导数附应用高考题附.doc

1 / 18 导数高考大题 1.（ ）设函数，已知和为的极值点 2132 ( ) x f xx eaxbx 2x 1x ( )f x （）求和的值；ab （）讨论的单调性；( )f x （）设，试比较与的大小 32 2 ( ) 3 g xxx( )f x( )g x 2.（ ）已知函数其中 nN*,a 为常数. 1 ( )ln(1), (1)n f xax x （）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值； （）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n, 当 x2 时，有 f(x)x-1. 3. 已知函数,其中 32 1 ( )3 3 f xaxbxx0a （1）当满足什么条件时,取得极值?ba,)(xf （2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.0a)(xf(0,1ab 4.（2010 山东文 10 题）观察，,，由归纳推理可得： 2 ()2xx 42 ()4xx(cos )sinxx 若定义在上的函数满足，记的导函数，则=R( )f x()( )fxf x( )( )g xf x为()gx （A） （B） （C） （D）( )f x( )f x( )g x( )g x 5. (2010 山东文 21 题)已知函数).( 1 1 1)(Ra x a axnxxf （）当处的切线方程；，在点（时，求曲线)2(2)(1fxfya （）当时，讨论的单调性 1 2 a( )f x 6. （2011 山东理 16 题）已知函数， 当( )log(0 ,1) a f xxxb aa且 时，函数的零点，则_.234ab( )f x * 0 (,1) ,xn nnNn 7. （2011 山东理 21 题）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容 器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且 80 3 .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，2lr 半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元。资料个人收集整理，(3)c c y 勿做商业用途 （）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；yr （）求该容器的建造费用最小值时的.r 2 / 18 8.（2011 山东文 4 题） 曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是 3 11yx(1,12)Py (A) -9 (B) -3 (C) 9 (D) 15资料个人收集整理，勿做商业用途 9. (2008 全国文卷一 4 题)曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） 3 24yxx(13)， A30B45C60D120 10.（2008 全国文卷一 21 题）已知函数， 32 ( )1f xxaxxaR （）讨论函数的单调区间；( )f x （）设函数在区间内是减函数，求的取值范围( )f x 21 33 ，a 11.（2009 全国文卷二 21 题）设函数，其中常数 32 1 ( )(1)424 3 f xxa xaxaa1 ()讨论 f(x)的单调性; ()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a 12.（2009 全国理卷一 9 题）已知直线 y=x+1 与曲线相切，则 的值为( ) yln()xa (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2资料个人收集整理，勿做商业用途 13.（2009 全国理卷一 22 题）设函数在两个极值点，且 32 33f xxbxcx 12 xx、 12 10,1,2.xx ， （I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；bc、, b c (II)证明： 2 1 10 2 f x 14.（2009 全国理卷二 4 题）曲线在点处的切线方程为 21 x y x 1,1 A. B. C. D. 20 xy20 xy450 xy450 xy 15.（2009 全国理卷二 22 题）设函数有两个极值点，且 2 1f xxaInx 12 xx、 12 xx （I）求的取值范围，并讨论的单调性；a f x （II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 1 22 4 In f x 3 / 18 16.（2010 全国文卷一 21）已知函数 42 ( )32(31)4f xaxaxx （I）当时，求的极值; 1 6 a ( )f x （II）若在上是增函数，求的取值范围。( )f x1,1a 17.（2010 全国文卷二 7 题） 若曲线在点(0, )b处的切线方程式， 2 yxaxb10 xy 则 （A）1,1ab （B）1,1ab （C）1,1ab （D）1,1ab 18.（2010 全国文卷二 21 题） 已知函数 32 ( )331f xxaxx （）设，求的单调区间；2a ( )f x （）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围.( )f xa 19.（2010 全国理卷一 20 题）已知函数.( )(1)ln1f xxxx （）若，求的取值范围； 2 ( )1xfxxaxa （）证明： .(1) ( )0 xf x 20.（2010 全国理卷二 22 题） 设函数 1 x f xe （）证明：当时，；x-1 1 x f x x （）设当时，求 a 的取值范围0 x 1 x f x ax 21.（2011 全国文卷一 21 题） 已知函数 32 ( )3(36 ) +124f xxaxa xaaR ()证明：曲线( )0yf xx在处的切线过点（2，2）； （）若求 a 的取值范围. 00 ( )f xxxx在处取得最小值，（1，3）， 22.（2011 全国理卷二 8 题） 曲线在点（0，2）处的切线与直线和围1 2 x ey0yxy 成的三角形的面积为 (A) (B) (C) (D) 1资料个人收集整理， 3 1 2 1 3 2 勿做商业用途 4 / 18 23.（2011 全国理卷二 22 题） （）设函数，证明：当时， 2 ( )ln(1) 2 x f xx x 0 x ；( )0f x （）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为.证明：资料个人收集整理，勿做商业用p 19 2 91 () 10 p e 途 23 1.解：（）因为 122 ( )e(2)32 x fxxxaxbx ， 1 e(2)(32 ) x xxxaxb 又和为的极值点，所以，2x 1x ( )f x( 2)(1)0ff 因此 620 3320 ab ab ， ， 解方程组得， 1 3 a 1b （）因为， 1 3 a 1b 所以， 1 ( )(2)(e1) x fxx x 令，解得，( )0fx 1 2x 2 0 x 3 1x 因为当时，；(2)x ，(01) ，( )0fx 当时，( 2 0)(1)x ，( )0fx 所以在和上是单调递增的；( )f x( 2 0) ，(1)， 在和上是单调递减的(2) ，(01)， （）由（）可知， 2132 1 ( )e 3 x f xxxx 故， 21321 ( )( )e(e) xx f xg xxxxx 5 / 18 令， 1 ( )exh xx 则 1 ( )e1 x h x 令，得，( )0h x1x 因为时，1x ，( )0h x 所以在上单调递减( )h x1x ， 故时，；1x ，( )(1)0h xh 因为时，1x，( )0h x 所以在上单调递增( )h x1x， 故时，1x，( )(1)0h xh 所以对任意，恒有，又，()x ，( )0h x 2 0 x 因此，( )( )0f xg x 故对任意，恒有()x ，( )( )f xg x 2. 解：由已知得函数 f(x)的定义域为x|x1， 当 n=2 时， 2 1 ( )ln(1), (1) f xax x 所以 2 3 2(1) ( ). (1) ax fx x （1）当 a0 时，由得( )0fx 1，1， 1 2 1x a 2 2 1x a 此时 . 12 3 ()() ( ) (1) a xxxx fx x 当 x（1，x1）时，单调递减；( )0,( )fxf x 当 x（x1+）时，单调递增.( )0,( )fxf x （2） （）当 a0 时，恒成立，所以 f(x)无极值.( )0fx 6 / 18 综上所述，n=2 时， 当 a0 时，f(x)在处取得极小值，极小值为 2 1x a 22 (1)(1 ln). 2 a f aa 当 a0 时，f(x)无极值. （）证法一：因为 a=1,所以 1 ( )ln(1). (1)n f xx x 当 n 为偶数时， 令 1 ( )1ln(1), (1)n g xxx x 则 . 11 12 ( )10,(2) 11(1)(1) nn nxn g xx xxxx 所以当 x2,+时，g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此g(2)=0 恒成立， 1 ( )1ln(1) (1)n g xxx x 所以 f(x)x-1 成立. 当 n 为奇数时， 要证x-1,由于0，所以只需证 ln(x-1) x-1,( )f x 1 (1)nx 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 0（x2）, 12 ( )1 11 x h x xx 所以 当 x2，+时，单调递增，又 h(2)=10，( )1 ln(1)h xxx 所以当 x2 时，恒有 h(x) 0,即 ln（x-1）x-1 命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当 a=1 时， 1 ( )ln(1). (1)n f xx x 当 x2，时，对任意的正整数 n，恒有1， 1 (1)nx 故只需证明 1+ln(x-1) x-1. 令( )1 (1 ln(1)2ln(1),2,h xxxxxx 则 12 ( )1, 11 x h x xx 当 x2 时，0，故 h(x)在上单调递增，( )h x2, 7 / 18 因此 当 x2 时，h(x)h(2)=0，即 1+ln(x-1) x-1 成立. 故 当 x2 时，有x-1. 1 ln(1) (1)n x x 即 f（x）x-1. 3. 解: (1)由已知得,令,得, 2 ( )21fxaxbx0)( xf 2 210axbx 要取得极值,方程必须有解,)(xf 2 210axbx 所以,即, 此时方程的根为 2 440ba 2 ba 2 210axbx , 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 ( )()()fxa xxxx 当时,0a x (-,x1) x 1(x1,x2)x2 (x2,+) f(x)00 f (x)增函数极大值减函数极小值增函数 所以在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值.)(xf 当时, 0a x (-,x2) x 2(x2,x1)x1 (x1,+) f(x)00 f (x)减函数极小值增函数极大值减函数 所以在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值.)(xf 综上,当满足时, 取得极值. ba, 2 ba)(xf (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.)(xf(0,1 2 ( )210fxaxbx (0,1 即恒成立, 所以 1 ,(0,1 22 ax bx x max 1 () 22 ax b x 设, 1 ( ) 22 ax g x x 2 22 1 () 1 ( ) 222 a x a a g x xx 8 / 18 令得或(舍去), ( )0g x 1 x a 1 x a 当时,当时,单调增函数;1a 1 01 a 1 (0,)x a ( )0g x 1 ( ) 22 ax g x x 当时,单调减函数, 1 (,1x a ( )0g x 1 ( ) 22 ax g x x 所以当时,取得最大,最大值为. 1 x a ( )g x 1 ()ga a 所以ba 当时,此时在区间恒成立,所以在区间01a 1 1 a ( )0g x (0,1 1 ( ) 22 ax g x x 上单调递增,当时最大,最大值为,所以(0,11x ( )g x 1 (1) 2 a g 1 2 a b 综上,当时, ; 当时, 1aba 01a 1 2 a b 4.D 5. 解：（） 当)(1xfa时，), 0(, 1 2 lnx x xx 所以 2 2 2 ,(0,) xx x x )( xf 因此，）（12 f 即 曲线.1)2(2)(，处的切线斜率为，在点（fxfy 又 , 22ln)2(f 所以曲线 . 0 2ln , 2)22(ln)2(2)( yx xyfxfy 即 处的切线方程为，在点（ （）因为 ，1 1 ln)( x a axxxf 所以 ， 2 11 )( x a a x xf 2 2 1 x axax ), 0( x 9 / 18 令 ,1)( 2 axaxxg), 0( x （1）当0, ( )1,(0,)ah xxx 时 所以，当，函数单调递减；(0,1), ( )0,( )0 xh xfx时此时( )f x 当时，此时单调递(1,)x( )0h x ( )0,fx函数f (x) （2）当0a 时, 由f (x)=0 即，解得 2 10axxa 12 1 1,1xx a 当时，恒成立， 1 2 a 12, ( ) 0 xx h x 此时，函数在（0，+）上单调递减；( )0fx( )f x 当 11 0,110 2 a a 时 时，单调递减；(0,1)x( )0,( )0,( )h xfxf x此时函数 时，单调递增； 1 (1,1)x a ( )0,( )0,( )h xfxf x此时函数 ，此时( )0fx，函数( )f x单调递减； 1 (1,), ( )0 xh x a 时 当时，由于0a 1 10 a 时，此时，函数单调递减；(0,1)x( )0h x ( )0fx( )f x 时，此时，函数单调递增。(1,)x( )0h x ( )0fx( )f x 综上所述： 当时，函数在（，）上单调递减；0a ( )f x 函数在（，）上单调递增；( )f x 当时，函数在（0，+）上单调递减； 1 2 a ( )f x 当时，函数在（0，1）上单调递减； 1 0 2 a( )f x 函数在上单调递增；( )f x 1 (1,1) a 函数上单调递减， 1 ( )(1,)f x a 在 6. 2【解析】，23a 23 log1loglog a aaa = =34,b a 3 1logab- = 10 / 18 的零点在（2,3）上，n=2.( )log() x a g xbx=- 7. （1）设容器的容积为，V 由题意知 ，又， 23 4 3 Vr lr 80 3 V 故 3 222 4 8044 20 3 () 333 Vr lrr rrr 由于 ，2lr 因此 02r 所以建造费用 22 2 4 20 2342()34 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 (2), 02ycrr r （2）由（1）得， 3 22 1608 (2)20 8 (2)(), 02 2 c ycrrr rrc 由于 ，所以 ，3c 20c 当 时， 3 20 0 2 r c 3 20 2 r c 令 ，则 3 20 2 rm c 0m 所以 22 2 8 (2) ()() c yrmrrmm r 当即时，02m 9 2 c 当时，rm0y 当时，(0,)rm0y 当时，( ,2)rm0y 所以 是函数的极小值点，也是最小值点.rmy 当即时2m 9 3 2 c 当时，函数单调递减，(0,2)r0y 所以，是函数的最小值点.2r y 综上所述，当时，建造费用最小时 9 3 2 c2r 当时，建造费用最小时。 9 2 c 3 20 2 r c 11 / 18 8.C 9. B 解析：曲线在点处的切线的倾斜角 /2/ 1 32,|1, x yxky 3 24yxx(13)， ，选择 B； 0 45 10. 解：（1）求导： 32 ( )1f xxaxx 2 ( )321fxxax 当时，在上递增； 2 3a0( )0fx( )f xR 当，由求得两根为 2 3a( )0fx 2 3 3 aa x 即在递增，递减，( )f x 2 3 3 aa ， 22 33 33 aaaa ， 递增； 2 3 3 aa ， （2） （法一）函数在区间内是减函数，递( )f x 21 33 ， 22 33 33 aaaa ， 减， ，且，解得：。 2 2 32 33 31 33 aa aa 2 3a2a 2 2 21 3x +2ax+10(, 33 g(x)=3x +2ax+1, 242 7g()32a+10 a 393 a24 111 a2g()=32a+10 393 a2,+ ) （法二）只需在区间）恒成立即可。 令只需： 的取值范围为 11. 解： （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m )2)(2(4)1 (2)( 2 axxaxaxxf 由知，当时，故在区间是增函数；1a2x0)( x f)(xf)2 ,( 当时，故在区间是减函数；ax220)( x f)(xf)2 , 2(a 当时，故在区间是增函数。ax20)( x f)(xf),2(a 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是1a)(xf)2 ,(),2(a)2 , 2(a 12 / 18 减函数。 （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。资料个人收集整理，0x)(xfax20x 勿做商业用途 aaaaaaaf2424)2)(1 ()2( 3 1 )2( 23 aaa244 3 4 23 af24)0( 由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即 解得 1a6 , 0)0( , 0)2( 1 f af a . 0 24 , 0)6)(3( 3 4 , 1 a aaa a 故的取值范围是（1，6）a 12. 解:设切点，则,又 00 (,)P xy 0000 ln1,()yxayx 0 0 1 |1 x x y xa .故答案选 B 000 10,12xayxa 13.解：由题意知方程有两个根 2 363fxxbxc 0fx 12 xx、 则有 1 10,x 且， 2 1,2.x 10f ， 故有 00 f ， 1020ff， 210 0 210 440 bc c bc bc 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。, b c (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原 因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消 元的手段，消去目标中的 32 2222 33f xxbxcx ， （如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助b c 2 x 13 / 18 （I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。资料个人收集整理，勿做商业用途 2,0c 解： 由题意有 2 222 3630fxxbxc 又 32 2222 33f xxbxcx 消去可得b 3 222 13 22 c f xxx 又，且 2 1,2x 2,0c 2 1 10() 2 f x 14.B 解：, 111 22 2121 |1 (21)(21) xxx xx y xx 故切线方程为,即 故选 B.1(1)yx 20 xy 15.解: （I） 2 22 2(1) 11 axxa fxxx xx 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均 2 ( )22g xxxa 1 2 x 12 xx、( )0g x 大于的不相等的实根，其充要条件为，得1 480 ( 1)0 a ga 1 0 2 a 当时，在内为增函数； 1 ( 1,)xx 0,( )fxf x 1 ( 1,)x 当时，在内为减函数； 12 ( ,)xx x 0,( )fxf x 12 ( ,)x x 当时，在内为增函数； 2, ()xx 0,( )fxf x 2, ()x （II）由（I）， 2 1 (0)0,0 2 gax 2 22 (2)axx +2 222 2222222 1(2)1f xxalnxxxx lnx+2 设， 22 1 (22 )1() 2 h xxxx lnxx 则 22(21)122(21)1h xxxlnxxxlnx 当时，在单调递增； 1 (,0) 2 x 0,( )h xh x 1 ,0) 2 当时，在单调递减。(0,)x 0h x( )h x(0,) 111 2ln2 (,0),() 224 xh xh 当时 14 / 18 故 22 1 22 () 4 In f xh x 16. 解：（I） 2 4(1)(331).fxxaxax 当时，在内单调递减，在内单调递 1 6 a 2 221)fxxx()( f x(,-2)(-2,+ ) 增， 在时有极小值。所以，是的极小值。2x f x -2 =-12f f x （II）在上单调递增当且仅当即-（1, 1） f x 2 4(1)(331)0fxxaxax ， 2 3310,axax （1）当时恒成立；0a （2）当时成立，当且仅当解得0a 2 3131 10.aa 1 6 a 。 （3）当时成立，即成立，当且仅当0a 2 1 + ) -0 24 31 3 - a a x(-0 4 3 1. a 解得 4 - 3 a 。 综上，的取值范围是。a 4 1 - 3 6 ， 17. A。 0 2 x yxaa ， 1a ，(0, ) b 在切线 10 xy ， 1b 18. （）当 a=2 时， 32 ( )631,( )3(23)(23)f xxxxfxxx 当时在单调增加；(,23)x ( )0,( )fxf x(,23) 当时在单调减少；(23,23)x( )0,( )fxf x(23,23) 当时在单调增加；(23,)x( )0,( )fxf x(23,) 综上所述，的单调递增区间是和，( )f x(,23)(23,) 的单调递减区间是( )f x(23,23) （）， 22 ( )3()1fxxaa 当时，为增函数，故无极值点； 2 10a( )0,( )fxf x( )f x 当时，有两个根 2 10a( )0fx 15 / 18 22 12 1,1xaaxaa 由题意知， 22 213,213aaaa 或 式无解，式的解为， 55 43 a 因此的取值范围是.a 5 5 4 3 ， 19. 解：（）， 11 ( )ln1ln x fxxx x ,( )ln1xfxxx 题设等价于. 2 ( )1xfxxaxln xxa 令，则( )lng xxx 1 ( )1g x x 当，；当时，是的最大值点，01x ( ) 0g x 1x ( ) 0g x 1x ( )g x ( )(1)1g xg 综上，的取值范围是.a1, ()由（）知，即.( )(1)1g xg ln1 0 xx 当时，；01x( )(1)ln1ln(ln1)0f xxxxxxxx 当时，1x ( )ln( ln1)f xxxxx 1 ln(ln1)xxx x 11 ln(ln1)xx xx 0 所以(1) ( )0 xf x 20.解： （I）当时，1x 当且仅当 1 )( x x xf.1xe x 令2 分 . 1 )( . 1 )( xx exgxexg则 16 / 18 当，是增函数；0)( 0xgx时, 0)(在xg 当是减函数。 0 , )(, 0)( 0在时xgxgx 于是在 x=0 处达到最小值，因而当时，)(xgRx.1),0()(xegxg x 即 所以当6 分、. 1 )(,1 x x xfx时 （II）由题设 . 0 )(, 0xfx此时 当不成立； 1 )(, 0 1 , 1 ,0 ax x xf ax x a xa则若时 当则,)()()(,xxfxaxfxha令时 当且令当 1 )( ax x xf . 0 )(xh ).()()( 1)( )( )()( xfaxxaxfxaf xfxafxafxh 8 分 （i）当时，由（I）知 2 1 0 a),() 1(xfxx ),()() 1()()()( xfxfxaxaxfxafxh , 0)() 12(xfa 是减函数，10 分, 0)(在xh. 1 )(, 0)0()