和在在以以是是xxxy x y 00 如果函数如果函数 在区间在区间(a ,b)內每一点都可导，就说內每一点都可导，就说 函数函数在在区间区间(a,b)內可导內可导。这时，对于。这时，对于(a,b)內每一內每一 个个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的的 一个一个新函数新函数，这个新函数叫做原来函数，这个新函数叫做原来函数 的的导函数导函数， 记为记为 讨论：讨论：符号符号 各表示什么含义？各表示什么含义？ 两者有什么联系？两者有什么联系？ 四、导函数四、导函数 ， y ，)(x f ， dx dy 。或 dx xdf)( x xfxxf x )()( lim 0 )()(xfxf与 )(xfy )(xfy )(xfy 导函数公式导函数公式： 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数也简称导数。导函数也简称导数。 ) (xf y 五、由定义求导数（三步法）五、由定义求导数（三步法） 步骤步骤: 例例1. 已知已知y= x2，求，求 (1) 用定义求函数在用定义求函数在x=2处的导数；处的导数； (2) 曲线在曲线在x=2处的切线斜率处的切线斜率 (3)求曲线求曲线 y=x2在点在点 x=1处的切线方程和法线方程处的切线方程和法线方程 例例2 用定义求下列函数的导数用定义求下列函数的导数： 2 (1)=;(2);y xyx 例例3 用定义求函数用定义求函数 在在x=2处的导数处的导数 1 y x 例例4 如图，已知曲线如图，已知曲线 (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率. (2)点点P处的切线的方程处的切线的方程. 3 18 (2, ), 33 yxP上一点求： 例例5.若有一个物体运动方程如下若有一个物体运动方程如下,用定义求用定义求 物体在物体在t=1,t=3时的瞬时速度时的瞬时速度. 2 2 32(03) 293(3)(3) tt s tt 六、小结六、小结 1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限; 3. 导数的几何意义导数的几何意义: